2023-2024学年安徽省六安二中河西校区数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2023-2024学年安徽省六安二中河西校区数学高二上期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，直线与直线平行，则（）A. B.C. D.2．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）A. B.2C.3 D.13．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（）A. B.C.14 D.164．公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.C.最大值为D.5．设，则A.2 B.3C.4 D.56．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）A. B.C. D.7．在下列函数中，求导错误的是（）A.， B.，C.， D.，8．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（）A.6 B.C. D.9．已知等差数列的前项和为，，公差，．若取得最大值，则的值为（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或1010．已知函数，则的单调递增区间为（）.A. B.C. D.11．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列四个命题中真命题的个数是（）①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆③若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆④若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线A.1 B.2C.3 D.412．已知在等比数列中，，，则（）A.9或 B.9C.27或 D.27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某地区有3个疫苗接种定点医院，现有10名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少需要2名至多需要4名志愿者，则不同的安排方法共有___________种.14．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______15．如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,且,则异面直线与所成的角的余弦值为______,点到平面的距离等于______.16．已知空间向量，，若，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某餐馆将推出一种新品特色菜，为更精准确定最终售价，这种菜按以下单价各试吃1天，得到如下数据：（1）求销量关于的线性回归方程；（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每份特色菜的成本是15元，为了获得最大利润，该特色菜的单价应定为多少元？（附：，）18．（12分）已知圆C的方程为.（1）直线l1过点P(3，1)，倾斜角为45°，且与圆C交于A，B两点，求AB的长；（2）求过点P(3，1)且与圆C相切的直线l2的方程.19．（12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间（1）求频率分布直方图中a的值：（2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）20．（12分）如图，已知等腰梯形，，为等腰直角三角形，，把沿折起（1）当时，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值21．（12分）已知圆（1）求圆心的坐标和圆的面积；（2）若直线与圆相交于两点，求弦长22．（10分）已知点到两个定点的距离比为（1）求点的轨迹方程；（2）若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据直线平行求解即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，经检验，满足题意.故选：C2、B【解析】直接利用平均变化率的公式求解.【详解】解：由题得.故选：B3、C【解析】根据等比数列的性质求得正确答案.【详解】是函数的两个不同零点，所以，由于数列是等比数列，所以.故选：C4、A【解析】根据已知条件，判断出，即可判断选项D，再根据等比数列的性质，判断，，由此判断出选项A,B,C.【详解】根据题意，等比数列满足条件，，，若，则，则，，则，这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；因为，，，所以，，，则，，数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，因此是数列中的最大值，故选项A正确由等比数列的性质，，故选项B不正确；而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；故选：A5、B【解析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题6、C【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为所以球的体积为,表面积为.圆柱的体积为：,所以其体积之比为：圆柱的侧面积为：,圆柱的表面积为：所以其表面积之比为：故选：C7、B【解析】分别求得每个函数的导数即可判断.详解】；；；.故求导错误的是B.故选：B.8、B【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解【详解】由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选：B9、B【解析】根据题意可知等差数列是，单调递减数列，其中，由此可知，据此即可求出结果.【详解】在等差数列中，所以，所以，即，又等差数列中，公差，所以等差数列是单调递减数列，所以，所以等差数列的前项和为取得最大值，则的值为7或8.故选:B.10、D【解析】利用导数分析函数单调性【详解】的定义域为，，令，解得故的单调递增区间为故选：D11、C【解析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.【详解】若点P总满足，又，，，可得对角面，因此点P的轨迹是直线，故①正确若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是以点B为圆心，以1为半径的圆（在平面内），因此圆的周长为，故②正确点P到直线AB的距离PB与到点C的距离PC之和为1，又，则动点P的轨迹是线段BC，因此③不正确点P到平面的距离（即到直线的距离）与到直线CD的距离（即到点C的距离）相等，则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点，直线BC为对称轴的抛物线（在平面内），因此④正确故有①②④三个故选:C12、B【解析】根据等比数列的性质可求.【详解】因为为等比数列，设公比为，则，解得，又，所以.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、22050【解析】先分组，再排列，注意部分平均分组问题，需要除以平均组数的全排列.【详解】根据题意，这10名志愿者的安排方法共有两类：第一类是2，4，4，第二类是3，3，4.故不同的安排方法共有种.故答案为：2205014、【解析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.【详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，则平面，平面，则，∴，设，则，，即，，∴，当且仅当时，等号成立，故答案为：15、①.②.【解析】因为底面是菱形,可得,则异面直线与所成的角和与所成的角相等,即可求得异面直线与所成的角的余弦值.在底面从点向作垂线,求证垂直平面,即可求得答案.【详解】根据题意画出其立体图形:如图底面是菱形,则异面直线与所成的角和直线与所成的角相等平面,平面又,底面是菱形即故:异面直线与所成的角的余弦值为:在底面从点向作垂线平面,平面,平面故是到平面的距离故答案为:,.【点睛】本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.16、2【解析】依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.【详解】空间向量，，由，可知，即，解之得故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根据公式求出的值，代入公式即可求出回归直线方程（2）根据（1）的结论，求出利润，根据二次函数的性质，即可求解【详解】解：（1）由题意得，，，，得，，所以关于的线性回归方程为：.（2）由题意得，每份菜获得的利润，∴当时，取最大值，∴单价应定为24元，可获得最大利润.【点睛】本题考查回归直线的求法与应用，着重考查计算化简的能力，属基础题18、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用点斜式求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂直定理、勾股定理计算可得；（2）依题意可得点在圆外，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在直线得到直线方程，但直线的斜率存在时设直线方程为，利用点到直线的距离公式得到方程，解得，即可得解；【小问1详解】解：根据题意，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为故；【小问2详解】解：根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，此时与圆C：相切，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，直线与圆相切时，圆心到直线的距离为解得此时，直线的方程为，所以满足条件的直线的方程是或.19、（1）（2）众数；中位数【解析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1列式即可；（2）根据众数即最高矩形中间值，中位数左右两边矩形面积各为0.5列式即可.【小问1详解】由,得【小问2详解】50名学生竞赛成绩的众数为设中位数为,则解得所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.420、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点E，连，证明四边形为平行四边形，从而可得为等边三角形，四边形为菱形，从而可证，，即可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）取的中点M，连接，以B为空间坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】解：取的中点E，连，∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴，∵，∴为等边三角形，四边形为菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小问2详解】解：取的中点M，连接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B为空间坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，，有，取，可得，设平面的法向量为，由，，有，取，有，有，故平面与平面所成二面角的正弦值为21、（1）圆心，面积为；（2）.【解析】（1）将圆化为标准方程，进而求出圆心、半径和圆的面积；（2）求出圆心到直线的距离，进而通过勾股定理求得答案.【小问1详解】由已知，得