2023-2024学年北京市西城区第三十一中学高二上数学期末检测模拟试题含解析

2023-2024学年北京市西城区第三十一中学高二上数学期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在区间内随机取一个数x，则使得的概率为（）A. B.C. D.2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（）A. B.C. D.3．函数极小值为（）A. B.C. D.4．“”是“方程是圆的方程”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．函数在上的最小值为（）A. B.C.-1 D.6．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.58．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数n的值是（）A. B.C. D.10．已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A. B.C. D.11．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为A. B.C. D.12．在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为__________14．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边________15．已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________.16．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知定义域为的函数是奇函数，其中为指数函数且的图象过点（1）求的表达式；（2）若对任意的．不等式恒成立，求实数的取值范围；18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.19．（12分）已知函数（1）若在点处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求证：；（3）若函数有两个零点，求的取值范围20．（12分）已知数列满足（1）求；（2）若，且数列的前n项和为，求证：21．（12分）已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），.（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围.22．（10分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用几何概型的长度模型求概率即可.【详解】由，可得，其中长度为1，而区间长度为4，所以，所求概率为故选：A.2、C【解析】根据角终边上有一点，得到，再根据为锐角，且，求得，再利用两角差的正切函数求解.【详解】因为角终边上有一点，所以，又因为为锐角，且，所以，所以，故选：C3、A【解析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.【详解】对函数求导得，令，可得或，列表如下：减极小值增极大值减所以，函数的极小值为.故选：A.4、A【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故“”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件，故选：A5、D【解析】求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.故选：D.6、A【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A7、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.8、B【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值【详解】函数定义域是，有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根设，则，时，，递减，时，，递增，极小值＝，而时，，时，，所以故选：B9、C【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到，从而得到，再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行，斜率相等求解即可.【详解】由题知：，解得，抛物线.双曲线的左顶点为，，因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，解得.故选：C10、C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.【详解】解：抛物线的准线为因为在抛物线的准线上故其焦点为故选：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.11、D【解析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.详解：观察函数图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D的图象正确.故选D.点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键.12、B【解析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用，及渐近线方程即可求得结果.【详解】延长交于点，∵是的平分线，，，又是中点，所以，且，又，，，又，双曲线E的渐近线方程为故答案为：.14、【解析】根据数学归纳法的步骤即可解答.【详解】用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边=.故答案为：.15、【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.【详解】构造函数，则，故函数在上单调递减，由已知可得，由可得，可得.故答案为：.16、【解析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示从而因此在椭圆中长轴长，短轴长，，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）设（且），因为的图象过点，求得a的值，再根据函数f(x)是奇函数，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，检验是奇函数即可；（2）将分式分离常数后，利用指数函数的性质可以判定f(x)在R上单调递减，进而结合奇函数的性质将不等式转化为二次不等式，根据二次函数的图象和性质，求得对于对任意的恒成立时a的取值范围即可.【详解】解：（1）由题意，设（且），因为的图象过点，可得，解得，即，所以，又因为为上的奇函数，可得，即，解得，经检验，符合，所以（2）由函数，可得在上单调递减，又因为为奇函数，所以，所以，即，又因为对任意的，不等式恒成立，令，即对任意的恒成立，可得，即，解得，所以实数的取值范围为【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数函数及其性质和函数不等式恒成立问题，关键是利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为二次不等式在闭区间上恒成立问题，然后利用二次函数的图象转化为二次函数的端点值满足的条件.另外注意，第一问中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意检验对于任意的实数x，f(x)=-f(-x)恒成立.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等边三角形的性质、线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用余弦定理，结合三棱锥的等积性进行求解即可.【小问1详解】证明：设，因为是等边三角形，且，所以是的中点，则.又，所以，所以，即.又平面平面，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解：因为，所以.在中，，所以，则又平面，所以.如图，连接，则，所以.设点到平面的距离为，因为，所以，解得，即点到平面的距离为.19、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由可求得实数的值；（2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立；（3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围.【小问1详解】解：因为的定义域为，.由题意可得，解得.【小问2详解】证明：当时，，该函数的定义域为，，令，其中，则，故函数在上递减，因为，，所以，存在，使得，则，且，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，，所以，当时，.【小问3详解】解：函数的定义域为，.令，其中，则，所以，函数单调递减，因为函数有两个零点，等价于函数在上存在唯一的极值点，且为极大值点，且，即，所以，，令，其中，则，故函数在上单调递增，又因为，由，可得，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故，因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）先求得，猜想，然后利用数学归纳法进行证明.（2）利用放缩法证得结论成立.【小问1详解】依题意，，，，猜想，下面用数学归纳法进行证明：当时，结论成立，假设当时结论成立，即，由，，所以当时，有，结论成立，所以当时，.【小问2详解】由（1）得，且为单调递增数列，所以.所以.21、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆定义求得椭圆的即可解决；（2）经过点的直线l分为斜率不存在和存在两种情况，分别去求弦，再去求其取值范围即可.【小问1详解】由题意得.记左焦点为，，则，，解得.由椭圆定义得：，则，所以椭圆C的方程为：.【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，.②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为.联立椭圆与直线的方程（由于点在椭圆内，∴成立），且，，令，则，，，由得，综上所述，弦的取值范围为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，