形式逻辑性质判断的推理

形式逻辑性质判断的推理

1.性质评价的结论是形式逻辑理论体系的重要组成部分。因此，不同版本的表达性逻辑书籍毫不犹豫地选择了这篇文章的内容，并给出了许多有价值的结论。但是,对这些结论得以成立的前提,不少形式逻辑教科书却未作任何说明,这不能不说是逻辑理论论述中的一个重大疏漏。因为,当性质判断的主项S和谓项P不为空类或全类时,性质判断推理的有效式是一种情况,而当性质判断的主项S和谓项P是空类和全类时,性质判断推理的有效式则是另外一种情况,二者绝非等同,因此,不区分主项S和谓项P是否为空类或全类,而笼统地断定直言三段论的有效式是24个(包括5个弱式),断定在换位法中由SAP可推出PIS等等都是错误的,不合逻辑的。有些人意识到了这一问题,故而在论述性质判断的推理时明确指出,他们所讨论的S和P均不为空类和全类.这一简短的说明极有必要。它较之那种不区分S和P是否为空类或全类,笼而统之地论述性质判断的推理的作法是大大前进了一步。首先,这一说明保证了逻辑理论的科学性、严谨性;其次,它能够激发人们进行深入思考:作者为什么要特意作这一说明?既然强调S和P不为空类和全类,那是否等于暗示了还存在S和P是空类和全类的情况?如果存在这种情况,那么,这时什么样的推理格式是正确的?在S和P均不为空类和全类时所推得的推理形式都仍然有效吗?任何一个善于思考的人,都会在这一简短说明的启示下,自然地提出上述诸如此类的问题。但令人遗憾的是,我们翻阅了很多形式逻辑教科书,均未找到对上述若干问题的回答。形式逻辑为什么要回避空类和全类的问题?是这个问题无实际意义而不值一提?还是这个问题“高不可攀”难以找到正确答案?都不是。形式逻辑没有理由回避空类和全类的问题。这是因为一方面,研究这个问题既有重要的理论意义,又有重大现实意义;另一方面,数理逻辑已对空类和全类的问题作了一定的探讨,形式逻辑有必要、也完全有可能把这些宝贵的研究成果吸收过来,从而使自身更充实、更完善。在实际思维中,我们经常与空类打交道,经常接触或使用主项或谓项为空类的性质判断。例如:1.在实数范围内,方程x2+1=0的全部解都不是有理数。这是一个全称否定判断。主项是“在实数范围内,方程x2+1=0的全部解”,谓项是“有理数”。其中,主项为空类。2.任意一个三角形都不是既等边又直角的三角形。这也是一个全称否定判断。主项是“三角形”,谓项是“既等边又直角的三角形”。其中,谓项是空类。3.满足不等式:x2+y2<0的点(x,y)都是实平面内的点。这是一个主项为空类的全称肯定判断。以上三个判断均为止确判断。在这三个判断中都使用了空类概念。既然事实上存在着主项或谓项为空类的性质判断,就必然存在着运用这类判断所进行的推理。例如,我们常说:一切事物都是发展变化的。这是一个众所周知的确定无疑的真判断。承认这个判断为真,就必然要承认“所有有机物都是发展变化的”这一判断为真。现在,我们按照形式逻辑的正确推理规则,对“所有有机物都是发展变化的”这一判断进行换质换位,就可得到如下结论:“所有有机物都不是不发展变化的”(换质,得);“不发展变化的都不是有机物”(换位,得)“不发展变化的都是无机物”(换质,得);“有些无机物是不发展变化的”(换位,得)显而易见,后两个判断是十分荒谬的。这里,之所以由一个正确的前提SAP,按照传统的正确推理规则,却得出了错误的结论,究其原因就在于前提中的谓项是全类,而全类的补类是空类。仅此一例就足以说明,当主项和谓项不为空类时,所推得的某些正确推理形式,在主项或谓项为空类的推理中失效了.因此,不搞清空类或全类的问题,我们就可能无意识地用到空类和全类,并进行带有空类或全类的推理,就可能在无意识中得出错误的结论。从这个意义上讲,研究空类和全类的问题是十分必要的。2.“凡是具有某种性质的、确定的、有区别的事物的全体就是一个集合或简称为集”。“不含任何元素的集合(或类)称为空集(或空类)”。根据集和空集的定义,我们可以对含有空类的性质判断(注:这里仅讨论S是空类,P是非空类,即P是常类的性质判断)的真假性作出说明。当S为空类,P为常类时,SAP是真的。因为SAP为真的含义是:S中的所有元素是P的元素。根据集(类)的定义,我们知道任何一个元素或者属于某集合,或者不属于某集合,二者只具其一。所以,S中的元素或者属于P,或者不属于P;又因为S是空类,所以,S不含任何元素。既然S是不含任何元素的集合,当然S也是不含不属于P的元素的集合。所以,S中的全部元素都属于P,即SAP真。当S为空类,P为常类时,SEP是真的。因为SEP为真的含义是:S中的所有元素都不是P的元素;又因为S不含任何元素,当然S也不含属于P的元素,所以S中的所有元素都不是P的元素,即SEP真.当S为空类,P为常类时,SIP是假的。因为SIP为真的含义是:S中有元素属于P.而当S为空类时,S不含任何元素,所以,S中不可能有元素是P,故SIP为假。当S为空类,P为常类时,SOP是假的。因为SOP为真的含义是:S中有元素不属于P。当S为空类时,S不含任何元素,所以,S中不可能有元素不属于P,故SOP为假。同样根据集(类)和空集(空类)的定义,我们还可推得:当S是空类,P是常类时,PAS是假的。因为P是非空的任意类,如果PAS为真,那么,P中的元素都属于S。这与S是空类相矛盾。所以,PAS为假。当S是空类,P是常类时,PES是真的。因为S是空类,P的所有元素都不是S的元素。当S是空类,P是常类时,PIS是假的。如果PIS是真的,那么就有P中的某一元素P0属于S,这与S是空类相矛盾。当S是空类,P是常类时,POS是真的。前面已证了PES是真的。既然所有P的元素都不是S的元素,那么,当然P中有元素不属于S。根据上面的分析,我们可把主项为空类、谓项为常类以及主项为常类、谓项为空类的性质判断的真假性归结成下列真值表:借助于这个真值表,我们进而可以推出:当性质判断中出现了空类概念时,传统的A、E、I、O之间的真假关系也会发生变化。由上分析我们已知,当主项S为空类时,全称判断SAP、SEP为真,特称判断SIP、SOP为假。因为SAP、SEP同真,所以A、E之间的反对关系就不成立了;SIP、SOP同假,所以I、O间的下反对关系不成立了;SAP为真,SIP为假;SEP为真,SOP为假,所以A、I间和E、O间的差等关系也不成立了。这时仅有A、O间及E、I间既不同真,又不同假的关系依然存在.从A、O间及E、I间既不同真,又不同假这一点讲,我们也可以说它们具有矛盾关系.但需要指出的是,这种矛盾关系与性质判断中不含空类概念时所说的矛盾关系是有区别的。当性质判断中不含空类概念时,其矛盾关系的含义是:(1)当A真时O必假,当O假时A必真;(2)当A假时O必真,当O真时A必假(E与I间的关系也是如此)。可是,当性质判断的主项S是空类时,A、O间及E、I间只存在(1)这种关系,而不存在(2)这种关系。3.我们再来分析一下,当主项S是空类时性质判断的直接推理。1.换质法根据换质法的规则:SAP换质为;SEP换质为;SIP换质为;SOP换质为.证法如前,可得为真;为假.由此可得出结论:当主项为空类时,由真的前提可以通过换质推出真的结论;由假的前提经换质后只能得假的结论。2.换位法根据换位法的规则:SAP换位为PIS;SEP换位为PES;SIP换位为PIS;SOP不能换位.前已证得,PES是真的,PIS是假的。由此得出结论:当主项为空类时,(1)仅有正确的全称否定判断经换位后得正确的结论;(2)以正确的全称肯定判断为前提经传统的换位推理规则得到一个错误的结论;以错误的特称肯定判断为前提经换位后仍得错误的结论。例如:设S={x:x≠x,x为实数},可知S是空类;设P为实数集。因为S中没有不是实数的数,所以,S中的所有数都是实数,故SAP为真。换位后得PIS,即“有的实数x0使不等式:x0≠X0成立”。由实数的性质可知PIS是假的。所以,当前提的主项为空类时,我们应当注意以下两点:(1)只讨论前提为真的性质判断的推理,即SAP、SEP的推理;(2)SAP的换质推理成立,而换位推理不成立;SEP的换质、换位推理均成立.3.换质位法由换质、换位的规则,我们可以得出以下结论:我们知道,当S、P均为常类时,以全称判断为前提的换质换位推理,都是以特称否定判断不能换位而告终的。而当主项为空类时,可进行的换质换位的步骤就少了,而且都是以全称肯定判断不能换位而告终。4.在假定S、P均不为空类时,我们已知直言三段论推理的有效式有24个。那么,当主项或谓项是空类时,原来的24个正确推理格式是否都仍然有效呢?让我们来具体分析一下.1.对主项的分析从对逻辑的学习中我们知道,只有前提真实而形式又正确的三段论,才能必然地得出真实的结论.也就是说,要利用三段论得出真实的结论,不仅要形式正确,而且必须前提真实。由于这一要求,就使得:(1)下表(见最后的附表)中前提有特称判断(15-24)的主项不能为空类才能得到真实的结论;(2)前提为二全称判断,而结论为特称判断(1-9)的主项不能为空类。否则,就会出现由真实的前提推出错误结论的情况;(3)由空类的性质不难推出:前提为二全称判断,结论也为全称判断(10-14)的格式的主项可以是空类。2.对谓项的分析前面我们还分析了谓项为空类,主项为常类的情况,并得出了结论:谓项为空类的否定判断是正确的。因此,对下表中24个格式的谓项进行分析,就得到如下结论:当主项S为常类时,(1)前提为一全称和一特称,结论为特称否定(19-24)的谓项P可以是空类。仅就格式(19)的证明为例。当P为空类时,否定判断MEP、SOP是真的,而前提SIM也是真的,所以,格式(19)此时成立。(2)前提为一全称和一特称,而结论为特称肯定的格式(15-18)中,主项、谓项都不能是空类。因为主项为空类时,特称肯定判断是假的;而当谓项是空类时,特称肯定判断也是假的。(3)前提为二全称,结论为全称的格式(10-14)中,(10)、(12)、(13)、(14)的谓项可以