广义波方程的一个新解

广义波方程的一个新解

是非营利非政府组织（n.1、2和3）的一个有限集合，并且边境一旦闭合，它将是完全正的。未知泛函u=u（x，t）是=，+）（r）中的实际泛函。考虑到具有次线性噪声扰动的广义波方程。{dut+αutdt-Δudt+λudt=f(x)dt+c(u)˚dW(t)u(x‚t)|∂Ω=0t≥τu(x‚τ)=u0(x)ut(x‚τ)=u1(x)(1)其中α,λ均是正常数,u0(x)∈H10(Ω),u1(x)∈L2(Ω),f(x)是与时间无关的已知泛函,并且f(x)∈H2(Ω)∩H10(Ω),c(u)。dW(t)是次线性可乘白噪音.对函数c(u)我们有如下假定(H):(H)函数c(u)有次线性增长方式limu→∞|c(u)|u=0(2)且存在c1,c2>0满足|c´(u)|≤c1∀u∈R(3)|c˝(u)|≤c2∀u∈R(4)随机函数W(t)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的双边实值Wiener过程,其中Θ={ω∈C(R‚R)∶F是由Ω的紧-开拓扑诱导的Borel-Sigma代数,P是Wiener测度.则有W(t)=ω(t)(t∈R,ω∈Θ),因此,我们可定义如下一簇算子{θt}t∈R:θtω(⋅)=ω(⋅+t)-ω(t)t∈R‚ω∈Θ令δ(θtω)=-σ∫-∞0eσs(θtω)(s)dst∈R‚ω∈Θ则δ(θtω)是Ornstein-Uhlenbeck过程,并且是Ornstein-Uhlenbeck方程dδ+σδdt=dW(t)δ(-∞)=0‚t≥0(5)的解.易知算子A=-Δ:D(A)=Η01(Ω)∩Η2(Ω)→L2(Ω)是自反的、线性的,并且λ1是它的第一特征值.令v=ut+εu-c(u)δ(θtω),其中u,ut是方程组(1)的解,A=-Δ,则方程组(1)能写成{dudt=v-εu+c(u)δ(θtω)dvdt=-Au+ε(α-ε)u-λu+(ε-α)v+(σ-α+ε)c(u)δ(θtω)+c´(u)(εu-v-c(u)δ(θtω))δ(θtω)+f(x)u(x‚τ)=u0v(x‚τ)=u1+εu0-c(u0)δ(θτω)(6)其中初值满足u(x,τ)∈H0γ1(Ω),v(x,τ)∈L2(Ω).所以有ϕτ(ω)=(u(x,τ),v(x,θτω))T∈E.由方程组(6)可定义一簇算子φ(t,ω)如下:φ(t‚ω)ϕτ(ω)=ϕ(t‚θτω；ϕτ(ω))=(u(x‚t)‚v(x‚θtω))(7)容易证得如此定义的φ是一个连续的RDS.在本文中,我们将证明随机动力系统(7)存在非空紧的随机吸引子,即定理1随机动力系统(7)存在紧的随机吸引子.未作说明的术语参见文献.令ε=αγα2+3γ,其中γ=λ+λ1,则方程组(6)可写为{ϕ˙+Lϕ=F(ϕ‚θtω)ϕ(τ‚ω)=(u(x‚τ)‚v(x‚θτω))Τt≥τ(8)其中ϕ=(uv)L=(εΙ-ΙA+(λ-ε(α-ε))Ι(α-ε)Ι)F(ϕ‚θtω)=(c(u)δ(θtω)c´(u)(εu-v-c(u)δ(θtω))δ(θtω)+(σ-α+ε)c(u)δ(θtω)+f(x))通过简单的计算很容易得出:引理1对任意的ϕ=(u,v)T∈E,有(Lϕ‚ϕ)E≥ε2∥ϕ∥E2+α2∥v∥02.引理2假设B是任意的非随机有界集,则当(5)式中的σ充分大时,存在随机半径ρ(ω)≥0,使得对任意的(u0,u1+εu0)T∈B,存在TB(ω)≥0,当-τ≥TB(ω)时,对几乎处处的ω∈Ω有∥ϕ(0‚θ-τω；ϕ-τ(ω))∥E≤ρ(ω)由Young不等式、Gronwall引理得∥ϕ(t‚θτω；ϕτ(ω)∥E2(1+r)≤e-ε(1+r)2(t-τ)+k1(1+ε)(1+r)∫τt(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη∥ϕτ(ω)∥E2(1+r)+2rεr∫τte-ε(1+r)2(t-s)+k1(1+ε)(1+r)∫st(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη⋅m1+r(θtω)ds其中m(θtω)=k1(|δ(θtω)|2+σ2kσ2+1).若σ≥max{1‚α‚64k12(1+1ε)2},则k1(1+ε)(E[|δ(θtω)|2]+E[|δ(θtω)|])≤ε4对任意的t≤0以及负充分大的τ,任取(u0,u1+εu0)T∈B,有∥ϕ(t‚θτω；ϕτ(ω))∥E2(1+r)≤ρ0(1+r‚ω)其中ρ0(1+r‚ω)=21+rεr∫-∞0eε(1+r)2s+k1(1+ε)(1+r)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη⋅m1+r(θsω)ds(9)现在将方程组(8)的解ϕ分解成3个部分ϕ=ϕi+ϕj+ϕk=(ui‚uti+εui)+(uj‚utj+εuj-(c(ui+uj)-c(ui)+c(0))δ(θtω))Τ+(uk‚utk+εuk-(c(u)-c(u-uk)+c(ui)-c(0))δ(θtω))Τ其中ϕi=(ui,vi)T,ϕj=(uj,vj)T,ϕk=(uk,vk)T分别是下面方程的解ϕ˙i+Lϕi=0ϕτi(ω)=(u0‚u1+εu0)Τ(10)ϕ˙j+Lϕj=F1ϕτj(ω)=(0‚-c(0)δ(θ-τω))Τ(11)ϕ˙k+Lϕk=F2ϕτk(ω)=(0‚-(c(u0)-c(0))δ(θ-τω))Τ(12)其中F1=((c(ui+uj)-c(ui)+c(0))δ(θtω)c´(u)(εu-vj-c(u)δ(θtω))δ(θtω)+(σ-α+ε)c(u)δ(θtω)+f(x))F2=((c(u)-c(u-uk)+c(ui)-c(0))δ(θtω)c´(u)(vj-v)δ(θtω))引理3B是E中的非随机子集,对充分大的σ,存在随机半径ρ1(ω)≥0,使得ϕi,ϕj,ϕk分别满足limτ→-∞supB∥ϕi(0‚θτω；ϕτ(ω))∥E=0limτ→-∞supB∥Aσ2ϕj(0‚θτω；ϕτ(ω))∥E≤ρ1(ω)limτ→-∞supB∥ϕk(0‚θτω；ϕτ(ω))∥E=0其中σ={34n=112n=2‚3证分别对(12)式的两边与ϕi在空间E中作内积,得∥ϕi(t‚θτω；ϕτ(ω))∥E2≤∥ϕτi(ω)∥E2e-ε(t-τ)=(∥u0∥γ2+∥u1+εu0∥02)e-ε(t-τ)分别对(11)式的两边与Aσϕj在空间E中作内积,由微分中值定理和Cauchy-Schwartz不等式有(((c(ui+uj)-c(ui)+c(0))δ(θtω)‚Aσuj))γ≤c1|δ(θtω)|⋅∥Aσ2u2∥γ2-(c´(u)vjδ(θtω)‚Aσvj)≤c1|δ(θtω)|⋅∥Aσ2vj∥02(σ-α+ε)(c(u)δ(θtω)‚Avj)≤σc1|δ(θtω)|⋅∥u∥⋅∥Aσ2vj∥0(f(x)‚Aσvj)≤∥Aσ2f(x)∥022α+α2∥Aσ2vj∥02有如下的Sobolev嵌入:Η0v(Ω)⊂D(Av2)⊂Ηv(Ω)⊂Lq(Ω)⊂L2(Ω)⊂Lq´(Ω)⊂Η-v(Ω)⊂D(A-v2)其中1q=12-vn1q+1q´=1v∈[0‚1]当n=1时,可选v=14‚q=4,并由D(Av1)⊂D(Av2)(v1>v2),可得ε(c´(u)uδ(θtω)‚Aσvj)≤ε|δ(θtω)|⋅|(c´(u)A38u‚A38vj)+(c˝(u)uA38u‚A38vj)|≤εm|δ(θtω)|(1+∥u∥)∥u∥⋅∥Aσ2vj∥0当n=2时,可选v=12‚q=4;当n=3时,可选v=12‚q=3,并由H01(Ω)⊂L6(Ω)同样可得(10)式.根据(10)式同样的作法可得-(c´(u)c(u)δ2(θtω)‚Aσvj)≤|δ(θtω)|2⋅|(c˝(u)c(u)Aσ2u+(c´(u))2Aσ2u‚Aσ2vj)|≤m|δ(θtω)|2(1+∥u∥)∥u∥⋅∥Aσ2vj∥0其中m>0是与区域Ω,σ有关的常数.综上所述,存在与α和σ无关的常数k2>0,以及常数k3>0,由Gronwall引理有∥Aσ2ϕj(0‚θtω；ϕτ(ω))∥E2≤eετ+k2(1+ε)∫τ0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη∥Aσ2ϕj(θτω)∥E2+k3∫τ0eεs+k2(1+ε)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη⋅(∥ϕ(s‚θτω；ϕτ(ω))∥E8+|δ(θsω)|2+1)ds当σ≥max{1‚α‚64k12(1+1ε)2‚16k22(1+1ε)2}时,有k2(1+ε)(E[|δ(θtω)|2]+E[|δ(θtω)|])≤ε2由Aσ2ϕτj=0,当τ负充分大时,有∥Aσ2ϕj(0‚θtω；ϕτ(ω))∥E2≤k3∫-∞0eεs+k2(1+ε)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη(ρ0(4‚ω)+|δ(θsω)|2+1)ds记ρ12(ω)=k3∫-∞0eεs+k2(1+ε)∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη(ρ0(4‚ω)+|δ(θsω)|2+1)ds分别对(9)式的两边与ϕk在空间E中作内积,由中值定理有(((c(u)-c(u-uk)+c(ui)-c(0))δ(θtω)‚u3))γ≤(c1|δ(θtω)|+12c1|δ(θtω)|2)∥uk∥γ2+c12∥ui∥γ2(c´(u)(v-vj)δ(θtω)‚vk)≤(c1|δ(θtω)|+12c1|δ(θtω)|2)∥vk∥02+c12∥vi∥02并由Gronwall引理可得∥ϕk(0‚θτω；ϕτ(ω))∥E2≤c12|δ(θτω)|2γ(∥u0∥γ2+∥u1+εuo∥02)eετ+2c1∫τ0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dη+c1(∥u0∥γ2+∥u1+u0∥02)eετ∫τ0e2c1∫s0(|δ(θηω)|2+|δ(θηω)|)dηds当σ≥max{1‚α‚64c1ε2}时,有2c1(E[|δ(θtω)|2]+E[|δ(θtω)|])≤ε2,则有limτ→-∞supB∥ϕk(0‚θτω；ϕτ(ω))∥E=0因此可得,当σ≥max{1‚α‚64k12(1+1ε)2