2023-2024学年北京专家高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2023-2024学年北京专家高二数学第一学期期末达标检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在处的切线如图所示，则（）A.0 B.C. D.2．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用3．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.164．已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为()A. B.C. D.5．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为()A. B.C. D.6．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（）A.该双曲线的离心率为B.该双曲线的渐近线方程为C.点P到两渐近线的距离的乘积为D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为328．函数，的值域为（）A. B.C. D.9．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（）A. B.C. D.10．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（）A. B.C. D.11．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（）A.数列一定是等比数列 B.数列一定是等差数列C.数列一定是等差数列 D.数列可能是常数数列12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当时，，且f(-1)=0，则不等式的解集是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和为，且满足，，则___________.14．数列的前n项和满足：，则________15．某市开展“爱我内蒙，爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______16．已知，为椭圆C的焦点，点P在椭圆C上，，则的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（1）求证：为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.18．（12分）已知直线和直线（1）若时，求a的值；（2）当平行，求两直线，的距离19．（12分）设函数.（1）求在处的切线方程；（2）求的极小值点和极大值点.20．（12分）已知数列满足，，，n为正整数.（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）证明：数列中的任意三项，，都不成等差数列；（3）若关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，求实数m的取值范围；21．（12分）已知，，其中（1）已知，若为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围22．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判断△ABC的形状

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解.【详解】由直线经过，，可求出直线方程为：∵在处的切线∴，∴故选：C【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.2、C【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.【详解】∵，，∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，故选：C.3、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A4、A【解析】利用为定值即可获解.【详解】设则又,所以所以当且仅当,即,取等故选:A5、A【解析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数，将问题转化为解不等式.通过已知条件研究g(x)的奇偶性和单调性即可解该不等式.【详解】令，则根据题意可知，，∴g(x)是奇函数，∵，∴当时，，单调递减，∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在R上单调递减，由不等式得，.故选：A.6、C【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的7、D【解析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故离心率e，故A正确；由双曲线的性质可知，双曲线线的渐近线方程为y＝±x，故B正确；设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积为，故C正确；若PF1⊥PF2，则△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D错误.故选：D8、D【解析】求出函数的导数，根据导数在函数最值上的应用，即可求出结果.【详解】因为，所以，令，又，所以或；所以当时，；当时，；所以在单调递增，在上单调递减；所以；又，，所以；所以函数的值域为.故选：D.9、C【解析】根据点关于原点对称的性质即可知答案.【详解】由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数，所以.故选：C10、A【解析】设双曲线半焦距为c，求出，由给定的正三角形建立等量关系，结合计算作答.【详解】设双曲线半焦距为c，则，而轴，由得，从而有，而是正三角形，即有，则，整理得，因此有，而，解得，所以C的离心率为.故选：A11、B【解析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断.【详解】数列是等差数列，设公差为，选项A，数列是等差数列，那么为常数，又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），此时，，则为常数，故数列一定是等差数列，所以该选项正确；选项D，，则，当时，，此时数列可能是常数数列，故该选项正确.故选：B.12、D【解析】根据题意可知，当时，，即函数在上单调递增，再结合函数f(x)的奇偶性得到函数的奇偶性，并根据奇偶性得到单调性，进而解得答案.【详解】由题意，当时，，则函数在上单调递增，而f(x)是定义在R上的偶函数，容易判断是定义在上的奇函数，于是在上单调递增，而f(-1)=0，则.于是当时，.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】当时，，可得，可得数列隔项成等比数列，即所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，分别求和，即可得解.【详解】因为，，所以，当时，，∴，所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，所以.故答案为：.14、【解析】利用“当时，；当时，"即可得出.【详解】当时，当时，，不适合上式，数列的通项公式.故答案为：.15、1【解析】由平均数列出方程，求出x的值.【详解】由题意得：，解得：.故答案为：116、##【解析】设，然后根据椭圆的定义和余弦定理列方程组可求出，再由三角形的面积公式可求得结果【详解】由，得，则，设，则，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.【解析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论.（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由线面垂直的判定可证平面PAM，即是二面角的平面角，进而求其大小.（3）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱.【小问1详解】由棱台与棱锥的棱长和相等，∴，故.又截面底面ABC，则，，∴，从而，故为正四面体.【小问2详解】取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，从而是二面角的平面角.由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以.由D是PA的中点，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小为.【小问3详解】存在满足条件的直四棱柱.棱台的棱长和为定值6，体积为V.设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为.因为正四面体的体积是，所以，，从而，故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件.18、（1）（2）【解析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.【小问1详解】∵，且，∴，解得【小问2详解】∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直线间的距离为19、（1）；（2）极大值点，极小值点.【解析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可【小问1详解】函数，函数的导数为，，在处的切线方程：，即【小问2详解】令，，解得，当时，可得，即的单调递减区间，或，可得，∴函数单调递增区间，，的极大值点，极小值点20、（1）证明见解析；（2）证明见解析（3）【解析】（1）将所给等式变形为，根据等比数列的定义即可证明结论；（2）假设存在，，成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。从而证明原结论；（3）求出n=1,2,3,4时的情况，再结合时，，即可求得结果.【小问1详解】由已知可知，显然有，否则数列不可能是等比数列；因为，，故可得，由得：，即有，所以数列等比数列，且；【小问2详解】假设存在，，成等差数列，则，即，整理得，即，而是奇数，故上式左侧是奇数，右侧是一个偶数，不可能相等，故数列中的任意三项，，都不成等差数列；【小问3详解】关于正整数n的不等式，即，当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，，并且当时，，因关于正整数n的不等式的解集中有且仅有三个元素，故.21、（1）（2）【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集然后利用为真，取并求得的取值范围；（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，列出不等式组求解即可.【详解】（1）由，解得，所以又，因为，解得，所以．当时，，又为真，所以.（2）由是的充分不必要条