控制工程基础课件1

第二章数学模型一、控制系统的运动微分方程五、非线性数学模型的线性化二、拉氏变换和拉氏反变换三、传递函数四、系统方框图和信号流图六、控制系统传递函数推导举例七、小结○、数学模型的基本概念第二章数学模型10/29/20231

学习目的1.了解建立系统数学模型的一般步骤2.掌握拉氏变换和反变换方法3.掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、复数域；解析式、图示式）4.了解非线性数学模型线性化的方法

5.熟悉各种不同物理属性控制系统数学模型的建立过程内容提要本章主要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域模型——运动微分方程和复数域模型——传递函数的建立、数学模型的图示法——方框图和信号流图的建立步骤与方法，介绍拉氏变换与拉氏反变换重

点传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函数的推导

难

点实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导

10/29/20232○、数学模型的基本概念

数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。

动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。

第二章数学模型

为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。10/29/20233

建立数学模型的方法

解析法

实验法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第二章数学模型10/29/20234

数学模型的形式

时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程

复数域：传递函数、结构图

频率域：频率特性第二章数学模型系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选择。10/29/20235一、控制系统的运动微分方程

建立数学模型的一般步骤

分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；

从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；

消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；

标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排第二章数学模型10/29/2023610/29/20237

控制系统微分方程的列写

机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量mfm(t)参考点x

(t)v

(t)第二章数学模型10/29/20238弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章数学模型10/29/20239阻尼BfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)第二章数学模型10/29/202310机械平移系统mmfi(t)KBxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fB(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响第二章数学模型10/29/202311式中，m、B、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。第二章数学模型显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。

10/29/202312弹簧－阻尼系统xo(t)0fi(t)KB弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。

第二章数学模型10/29/202313机械旋转系统K

i(t)

o(t)00TK(t)TC(t)B粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量；K—扭转刚度系数；B—粘性阻尼系数柔性轴第二章数学模型10/29/202314第二章数学模型10/29/202315

电气系统电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)第二章数学模型10/29/202316电容Ci(t)u(t)电感Li(t)u(t)第二章数学模型10/29/202317

R-L-C无源电路网络第二章数学模型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络10/29/202318一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。

若L=0，则系统简化为：第二章数学模型10/29/202319有源电网络+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：第二章数学模型10/29/202320

小结

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；第二章数学模型10/29/202321

通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。

系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。第二章数学模型10/29/202322

线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：可加性：齐次性：或：第二章数学模型10/29/202323用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。第二章数学模型10/29/202324

液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。

A：箱体截面积；第二章数学模型10/29/202325上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。

：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，

为常数。第二章数学模型10/29/202326

线性系统微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。

第二章数学模型10/29/2023272.3拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。能够把描述系统运动状态的微分方程很方便的转换为系统的传递函数，并由此发展出分析和设计控制系统的工程方法。10/29/20232810/29/202329三、拉氏变换和拉氏反变换

拉氏变换设函数f(t)(t

0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数

，使得：则函数f(t)的拉普拉斯变换存在，并定义为：式中：s=

+j

（

，

均为实数）；第二章数学模型10/29/202330称为拉普拉斯积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。

拉氏反变换L－1为拉氏反变换的符号。第二章数学模型10/29/202331

几种典型函数的拉氏变换

单位阶跃函数1(t)10tf(t)单位阶跃函数第二章数学模型10/29/202332

指数函数（a为常数）指数函数0tf(t)1第二章数学模型10/29/202333

正弦函数与余弦函数正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sin

tf(t)=cos

t-1由欧拉公式，有：

第二章数学模型10/29/202334从而：同理：第二章数学模型10/29/202335

单位脉冲函数

(t)0tf(t)单位脉冲函数

1

由洛必达法则：所以：第二章数学模型10/29/202336

单位速度函数（斜坡函数）10tf(t)单位速度函数1第二章数学模型10/29/202337

单位加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。

第二章数学模型10/29/202338拉氏变换积分下限的说明在某些情况下，函数f(t)在t＝0处有一个脉冲函数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0－还是0+，并相应记为：第二章数学模型10/29/202339

拉氏变换的主要定理

叠加定理

齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数；叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章数学模型10/29/202340实微分定理证明：由于即：第二章数学模型10/29/202341所以：同样有：式中，f'(0)，f''(0)，……为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。第二章数学模型10/29/202342当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：第二章数学模型10/29/202343当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f(0+)

f(0－)，则：第二章数学模型10/29/202344复微分定理若L[f(t)]=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：第二章数学模型10/29/202345

积分定理当初始条件为零时：若f(0+)

f(0－)，则：第二章数学模型10/29/202346证明：第二章数学模型10/29/202347同样：当初始条件为零时：第二章数学模型10/29/202348

延迟定理设当t<0时，f(t)=0，则对任意

0，有：函数f(t-

)0tf(t)

f(t)f(t-

)第二章数学模型10/29/202349

位移定理例：第二章数学模型10/29/202350

初值定理证明：初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。

第二章数学模型10/29/202351

终值定理若sF(s)的所有极点位于左半s平面，即：存在。则：第二章数学模型证明：10/29/202352终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。第二章数学模型又由于：即：10/29/202353

卷积定理若t<0时，f(t)＝g(t)＝0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)

g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。第二章数学模型10/29/202354证明：第二章数学模型10/29/202355

时间比例尺的改变例：第二章数学模型10/29/202356

求解拉氏反变换的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)第二章数学模型10/29/202357在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn为方程A(s)=0的根的负值，称为F(s)的极点；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。

第二章数学模型10/29/202358

F(s)只含有不同的实数极点式中，Ai为常数，称为s=-pi极点处的留数。于是：第二章数学模型10/29/202359例：求的原函数。解：第二章数学模型10/29/202360即：第二章数学模型10/29/202361

F(s)含有共轭复数极点

假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：式中，A1和A2的值由下式求解：上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值。第二章数学模型10/29/202362注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2的也为共轭复数。第二章数学模型10/29/202363例：求的原函数。解：令：，则：

第二章数学模型10/29/202364根据：有：即：由上式两边实部和虚部分别相等，得：第二章数学模型10/29/202365而：所以：第二章数学模型10/29/202366查拉氏变换表得：令，即：于是：第二章数学模型10/29/202367例：求的原函数。解：第二章数学模型10/29/202368即：所以：第二章数学模型10/29/202369第二章数学模型10/29/202370查拉氏变换表得：第二章数学模型10/29/202371

F(s)含有重极点

设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。第二章数学模型10/29/202372……第二章数学模型10/29/202373注意到：所以：第二章数学模型10/29/202374例：求的原函数。解：第二章数学模型10/29/202375于是：第二章数学模型10/29/202376

用MATLAB展开部分分式设：在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126第二章数学模型10/29/202377用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=[b0

b1…bm]den=[a0

a1…an]MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。第二章数学模型10/29/202378若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：第二章数学模型10/29/202379例：求的部分分式展开。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展开式为：第二章数学模型10/29/202380例：求的部分分式展开。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展开式为：第二章数学模型10/29/202381[num,den]=residue(r,p,k)函数residue也可用于将部分分式合并，其句法为：>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：第二章数学模型10/29/202382

应用拉氏变换解线性微分方程

求解步骤

将微分方程通过拉氏变换变为

s的代数方

程；

解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表

达式；

应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。第二章数学模型10/29/202383原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章数学模型10/29/202384

实例设系统微分方程为：若xi

(t)

=1(t)，初始条件分别为x'o(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换：

第二章数学模型10/29/202385即：第二章数学模型10/29/202386对方程右边进行拉氏变换：从而：第二章数学模型10/29/202387第二章数学模型10/29/202388所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：第二章数学模型零状态响应零输入响应10/29/202389

应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。

如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。

由上述实例可见：第二章数学模型系统响应可分为两部分：零状态响应和零输入响应10/29/202390作业：2-3（2,4,6,10,16）

2-4(2,3)10/29/202391四、传递函数

传递函数的概念和定义

传递函数

第二章数学模型在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。

零初始条件：

t<0时，输入量及其各阶导数均为0；

输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0；10/29/202392第二章数学模型

传递函数求解示例

质量-弹簧-阻尼系统的传递函数

所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：10/29/202393第二章数学模型

R-L-C无源电路网络的传递函数

所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：10/29/202394第二章数学模型几点结论

传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。

若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。

传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。10/29/202395第二章数学模型

传递函数的一般形式考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：10/29/202396第二章数学模型令：则：D(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。D(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。

特征方程、零点和极点

特征方程10/29/202397第二章数学模型式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时：

G(0)=bm/an=K从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。

10/29/202398第二章数学模型零点和极点将G(s)写成下面的形式：

N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点；系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。10/29/202399第二章数学模型

零、极点分布图

将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“×”表示。

G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图012312-1-2-3-1-2

j

10/29/2023100第二章数学模型

传递函数的几点说明

传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；

传递函数是

s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；10/29/2023101第二章数学模型

传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；

传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。

一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。10/29/2023102第二章数学模型典型环节及其传递函数

环节具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。

任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。

10/29/2023103第二章数学模型

环节的分类假设系统有b个实零点，c对复零点，d个实极点，e对复极点和v个零极点，由线性系统传递函数的零、极点表达式：可见：b+2c=m

v+d+2e=n10/29/2023104第二章数学模型对于实零点zi=

i和实极点pj=

j

，其因式可以变换成如下形式：10/29/2023105第二章数学模型对于复零点对zℓ=

ℓ+j

ℓ和zℓ+1=

ℓ

j

ℓ

，其因式可以变换成如下形式：式中，10/29/2023106第二章数学模型对于复极点对pk=

k+j

k和pk+1=

k

j

k

，其因式可以变换成如下形式：式中，10/29/2023107第二章数学模型于是，系统的传递函数可以写成：式中，为系统放大倍数。10/29/2023108第二章数学模型由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：10/29/2023109第二章数学模型比例环节： K一阶微分环节：

s+1二阶微分环节：积分环节：惯性环节：振荡环节：10/29/2023110第二章数学模型实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间

，即xo(t)=xi(t-

)，此时：或：因此，除了上述六种典型环节外，还有一类典型环节——延迟环节。10/29/2023111第二章数学模型

典型环节示例

比例环节

输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量；K—比例系数，等于输出量与输入量之比。10/29/2023112第二章数学模型比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器10/29/2023113第二章数学模型

惯性环节

凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：

T—时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关式中，K—环节增益（放大系数）；10/29/2023114第二章数学模型如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KB10/29/2023115第二章数学模型

微分环节

输出量正比于输入量的微分。运动方程为：传递函数为：式中，

—微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。10/29/2023116第二章数学模型如：测速发电机uo(t)

i(t)测速发电机式中，Kt为电机常数。

无负载时：10/29/2023117第二章数学模型RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络

显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。

10/29/2023118第二章数学模型除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。10/29/2023119第二章数学模型

积分环节

输出量正比于输入量对时间的积分。

运动方程为：传递函数为：式中，T—积分环节的时间常数。10/29/2023120第二章数学模型积分环节特点：

输出量取决于输入量对时间的积累过程。且具有记忆功能；

具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值

A时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。10/29/2023121第二章数学模型如：有源积分网络

+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a10/29/2023122第二章数学模型液压缸

Aqi(t)xo(t)10/29/2023123第二章数学模型

振荡环节

含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：传递函数：10/29/2023124第二章数学模型式中，T—振荡环节的时间常数

—阻尼比，对于振荡环节，0<

<1

K—比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：

n称为无阻尼固有频率。10/29/2023125第二章数学模型如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：式中，当时，为振荡环节。10/29/2023126第二章数学模型

二阶微分环节

式中，

—时间常数

—阻尼比，对于二阶微分环节，0<

<1

K—比例系数

运动方程：传递函数：10/29/2023127第二章数学模型

延迟环节惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；运动方程：传递函数：式中，

为纯延迟时间。

延迟环节从输入开始之初，在0~

时间内,

没有输出，但t=

之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：10/29/2023128第二章数学模型ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测量10/29/2023129第二章数学模型

小结

环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；

一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；

同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。10/29/2023130第二章数学模型五、系统方框图和信号流图系统方框图

系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。10/29/2023131第二章数学模型

方框图的结构要素

信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s),x(t)信号线10/29/2023132第二章数学模型

信号引出点（线）表示信号引出或测量的位置和传递方向。

同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)10/29/2023133第二章数学模型

函数方框(环节)G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功能，即：

X2(s)=G(s)X1(s)传递函数的图解表示。10/29/2023134第二章数学模型

求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“

”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。

相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)

X2(s)

10/29/2023135第二章数学模型

ABA-BCA-B+C

A+C-BBCAA+C

ABA-B+CCA-B+C求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。

10/29/2023136第二章数学模型

求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。

10/29/2023137第二章数学模型

系统方框图的建立

步骤

建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。

对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。

按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。10/29/2023138第二章数学模型

示例RCui(t)uo(t)i(t)无源RC电路网络

无源RC网络

拉氏变换得：10/29/2023139第二章数学模型从而可得系统各方框单元及其方框图。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)10/29/2023140第二章数学模型

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)无源RC电路网络系统方框图10/29/2023141

机械系统

第二章数学模型m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC10/29/2023142第二章数学模型m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0xo(t)010/29/2023143第二章数学模型10/29/2023144第二章数学模型

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)K1

X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)10/29/2023145第二章数学模型

Xo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)

(c)K2Xo(s)FK2(s)(d)10/29/2023146第二章数学模型

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)

Xo(s)FK2(s)

K1

Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2机械系统方框图10/29/2023147第二章数学模型系统方框图的简化

方框图的运算法则

串联连接

G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)10/29/2023148第二章数学模型

并联连接

Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)

++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)10/29/2023149第二章数学模型

反馈连接

G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)10/29/2023150第二章数学模型

方框图的等效变换法则

求和点的移动

G(s)

ABC±求和点后移G(s)

ABC±求和点前移G(s)

ABCG(s)±G(s)

ABC±10/29/2023151第二章数学模型

引出点的移动引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA10/29/2023152第二章数学模型

由方框图求系统传递函数基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。

10/29/2023153第二章数学模型例：求下图所示系统的传递函数。H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

BH2(s)A10/29/2023154第二章数学模型H1(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

Xo(s)H2(s)G3(s)解：1、A点前移；10/29/2023155第二章数学模型2、消去H2(s)G3(s)反馈回路H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)10/29/2023156第二章数学模型Xi(s)Xo(s)H3(s)

Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反馈回路4、消去H3(s)

反馈回路10/29/2023157第二章数学模型2-8按信息传递和转换过程，绘出图示两机械系统的方框图。K1B2xom输出K2abfi(t)输入KB1xiB2xom输入输出作业：2－8、2－10、2－1110/29/20231582-10绘出图示无源电网络的方框图，并求各自的传递函数。R1C1C2R2uiuob)C1R1R2uo(t)ui(t)C2d)10/29/20231592-11基于方框图简化法则，求图示系统的闭环传递函数。Xi(s)G1G2G3H2H1G4Xo(s)a)10/29/2023160第二章数学模型系统信号流图和梅逊公式

信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。

信号流图及其术语

节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。节点用“

”表示。10/29/2023161第二章数学模型

支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。例：x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023162第二章数学模型

输入节点（源节点）只有输出的节点，代表系统的输入变量。

输出节点（阱节点、汇点）只有输入的节点，代表系统的输出变量。

源节点汇点x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023163第二章数学模型

混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出节点。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023164第二章数学模型

通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。

前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g10/29/2023165第二章数学模型

回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用La表示。x1x2x3x4x5x51eafbdc1g

不接触回路相互间没有任何公共节点的回路。10/29/2023166第二章数学模型

信号流图的绘制由系统微分方程绘制信号流图根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方框图的步骤类似。由系统方框图绘制信号流图两种方法：10/29/2023167第二章数学模型例1：根据微分方程绘制信号流图R1R2C1C2i1(t)u1(t)uo(t)i2(t)uA(t)二级RC电路网络10/29/2023168第二章数学模型取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo

(s)作为信号流图的节点，其中，Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点。按上述方程绘制出各部分的信号流图，再综合后即得到系统的信号流图。

10/29/2023169第二章数学模型a)I1(s)UA(s)I2(s)-11Ui(s)I1(s)UA(s)-11b)10/29/2023170第二章数学模型c)UA(s)I2(s)1-1Uo(s)d)Uo(s)I2(s)10/29/2023171第二章数学模型Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-111-1Uo(s)1Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)110/29/2023172第二章数学模型例2：根据方框图绘制信号流图G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

E(s)系统方框图信号流图Xi(s)Xo(s)G(s)E(s)Xo(s)11-H(s)10/29/2023173第二章数学模型G1(s)G4(s)G3(s)G2(s)

E1E2E3G1-G2G4G3E3G1(s)G4(s)G3(s)G2(s)

E1E2E3G1-G2G4G3E3E11※比较点与节点对应关系：10/29/2023174

梅逊公式第二章数学模型式中，P—系统总传递函数Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益）

—流图特征式10/29/2023175第二章数学模型—所有不同回路的传递函数之和；—每两个互不接触回路传递函数乘积之和—每三个互不接触回路传递函数乘积之和10/29/2023176第二章数学模型

k—

第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式

，将与第k条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的

即为

k。

10/29/2023177第二章数学模型Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)1例：用梅逊公式求系统传递函数对于二阶RC电路网络，输入Ui(s)与输出Uo(s)之间只有一条前向通路，其传递函数为：10/29/2023178第二章数学模型Ui(s)I1(s)UA(s)-11I2(s)-11-1Uo(s)1三个不同回路的传递函数分别为：L1L2L310/29/2023179第二章数学模型流图特征式为：前向通路特征式的余因子为：所以，10/29/2023180第二章数学模型控制系统的传递函数

考虑扰动的闭环控制系统G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)

N(s)++Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道；Xo(s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道；

10/29/2023181第二章数学模型

闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号B(s)和偏差信号

(s)之间的传递函数，即：将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数。记为GK(s)。10/29/2023182第二章数学模型

xi(t)作用下系统的闭环传递函数令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传递函数为：G1(s)H(s)

Xi(s)Xo1(s)B(s)

(s)G2(s)xi(t)作用下的闭环系统10/29/2023183第二章数学模型输入作用下系统的偏差传递函数1H(s)

Xi(s)G1(s)G2(s)

(s)偏差信号与输入信号之间的关系令n(t)=0，此时系统输入Xi(s)与偏差

(s)之间的传递函数称为输入作用下的偏差传递函数。用表示。10/29/2023184第二章数学模型

n(t)作用下系统的闭环传递函数令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数（干扰传递函数）为：

G1(s)H(s)

N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)作用下的闭环系统10/29/2023185第二章数学模型

扰动作用下系统的偏差传递函数令xi(t)=0，此时系统在扰动作用下的偏差传递函数（称扰动偏差传递函数）。

-1

N(s)G1(s)

(s)偏差信号与干扰信号之间的关系G2(s)H(s)+10/29/2023186第二章数学模型

结论

系统的闭环传递函数、、及具有相同的特征多项式：

1+G1(s)G2(s)H(s)

其中G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。即闭环传递函数的极点相同。

系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性；

10/29/2023187第二章数学模型

系统的总输出根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及扰动n(t)共同作用下的总输出为：10/29/2023188第二章数学模型若且，则：上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。

10/29/2023189第二章数学模型2-13系统信号流图如下，试求其传递函数。Xi(s)1abc1Xo(s)fghde作业：2－13、2－1410/29/20231902-14系统方框图如下，图中Xi(s)为输入，N(s)为扰动。求传递函数Xo(s)/Xi(s)和Xo(s)/N(s)。若要消除扰动对输入的影响(即Xo(s)/N(s)=0)，试确定G0(s)值。

_K4N(s)K1

G0(s)Xi(s)Xo(s)+_10/29/2023191第二章数学模型六、控制系统传递函数推导举例机械系统

电机驱动进给装置工作台m丝杠L电动机如右图，丝杠螺母装置将电机的旋转运动转变为工作台的直线运动。10/29/2023192第二章数学模型电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为：L—丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离。10/29/2023193第二章数学模型齿轮传动装置

z1T1

1T2

2z2齿轮副假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：T1、T2：转矩

1、

2：角位移

1、

2：角速度z1、z2：齿数r1、r2：齿轮分度圆半径10/29/2023194第二章数学模型T

1z1T2

2z2J1C1J2C2T1集中参数齿轮副模型：J1、J2：齿轮（包括轴）的转动惯量C1、C2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数T

：输入转矩10/29/2023195第二章数学模型齿轮1：齿轮2：利用：有：10/29/2023196第二章数学模型式中：——等效折算到输入端的转动惯量其中，动惯量折算到齿轮1一侧的等效转动惯量为齿轮2一侧的转10/29/2023197第二章数学模型——等效折算到输入端的粘性阻尼系数显然，利用，齿轮2一侧的转矩、转速和角位移同样可等效折算到齿轮1一侧。其中，性阻尼系数折算到齿轮1一侧的等效粘性阻尼系数为齿轮2一侧的粘10/29/2023198第二章数学模型考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘以。即若K1、K2的分别为齿轮1和2的扭转刚度系数，则，齿轮1一侧的等效刚度KI为：10/29/2023199第二章数学模型机床进给传动链工作台m丝杠L伺服电机xo(t)J3,K3,C3J2,K2,C2J1,K1,C1Cmz1z2z3z4IIIIIIT

iKm10/29/2023200第二章数学模型

m(t)为工作台位移xo(t)折算到I轴上的等效当量转角：空载时，I轴转矩平衡方程为：其中，

i(t)为I轴输入转角；，L为丝杠螺距10/29/2023201第二章数学模型J、C、K分别为工作台及各轴折算到I轴上的等效总转动惯量、等效总粘性阻尼系数及等效总刚度系数。10/29/2023202第二章数学模型根据上述关系，可求得系统微分方程为：传递函数：10/29/2023203第二章数学模型汽车悬挂系统当汽车行驶时，轮胎的垂直位移作用于汽车悬挂系统上，系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动组成。车体车架质心汽车悬挂系统（垂直方向）10/29/2023204第二章数学模型m2m1K2CK1xi(t)xo(t)x(t)简化的悬挂系统（垂直方向）10/29/2023205第二章数学模型K1X(s)Xo(s)Xi(s)10/29/2023206第二章数学模型车削过程muf(t)KCxo(t)ui(t)实际切削深度u引起切削力f(t)，作用于工件、刀具和机床，引起工件、刀具和机床的变形，该变形可等效为刀架上的位移xo(t)。而xo(t)反回来又引起实际切削深度u的变化。即工件—刀具—机床构成一闭环负反馈系统。10/29/2023207第二章数学模型以名义切削深度ui(t)作为输入，刀架变形xo(t)作为输出，其传递函数可推导如下：Kc—切削过程系数，切削力与切除量之比Cc—切削阻尼系数，切削力与切除量变化率之比u(t)=ui(t)-xo(t)U(s)=Ui(s)-Xo(s)根据切削力动力学方程，有：10/29/2023208第二章数学模型机床刀架简化为一弹簧—质量—阻尼系统：F(s)Xo(s)Ui(s)10/29/2023209第二章数学模型液压系统

液压缸系统p—液压缸工作腔压力q—液压缸输入流量fL—负载力y—活塞位移m—负载质量（包括活塞、活塞杆等）C—粘性阻尼系数mpqCfLy10/29/2023210第二章数学模型根据液流连续性原理，有：

—漏损流量Kl

：液压缸总泄漏系数A

：活塞有效工作面积其中，—使活塞移动的有效流量10/29/2023211第二章数学模型—等效压缩流量V

：液压缸工作腔和进油管内油液体积

：油液的体积弹性模量活塞上的力平衡方程为：10/29/2023212第二章数学模型初始条件为0时：Y(s)AsQ(s)AP(s)FL(s)10/29/2023213第二章数学模型外负载FL(s)=0时：10/29/2023214第二章数学模型

液压伺服马达ymC高压油回油回油p1p2qqpopopsx滑阀液压缸10/29/2023215第二章数学模型由流体力学可知，液压缸中油的流量q是活塞位移x和压力差p1-p2的非线性函数：对上式的非线性函数关系，在平衡点x0=0、q