2023-2024学年北京丰台十二中数学高二上期末考试试题含解析

2023-2024学年北京丰台十二中数学高二上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（）A. B.C. D.2．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（）A. B.C. D.3．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（）A. B.C. D.4．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）A. B.C. D.5．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（）A.3 B.4C.6 D.6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺7．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则8．已知空间中四点，，，，则点D到平面ABC的距离为（）A. B.C. D.09．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)10．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形11．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为A. B.C. D.12．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）A类轮胎：94，96，99，99，105，107B类轮胎：95，95，98，99，104，109根据以上数据，下列说法正确的是（）A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D.A类轮胎的性能更加稳定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为__________14．已知数列满足，，则数列的前n项和______15．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________16．在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）已知函数（1）当在处取得极值时，求函数的解析式；（2）当的极大值不小于时，求的取值范围19．（12分）为深入学习贯彻总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署，推动教育系统围绕建党百年重大主题，深化中学在校师生理想信念教育，引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，以昂扬的状态迎接中国共产党建党周年，哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛．为了解本次知识竞赛的整体情况，随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值，并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数（精确到0.1）；（2）已知该样本分数在的学生中，男生占，女生占现从该样本分数在的学生中随机抽出人，求至少有人是女生的概率.20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.（1）求直线l的方程；（2）求的面积.21．（12分）已知点及圆，点P是圆B上任意一点，线段的垂直平分线l交半径于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形是菱形，求该菱形周长的最大值22．（10分）已知，，其中.（1）求的值；（2）设（其中、为正整数），求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.【详解】设是中点，.故选：B2、D【解析】由空间向量运算法则得,利用向量的线性运算求出结果.【详解】因为点，分别是面对角线与的中点，，，，所以故选:D.3、B【解析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF，BK，然后求解三角形的面积即可【详解】如图，设拋物线的准线为，过作于，过作于，过作于，设，则根据抛物线的定义可得，，，的面积为，故选：.4、D【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.故选：D5、A【解析】求得，由此求得四边形的面积.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，所以，由、两式相减并化简得，即直线的方程为，到直线的距离为，所以，所以四边形的面积为.故选：A6、D【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，，解得：，，所以冬至的日影长为尺.故选：D7、B【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项B.由，，则，故正确.选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.故选：B8、C【解析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.【详解】由题意，空间中四点，，，，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，所以点D到平面ABC的距离为.故选：C.9、B【解析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故选：B10、C【解析】利用余弦定理角化边整理可得.【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故选：C11、A【解析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；12、D【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得双曲线的右焦点F(c,0)，设一渐近线OM的方程为，则另一渐近线ON的方程为．设，∵，∴，∴，解得∴点M的坐标为，又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案：点睛：（1）已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程（2）求双曲线的渐进线方程的关键是求出的关系，并根据焦点的位置确定出渐近线的形式，并进一步得到其方程14、【解析】先求出，利用裂项相消法求和.【详解】因为数列满足，，所以数列为公差d=2的等差数列，所以，所以所以.故答案为：.15、3【解析】根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，由点到直线的距离公式可得，即的最小值为3.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及抛物线的最值问题，其中解答中根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.16、##【解析】求出等比数列的公比，利用定义可求得数列的公比.【详解】设等比数列的公比为，则，因此，数列的公比为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面的法向量和的坐标，点到平面的距离.计算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出来，平面与平面夹角的余弦值为，计算即可求出答案.【小问1详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体的棱长为2和，分别为线段，的中点知，.设平面的法向量为..则..故点到平面的距离.【小问2详解】平面的法向量，平面与平面夹角的余弦值.18、（1）；（2）.【解析】（1）对函数求导，根据求出m，并验证此时函数在x=1处取得极值，进而求得答案；（2）对函数求导，进而求出函数的单调区间和极大值，然后求出m的范围.【小问1详解】因为，所以.因为在处取得极值，所以，所以，此时，时，，单调递减，时，，单调递增，即在处取得极小值，故.【小问2详解】，令，解得.时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.，即的取值范围是.19、（1）（2）【解析】（1）利用频率和为1求出a；利用百分位数的定义求出知识竞赛成绩的第50百分位数；（2）先利用分层抽样求出男、女生的人数，利用古典概型求概率.【小问1详解】，由，解得设该次知识竞赛成绩的第50百分位数为x，则，解得：.即该次知识竞赛成绩的第50百分位数为【小问2详解】由频率分布直方图可知：分数在）的人数有人，所以这人中，女生有人，记为、，男生有人，记为、、、从这人中随机选取人，基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种不同取法；则至少有人是女生的基本事件为、、、、、、、、，共种不同取法，则所求的概率为20、（1）（2）【解析】（1）设，根据AB的中点坐标可得，再利用点差法求得直线的斜率，即可求出直线方程；（2）易得直线过左焦点，联立直线和椭圆方程，消，利用韦达定理求得，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：设，因为的中点坐标为，所以，则，两式相减得，即，即，所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为，即；【小问2详解】在直线中，当时，，由椭圆：，得，则直线过点，联立，消整理得，则，.21、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出，即可（2）设的方程为，，，，，设的方程为，，，，，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得，，运用菱形和椭圆的对称性可得，关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得，设菱形的周长为，运用基本不等式，计算可得所求最大值【小问1详解】点在线段的垂直平分线上，，又，曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆设曲线的方程为，，，曲线的方程为【小问2详解】设的方程为，，，，，设的方程为，，，，，联立可得，由可得，化简可得，①，，，同理可得，因为四边形为菱形，所以，所以，又因为，所以，所以，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以，关于原点对称，，也关于原点对称，所以且，所以，，，，因为四边形为菱形，可得，即，即，即，可得