空间自同构的刻画

空间自同构的刻画

算子代表的自同构研究是近年来算子代表研究领域的热点之一。大量研究结果表明，算子代表的零积的映射是自同构或反同构。例如，semr在文献中证明，（h）保护单位的线性双射如果是零，那么它是一个自同构。在文献中，作者证实，在hilbert空间中的原子衬盖的迭代迭代和自我保护单位的有边界性双射，如果是零，那么它是一个空间的自同构。此外，朱军等人在文献中证明，具有共同等算子等称的各个方面的线性算子的连续性，这意味着映射点的可执行性内联子。是算子a和自身的线性排列，当s，ta和s，tz时，如果s，t=s，t=s，t）（t），则称可以在z点发生乘法。在这项工作中，主要讨论映射点的可执行角是否与空间的自同构有关。本文中,H总表示无限维的复Hilbert空间,<·,·>表示H上的内积,对x,y∈Η,x⨂y表示秩一算子<·,y>x.Β(H)和F(H)分别表示H上全体有界线性算子的集合和H上全体有限秩线性算子的集合.ran(T)和N(T)表示T(T∈B(H))的值域空间和核空间.T*表示T的共轭算子.B(H)上由半范数族{Px:Px(T)=‖T(x)‖,x∈H}生成的局部凸拓扑称为强算子拓扑.如果存在可逆算子A∈Β(H),使得对任意的T∈A有φ(T)=ATA-1,则称φ是空间自同构.1i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i2引理1在文章中起着重要的作用,其中X,Y是Banach空间,F(X)表示B(X)中有限秩算子的集合,X*表示X的对偶空间.引理1设φ:F(X)→F(Y)是线性映射,则φ保秩不增当且仅当下列性质之一成立:(ⅰ)存在线性映射A:X→Y和C:X*→Y*使得φ(x⨂f)=Ax⨂Cf对所有的x∈X及f∈X*都成立;(ⅱ)存在线性映射A:X*→Y和C:X→Y*使得φ(x⨂f)=Ax⨂Cf对所有的x∈X及f∈X*都成立;(ⅲ)存在线性映射φ:F(X)→Y和线性泛函0f∈Y*使得对任意的T∈F(X)有φ(T)=φ(Τ)⨂0f;(ⅳ)存在向量x0∈Y和线性映射ψ:F(X)→Y*使得对任意的T∈F(X)有φ(T)=x0⨂ψ(Τ).引理2设φ:Β(H)→Β(H)是强算子拓扑连续的线性满射,如果φ在I处可乘,则φ(I)=I.证明对任意的幂等算子P∈B(H),因为Ι=(Ρ-1+√3i2Ι)(Ρ-1-√3i2Ι)I=(P−1+3√i2I)(P−1−3√i2I),于是由φ在I处可乘知φ(Ι)=φ(Ρ-1+√3i2Ι)φ(Ρ-1-√3i2Ι)=φ(Ρ)2-1+√3i2φ(Ι)φ(Ρ)-(1)1-√3i2φ(Ρ)φ(Ι)+φ(Ι)2.φ(I)=φ(P−1+3√i2I)φ(P−1−3√i2I)=φ(P)2−1+3√i2φ(I)φ(P)−(1)1−3√i2φ(P)φ(I)+φ(I)2.同理有φ(Ι)=φ(Ρ-1-√3i2Ι)φ(Ρ-1+√3i2Ι)=φ(Ρ)2-1-√3i2φ(Ι)φ(Ρ)-(2)1+√3i2φ(Ρ)φ(Ι)+φ(Ι)2.φ(I)=φ(P−1−3√i2I)φ(P−1+3√i2I)=φ(P)2−1−3√i2φ(I)φ(P)−(2)1+3√i2φ(P)φ(I)+φ(I)2.由(1)和(2)得由文献中的结果知Β(H)上的每个算子都可表示为Β(H)中最多5个幂等算子的和,又因为φ是满射,故对任意的T∈B(H),φ(I)T=Tφ(I).这说明φ(I)∈ℂI,即存在λ∈ℂ,φ(I)=λI,由φ(I)=φ(I)2知λ=0或λ=1.若φ(I)=0,则由(1)式知对任意幂等算子P∈B(H),φ(P)2=0.设S∈F(H)是自伴算子,则S=n∑i=1αiΡiS=∑i=1nαiPi,其中Pi∈Β(H),(i=1,2,…,n)是一族正交的投影算子且αι∈R.因为Pi+Pj(i≠j)还是投影算子,所以由φ(Pi+Pj)2=0知φ(Pi)φ(Pj)+φ(Pj)φ(Pi)=0,从而有φ(S)=n∑i=1αi2φ(Ρi)2=0φ(S)=∑i=1nαi2φ(Pi)2=0.对任意F∈Β(H),总可表示为F=S1+iS2,其中S1,S2∈F(H)是自伴算子.因为φ(S1+S2)2=0,于是φ(S1)φ(S2)+φ(S2)φ(S1)=0.由文献中的结果知F(H)在B(H)中是强算子拓扑稠密的,于是对任意的T∈B(H)有φ(T)2=0.这说明φ的像是由一些平方为零的算子组成的.因为I∈Β(H)且平方不为零,这与φ的满射性矛盾,于是φ(I)=I.引理3设φ:B(H)→B(H)是强算子拓扑连续的线性满射,如果φ在I处可乘,则:(ⅰ)对任意的幂等算子P∈B(H),φ(P)2=φ(P);(ⅱ)对任意的幂零算子P∈Β(H),φ(P)2=0.证明(ⅰ)设P∈Β(H)是幂等算子,则由φ在I处可乘知及引理2知由(3)式得φ(P)2=φ(P).(ⅱ)设P∈Β(H)且P2=0,则(I-P)(I+P)=I.由φ在I处可乘及引理2知I=φ(I)=φ(I-P)φ(I+P).(4)由(4)式即得φ(P)2=0.2p定理1设φ:Β(H)→Β(H)是强算子拓扑连续的线性满射,如果φ在I处可乘,则φ是空间自同构.证明首先证明φ保持幂等算子的秩一性,设P∈Β(H)是秩一幂等算子,令和则对任意的T∈X2有(T+P)2=T+P且T2=0,由引理3知有φ(T+P)2=φ(T+P)和φ(T)2=0成立.即由(5)式得φ(P)φ(T)φ(P)=0.于是这说明φ(X2)⊆Y2+Y3.同理可证φ(X3)⊆Y2+Y3.由P是秩一幂等算子知X1=瓘P.显然φ(X1)⊆Y1,下证φ(X4)⊆Y4.事实上,H按分解H=ranP⊕ran(I-P),有X4=B(ran(I-P))且ran(I-P)是无限维的复Hilbert空间.由文献中的结果知,X4中的每个算子都可以表示成X4中至多5个幂等算子之和.我们只需证对任意的幂等算子Q∈X4有φ(Q)∈X4.设Q∈X4是任意一个幂等算子,因为PQ=QP=0,所以(P+Q)2=P+Q.由引理3知由(6)、(7)两式得φ(Q)=φ(Q)(I-φ(P)).进而有另外,由X1=ℂP知φ(X1)=ℂφ(P),所以φ(B(H))⊆ℂφ(P)⊕Y2⊕Y3⊕Y3.又由φ是满射知ℂφ(P)=Y1=φ(P)B(H)φ(P),所以φ(P)是秩一算子.其次证明φ是保持秩一算子的秩不增.对任意的秩一算子x⨂y∈Β(H),若<x,y>≠0,则x⨂y是秩一幂等算子x⨂y<x,y>x⨂y<x,y>的倍数,因而φ(x⨂y)是秩一算子.若<x,y>=0,对x∈H,由Hahn-Banach定理知,存在y1∈H,使得<x,y1>=1,令y2=y1-y则<x,y2>=1.x⨂y1和x⨂y2都是秩一幂等算子且x⨂y=x⨂y1-x⨂y2.由前面的证明知φ(x⨂yi)=si⨂ti且<si,ti>=1,i=1,2.对任意的m∈有φ(mx⨂y1+(1-m)x⨂y2)=sm⨂tm,即ms1⨂t1+(1-m)s2⨂t2=sm⨂tm.这说明一定有s1,s2线性相关,或者t1,t2线性相关.于是有φ(x⨂y)=s1⨂t1-s2⨂t2的秩一定不大于1.由上面的证明知φ满足引理1的条件.由于φ是满射,于是存在T0∈B(H)使得φ(T0)的秩大于1.这说明φ只具有引理1中的形式(1)或(2).若φ有情形(1),即对任意的x⨂y∈Β(H),存在线性映射A,C使得φ(x⨂y)=Ax⨂Cy.可以有下式成立<x,y>=<Ax,Cy>(∀x,y∈H).(8)事实上,结合引理3,当<x,y>≠0时,由(8)是幂等算子知有(8)式成立.当<x,y>=0时,由φ2(x⨂y)=<Ax,Cy>Ax⨂Cy=0知(12)式也成立.由φ是满射知A是满射.又因为若存在x0∈H,使得Ax0=0.则由Hahn-Banach定理知,存在z∈H,使得<x0,z>=1,由前面的证明知φ(x0⨂z)是秩一算子,这与φ(x0⨂z)=Ax0⨂Cz=0矛盾,即A是单射.取点列{xn}∞n=1⊆H,设xn→x0(n→∞),Axn→y0(n→∞),结合(8)式得这说明Axn=y0.由闭图像定理知A是有界线性算子,即A∈Β(H).由(8)式及A的单射性知C=(A*)-1,于是对任意的x,y,z∈H有即φ(x⨂y)=A(x⨂y)A-1.若φ具有引理1中的形式(2),同理可证明存在可逆的共轭线性算子A∈B(H)使得φ(x⨂y)=A(x⨂y)*A-1.下面证明φ是空间自同构.由文献中的结果知,Β(H)中有限秩算子集合是强算子拓扑稠密的,而且Β(H)中的每个有限秩算子又可以表示成它中一些秩一算子之和.于是由φ是强算子拓扑连续的知,对任意的T∈Β(H),要么