48.专题四 几何折叠问题课件

几何折叠问题类型一勾股定理在折叠中的应用一、勾股定理在直角三角形折叠中的应用方法解读图形分析将△ABC按照如图所示的折痕折叠．解题思路(1)如图①，设DE＝x，则CD＝DE＝x，AE＝AC＝b，故BD＝a－x，BE＝c－b.在Rt△BED中，(c－b)2＋x2＝(a－x)2；(2)如图②，设CF＝x，则FD＝AF＝b－x，在Rt△DCF中，m2＋x2＝(b－x)2.方法应用1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为____．第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为____．第2题图3.(2022济宁)如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是____．第3题图【解析】(1)由折叠的性质得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，∴EG＝

＝3，∴EG∶AC＝3∶6＝1∶2；4.(2022合肥四十二中三模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时．(1)EG∶AC＝______；第4题图1∶2(2)连接AF，则AF＝_____．第4题图(2)如图，过点F作FH⊥AC于点H，∟H∵sin∠FEG＝

，∴

，∴HF＝

，∵cos∠FEG＝

，∴

，∴EH＝

，∴AH＝AE＋EH＝

，∴AF＝

解题关键点过点F作AC的垂线，将线段AF转化在直角三角形中．二、勾股定理在矩形折叠中的应用方法解读图形分析在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，将矩形按照如图所示的折痕折叠．解题思路(1)如图①，设DF＝x，则BF＝DF＝x，CF＝b－x.在Rt△CDF中，a2＋(b－x)2＝x2；(2)如图②，设CE＝x，则DE＝EF＝a－x，在Rt△ABF中，a2＋BF2＝b2，求出BF，进而求出CF的长．在Rt△CEF中，x2＋CF2＝(a－x)2，求出x，从而求得DE的长．方法应用5.如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝3∶1，则线段CH的长是(

)A.3B.

C.1

D.2第5题图B6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，线段CE交AD于定点O，过点O作OG⊥AC于点G，过点G作GH⊥BC于点H，则

的值为(

)A.1B.

C.

D.

第6题图B7.(2022毕节)如图，在矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB＝4，BC＝6，则CF的长是________．第7题图【解析】如图，连接BF，交AE于O点，O∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，∴BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝EF＝3，∴∠EFC＝∠ECF，第7题图O∵∠BEF＝∠ECF＋∠EFC，∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF，∴∠BFC＝∠BOE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝

＝5，∴BO＝

，∴BF＝2BO＝

，在Rt△BCF中，由勾股定理得，CF＝

.【答案】类型二全等、相似在折叠中的应用方法解读图形分析将矩形ABCD按照如图所示的折痕折叠点B′落在矩形外点B′落在矩形内部(2017.14)结论①全等关系：△ABC≌△AB′C，△AB′F≌△CDF；②常用的特殊三角形：Rt△AFB′，Rt△CFD，等腰△AFC①全等关系：△BCP≌△B′CP；②相似关系：△AB′P∽△ABC方法应用1.(2022合肥三十八中一模)如图，在△ABC纸片中，BC＝4，AC＝7，AB＝6，点D，E分别在AC，AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在CB的延长线上，若FD平分∠EFC，则AD的长为(

)A.5B.4.2C.2.8D.2.4第1题图B2.如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝6，点G是边AD上的点，AG＝2，点H是边BC上一点，将纸片沿GH折叠，A，B的对应点分别为E，F.(1)当点F落在边DC上时，CF的长为___；(2)CF的最小值为________．第2题图2

解题关键点连接CG，FG，在△CFG中，利用CF≥CG－GF解题．3.(2022合肥一模)如图，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将△CDE折叠，使点D落在CF上的点D′处，再以EF为对称轴折叠△AEF，使得点A的对应点A′与点D′重合，以FG为对称轴折叠△BFG，使得点B的对应点B′落在CF上.(1)写出图中一组相似三角形(除全等三角形)________________；(2)若∠A＝60°，则

的值为___．第3题图△ECD′∽△GFB′

解题关键点求证△ECD′∽△GFB′是解题的关键．4.(2021包河区二模)如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在点A′处，点B落在点B′处，A′B′交BC于点G.以下结论：①当A′为CD的中点时，△A′DE三边之比为3∶4∶5；②当△A′DE三边之比为3∶4∶5时，A′为CD的中点；③当A′在CD上移动时，△A′CG周长不变；④当A′在CD上移动时，始终有A′G＝A′D＋BG.其中正确的有________(写出所有正确结论的序号).第4题图第4题图【解析】∵A′为CD的中点，正方形ABCD的边长为8，∴AD＝8，A′D＝

CD＝4，∠D＝90°，由折叠性质得A′E＝AE，设A′E＝AE＝x，则DE＝8－x，∵在Rt△A′DE中，A′D2＋DE2＝A′E2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5，DE＝3，∴当A′为CD的中点时，△A′DE三边之比为3∶4∶5，故①正确；当△A′DE三边之比为3∶4∶5时，设A′D＝3a，DE＝4a，A′E＝5a，则AE＝A′E＝5a，∵AD＝AE＋DE＝8，∴5a＋4a＝8，解得a＝

，∴A′D＝3a＝

，A′C＝CD－A′D＝8－

＝

，∴此时A′不是CD的中点，故②错误；第4题图如图，过点A作AH⊥A′G，垂足为H，连接A′A，AG，第4题图∟H则∠AHA′＝∠AHG＝90°，由折叠的性质得∠EA′G＝∠EAB＝90°，A′E＝AE，∵∠D＝90°，∴∠EAA′＋∠DA′A＝90°，∵AE＝A′E，∴∠EAA′＝∠EA′A，∵∠EA′A＋∠AA′G＝90°，∴∠AA′G＝∠DA′A，∴△AA′D≌△AA′H(AAS)，∴AD＝AH，A′D＝A′H，∵AD＝AB，∴AH＝AB，第4题图∟H在Rt△ABG与Rt△AHG中

∴Rt△ABG≌Rt△AHG(HL)，∴HG＝BG，∴△A′CG的周长为A′C＋A′G＋CG＝A′C＋A′H＋HG＋CG＝A′C＋A′D＋BG＋CG＝CD＋BC＝8＋8＝16，∴当A′在CD上移动时，△A′CG周长不变，故③正确；∵△AA′D≌△AA′H，RtABG≌Rt△AHG，∴A′D＝A′H，HG＝BG，∴A′G＝A′H＋HG＝A′D＋BG，故④正确．【答案】①③④类型三折叠产生特殊图形的证明及计算(2020、2017.14)1.(2021重庆A卷)如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6.将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为_____．第1题图2.(2021江西)如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为________．第2题图4a＋2b3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别是矩形的边AD，BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠，使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在点M处，连接EF，BG，BE，EF与BG交于点N.(1)四边形BEGF的形状为_____；(2)当点G与点D重合时，EF＝________．第3题图菱形4.(2020安徽14题)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为________°；第4题图【解析】(1)如图，由折叠的性质得∠AQP＝∠B，∠C＋∠D＝∠PRQ＋∠ARQ＝180°，∠DQA＝∠RQA，∠CQP＝∠RQP，且∠DQA＋∠RQA＋∠CQP＋∠RQP＝180°，∴AD∥BC，∠B＝∠AQP＝90°，即∠BAD＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折叠的性质知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ＝∠2＝30°；第4题图【答案】30；123当四边形APCD为平行四边形时，∠C＝∠DAP＝∠1＋∠2＝60°，∴AD＝AR＝CP＝PR.又∵∠AQP＝90°.∴QR＝PR.∵∠QRP＝60°.∴△PQR为等边三角形，∴QR＝QP，∠RPQ＝60°，∴∠QRP＝∠C＝60°＝∠QPR，∴tan∠APQ＝

，由折叠的性质得AB＝AQ，∴

.(2)当四边形APCD是平行四边形时，

的值为____．第4题图123(2)如图，5.(2022安庆二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在点D处，连接AD.(1)当四边形ACPD为菱形时，∠BCP＝_____；第5题图【解析】(1)由翻折可得，BP＝DP，∵四边形ACPD为菱形，∴CP＝DP，∴CP＝BP，∵∠B＝30°，∴∠BCP＝30°；30°第5题图(2)当点D在AB上方时，如解图①，过P作PH⊥BC交于H，(2)当∠DPA＝30°时，DP＝________．第5题解图①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴BC