大学物理：第五章 相对论

第五章相对论Chap.5TheoryofRelativity本章要点经典力学的时空观与伽利略变换狭义相对论的时空观和洛伦兹变换狭义相对论的基本原理长度收缩，时间膨胀，同时的相对性相对论的质量、动量、动能，质能关系，能量动量关系第一节牛顿的时空观和伽利略变换一、牛顿的时空观（经典力学的时空观）“绝对的、纯粹的、数学的时间，就其本身和本性来说，永远均匀地流逝而与任何外界事物无关”。“绝对的空间，就其本性来说，与任何外界事物无关，而永远保持着相同和不变”。绝对时空观——时间、空间和“外界事物”这三者都是相互独立的、没有关联的，空间的延伸和时间的流逝是绝对的，时间的度量和空间的度量也都是绝对的，和参考系的选择无关，与观察者运动状态也无关。这必然导致同时性具有绝对性。一切力学规律在相互作匀速直线运动的惯性系内部都是一样的，这称为力学相对性原理。惯性系具有“优越性”。同时在经典力学中，物体的质量和运动无关，是绝对的。二、伽利略变换（GalileanTransformation）在牛顿力学中，把两个在不同惯性系中所测得的空间量值和时间量值之间的变换称为伽利略变换，它是牛顿时空观的数学描述。事件的概念：一物理事件：质点到达P

点两个惯性系的描述分别为：两个惯性系：二、伽利略变换（GalileanTransformation）按照经典力学的时空观，空间和时间的量度不随参考系的不同而变化，按照这一观点有：对同一个事件的两个惯性系不同描述的关系满足伽利略时空变换：坐标原点重合正变换逆变换令：由伽利略时空变换容易得：伽利略速度变换：

由于在经典力学中，质量和力与惯性系运动速度无关继续分别在各自坐标系中对时间求导得：这就是说，牛顿第二定律经过伽利略变换后形式不变，这称为牛顿第二定律满足伽利略变换的协变性。牛顿力学的整个结构无论在哪一个惯性参考系中都可以用同一形式表达，力学定律的形式不因惯性系的不同而改变，即力学定律对伽利略变换不变。在一个惯性系的内部所做的任何力学实验都不能够确定这一惯性系本身是在静止状态，还是在作匀速直线运动。这个原理叫做力学的相对性原理，或伽利略相对性原理。令：表示某时刻（该时刻对两惯性系都同时）空间两点的距离在K系和K'系中的表示，由伽利略时空变换容易知道：即空间间隔和时间间隔与参考系无关。这样的观点是绝对时空观的体现：两个相对运动的惯性系中具有相同的时间、空间关系！三、经典力学的时空观绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远相同和不动的。绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无关地流逝着。

——牛顿长度的量度和时间的量度(甚至质量)都与参考系无关！？（与运动无关？）经典力学的时空观的困难ABlA处击球前静止的球经

t=l/c被B看见A处击球后运动的球经

t’=l/(v+c)被B看见t’<t：B先看见运动的球？因果颠倒！！例子1：网球运动人们相信距地球5000光年的金牛座上的蟹状星云，是900多年前一次超新星爆发出的气体壳层，而这次爆发在我国的《宋会要》中的记载得到证实。爆发时间从1054年（北宋至和元年）延续到1056年（嘉右元年）。按经典速度合成率计算，

t´比

t

短25年。我们会在25年内持续看到超新星爆发所发出的强光，而史书记载不到两年，这如何解释？例子2：天文观察例子3：迈克耳孙-莫雷实验若以太存在，以太中光速一定，但地球在以太中运动，对地球上的观察者来说，不同方向的光速应不同，实验中两束光的传播应有时间差。实验结果是否定的！地球相对于以太的速度为零？不可思议！以太是多余的！光不服从经典的速度合成律，光速不变！在经典物理中遇到这些困难，物理学家开始寻求伽利略变换以外的新变换，这方面的工作有：1905年爱因斯坦提出狭义相对论。1892年爱尔兰的菲兹哲罗和荷兰的洛伦兹提出运动长度缩短的概念。1899年洛伦兹提出运动物体上的时间间隔将变长。1904年法国庞加莱提出物体质量随其速率的增加而增加，速度极限为真空光速。还有更多例子！怎么办？自然的设计是对称的，不仅力学规律在所有的惯性系中有相同的数学形式，所有的物理规律都应与惯性系的选择无关。第二节狭义相对论基本原理一、伽利略变换的局限性电磁学规律不满足伽利略变换的协变性。大量观察和实验都表明，任何惯性系中测得的光在真空中的速率都是相等的，光速不服从伽利略变换。二、狭义相对论的基本原理(爱因斯坦的假设)爱因斯坦的相对性原理（Einstein'sPrincipleofRelativity）：物理规律对所有惯性系都是一样的。光速不变原理（PrincipleofConstancyofLightVelocity）：在任何惯性系中，光在真空中传播的速率都相等。第三节洛伦兹变换一、洛伦兹时空变换（LorentzTransformation）新变换应满足的基本条件：通过这种变换，物理规律保持其数学形式不变。即物理规律在所有惯性系中都是一样的，不存在任何特殊的惯性系。通过这种变换，真空中光的传播速率在所有惯性系中保持不变。这种变换在低速情况下简化为伽利略变换。满足上述两个条件而保持物理定理不变的变换是洛伦兹变换。洛伦兹变换还遵循两个基本原理：1.变换必须是线性的，因运动方程是线性的。2.假定了时空的均匀性及空间的各向同性。坐标原点重合。同一个物理事件在两个惯性系里的两套描述洛伦兹时空变换：逆变换：在洛伦兹变换中当u<<c时洛伦兹变换变成伽利略变换。若设想K系相对K

系以（-u）运动，则可得其逆变换☆当速度远远小于c

时，过渡到伽利略变换。☆两参考系的相对速度不可能等于或大于光速。☆时间坐标与空间坐标相关连。☆物理定律应在洛伦兹变换下保持不变。二、洛伦兹速度变换令：根据洛伦兹时空变换可以得：由此我们得到洛伦兹速度变换为:洛伦兹速度逆变换为：例1:有一静止的电子枪向相反方向发射甲、乙两个电子。实验室测得甲电子的速率为0.6c,乙电子速率为0.7c，求一个电子相对于另一个电子的速率。甲乙oxK系

系在K系中，乙电子的速率为设实验室为K系，甲电子为系

系相对于K

系运动

解这是甲看乙的速度，也就是乙相对于甲的速度!例1有一静止的电子枪向相反方向发射甲、乙两个电子。实验室测得甲电子的速率为0.6c,乙电子速率为0.7c

，求一个电子相对于另一个电子的速度的大小。解：令实验室（地球）参考系为K系，甲电子为K'系，则K'系相对于K系速度为u=0.6c，方向沿x轴正方向。乙电子相对于K系的速度为vx=-0.7c，方向沿x轴负方向，则K'系中测得的乙电子速度即乙电子相对于甲电子的速度，设其为vx'，根据洛伦兹速度变换可得：即乙电子相对于甲电子的速度大小为0.915c。同样，甲电子相对于乙电子速度的大小也是0.915c，方向和乙电子相对于甲电子的速度方向相反。两个事件K

系中：系：不同地点但同时的两个事件在另一系中不同时。同一地点、同时的两个事件(?)在另一系中也同时。同地点但不同时的两个事件在另一系中不同时。第四节狭义相对论的时空观一、同时性的相对性(relativityofsimultaneity)K系中，有两个事件A和B分别在xA和xB两个地点在t时刻同时发生。同时性的相对性(relativityofsimultaneity)：否定了各个惯性系具有统一的时间，否定了牛顿的绝对时空观。从K‘系中来看：要测量一个运动物体的长度，合理的办法是同时记下物体两端的位置。设K

系相对K以速度u沿x轴运动,

K系中有一根静止棒，两端点的空间坐标为x1、x2，则棒在K系中的长度为：二、长度的相对性:长度收缩(lengthcontraction)

静长最长通常棒与棒相对静止的参照系K中的长度称为固有长度(properlength)或静长。在K

系中的t

时刻，记下棒两端的空间坐标x

1、x

2，棒在K

系中的长度为：yo

y

x

oxx1t1x2t2x1

t

ux2

t

按洛仑兹变换，有上两式相减，有：长度收缩(lengthcontraction)。与观察者相对于被观察物体的运动有关。反之，如棒在K

系中静止，K系中观察长度小于K

系观察长度前提：任意一个惯性系都以同样的标准制作标准尺将一把标准尺沿x方向固定放置在K'中，让它随K'系一起相对于K系运动，运动的速度大小为u，方向沿x正向，在K'系中，尺子两端的坐标为x1'和x2'，其长度为：现在我们在K系中来测量这把尺的长度，由于尺子在运动，所以我们必须在K系中同时记录该尺两端的坐标，设为x1和x2，则测得该尺的长度L为：动尺的长度缩短了！！L0通常称为原长（固有长度），显然，在和尺相对静止的参照系中量出的长度就是原长（固有长度）。动尺的缩短是同时的相对性的直接后果！！K系的测量者做测量时只能按照K系的标准来同时测量尺子两端的坐标，显然，从K'系来看，一定是不同时的。也就是说，从与尺相对静止的参考系的观测者来看，他认为K系的测量者没有同时记录尺子两端的坐标，而是把尺子右端（相对于K系坐标大的为右端）的坐标读早了：所以导致把我（K'参考系的观测者）的标准尺读短了。虽然尺子在运动中并没有发生物理的收缩，但是双方又都认为对方的标准尺有缩短，这是因为双方有不同的同时标准的缘故。三、时间相对性：时间延缓(timedilation)本地时（原时）最短设在K系中的同一地点先后发生两个事件，时空坐标为(x,t1)和(x,t2)，在K系中两个事件的时间间隔为：由于K

系K系间有相对运动，K

系中的这两个时间就发生在不同的地点，按洛仑兹变换，K

系中两个事件发生的时刻为：所以，K

系中两事件的时间间隔为：

t’=t2’

－t1’

既然“同时”概念在不同的惯性参考系中是相对的，那么两个事件的时间间隔或某一过程的持续时间与参考系的关系又如何呢？称为原时(propertime)称为两地时注意，时间延缓效应是对原时而言的，原时最短。现在以τ0

表示原时，以τ表示相对于原时发生的参考系运动着的参考系中测得的时间间隔，则：若在K

系和K系两件事件都发生在不同地点，上式不满足，应用洛仑兹变换求解。反过来，两事件先后发生于K‘系中同一地点，分析如下前提：任一惯性系的钟客观上是一样的。考虑一个相对于K'系静止的标准钟，K'系相对于K系以速度u沿x正向运动，当K'系中，该钟显示的时间从t1'到t2'，则K'系中时间过了：令该钟显示t1'时K系中的时间为t1，而显示t2'时K系中的时间为t2，根据洛伦兹变换，K系中的时间过了:动钟变慢了！！t0通常称为原时（固有时间，本地时）。孪生子佯谬(TwinParadox)甲乙两孪生兄弟，甲留在地球，乙坐飞船旅行，在甲看，时间在飞船上流逝得比地球上慢，故乙比甲年轻，在乙看，时间在地球上流逝的比飞船上慢，故甲比乙年轻。到底谁年轻？广义相对论证明，在非惯性系中时间流逝的慢，故乙比甲年轻。1971年，马里兰大学的研究小组将原子钟乘飞机进行实验，发现飞机上的钟比地面上的钟慢59ns，与理论值误差不到

1%。例2

在与

子相对静止的参照系中

子的平均寿命为

=2.210-6s。当它以速度为v=0.9966c

垂直飞向地球时,求在地球上观察到的

子的飞行距离。按经典计算以上计算不正确，应按相对论计算。地球上观察到的

子的寿命为：也可以从

子的参照系观察计算，结果一样。解：因果事件时序的绝对性如果两个事件存在因果关系，是否在某一参照系中因果关系会颠倒呢？设在K

系中事件B是由A事件引起，如在K

系中A事件是t1

时刻在x1

处开枪，B事件是t2

时刻在x2

处子弹中靶。按洛仑兹变换K系中，A、B两事件发生的时刻分别为：故在K系中，中靶事件与开枪事件的时间间隔为：由于上式中是子弹在K

系中的飞行速度v

x，而v

x和u的绝对值都必须小于光速c，在K

系中开枪事件在先，中靶事件在后，，不论如何，恒有。即因果事件的时序不会颠倒。时空间隔设A、B两个事件在K、K’的时空坐标分别为(x1,y1,z1,t1),(x2,y2,z2,t2)和(x1

,y1

,z1

,t1

),(x2

,y2

,z2

,t2

)则定义两事件在K、K’系的时空间隔为代入洛仑兹变换进行计算，可得：两个事件之间的时空间隔S在所有惯性系中都相同，即时空间隔是绝对的。注意：时空间隔不是完全等同的，空间位置可取任意正负值，而时间则一去不复反。因而，在时空间隔中，时间项前取负值。1、确定两个作相对运动的惯性参照系；2、确定所讨论的两个事件；3、表示两个事件分别在两个参照系中的时空坐标或其时空间隔；4、用洛仑兹变换讨论。注意:原时一定是在某坐标系中同一地点发生的两个事件的时间间隔；原长一定是物体相对某参照系静止时两端的空间间隔。狭义相对论中讨论运动学问题的思路动力学的一系列概念，如能量、动量、质量等守恒量，及与守恒量传递相联系的物理量如力、功等。在相对论中面临重新定义的问题。如何定义？第五节相对论动力学一、相对论的质量必须满足相对性原理，即在洛仑兹变换下是不变的。当v<<c时，新定义的物理量必须趋于经典物理中的对应量。尽量保持基本守恒定律继续成立。爱因斯坦提出建立相对论动力学必须满足的原则：由于光速是一切运动速度的上界，从做功与能量的角度考虑，容易知道，质量必然随着运动速度的增加而增大。根据相对论的一个基本假设，即爱因斯坦相对性原理可以证明：在恒力的作用下，物体的速度应单调递增，但必须有界！！力等于动量对时间的变化率：在恒力的作用下，动量的变化率一定，但速度的变化率越来越小，只能说明惯性质量在增加，且质量的变化率越来越大。根据狭义相对论，质量是速度的函数m0是物体在相对静止的参考系中的质量，叫做静质量(restmass)。m是物体在相对观察者速度为v时的质量，叫做相对论质量(relativisticmass)，简称质量。质速关系揭示了物质与运动的不可分割性。1901年考夫曼用加速电子观察电子在磁场中的偏转，测定电子质量，从而验证了质速关系的正确性。某些粒子如光子、中微子，其速度等于光速，它的静止质量就必须等于零。二、相对论的动量相对论动量定义为：相对论动力学的基本方程为（牛顿第二定律）可以表示为：当v

接近

c

时，v的变化将很小，力所作的功转变成什么能量？v

增加很慢，m

在增加,说明物体能量的增加和惯性质量的增加相关。惯性质量的大小标志着能量的大小！三、相对论动能力的功仍然定义为动能的增量。根据相对论动力学基本方程和动能定律，可以推导得到物体在外力做功后动能的增量为：当

v<<c

时，动能表达式与经典力学相同：相对论动能推导在相对论动力学中，粒子在力的作用下运动，速率由0增大到v时，力所做的功仍然定义为和粒子最后的动能Ek相等。对等式两边取微分并整理得：所以：当

v<<c

时，动能表达式与经典力学相同：另外，由：，结合相对论质量容易得到：上式表明，当粒子的动能由于力对它做的功增多而增大时，它的速率v也随着增大，但无论如何增大，速率v都不能无限增大，而有一极限值c。这又一次告诉我们，对粒子来说，存在着一个极限速率，它就是光在真空中的速率c。四、相对论能量质能关系将相对论动能表达式略加变化得：m0c2称为物体的静止能量，简称静能，mc2称为物体的总能量。上式表明，当物体静止时，即Ek=0时，物体依然有静能。物体的静能是物体内能的总和，由于c2的值很大，即使是m0很小的粒子，其内部也蕴含了很大的能量。质能关系：1kg的物质所包含的静能约为9.00×1016J，而1kg汽油的燃烧值为4.60×107J，这只是其静能的二十亿分之一（5×10-10）。如一个铀235核吸收一个中子后，裂变成一个溴85核和一个镧148核，同时放出三个中子（铀235的质量为235.124u，溴85的质量为84.938u，镧148的质量为147.96u，中子的质量为1.009u），产生的质量亏损为0.208u（u为原子质量单位，1u＝1.66×10-27kg），释放的能量可达200Mev，占其总静能的10-3

，比化学能所占的比例大六个数量级。核能利用的基础：五、相对论的能量与动量的关系狭义相对论能量动量的关系：光子光子的静止质量为零：光子的相对论质量和动量分别为：嘉佑元年三月，司天监言，客星没，客去之兆也。初，至和元年五月晨出东方，守天关。昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。第六节广义相对论简介一、广义相对性原理狭义相对性原理：所有惯性系对于描述一切物理现象都是平权的，即，物理定律在所有惯性系中具有相同的数学形式。而惯性系与非惯性系不是平权的。广义相对性原理认为：所有参考系都是平权的，物理定律必须具有适用于任何参考系的性质。逻辑上的困难导致：二、引力质量与惯性质量的关系惯性质量和引力质量是完全不同的两个概念，但实验证实：任何物体的引力质量恒等于惯性质量。爱因斯坦正是从这里发现了新理论的线索。他从场的观点出发，抓住了这一个环节，终于找到了推广相对性原理的思路，提出了等效原理，以场的观点建立了新的引力理论。三、等效原理考察在一个没有窗户的密封舱内的力学实验：测得舱内物体自由下落，加速度为a。由于密闭中的观察者不可能用直接的观察知道他的舱相对于外部世界的运动，因此，他对实验有两种可能的解释：第一种解释：密闭舱相对于地球是静止的或是作匀速直线运动，是一个惯性系，舱内物体的自由下落是因为处于地球的引力场之内，该处的引力场强g=a，所以物体自由下落，加速度是a。第二种解释：密闭舱早已脱离地球的引力，没有引力场，但舱在太空中向上以加速度a运动，物体由于惯性而保持原来的运动状态，密闭舱处于非惯性系，因而测得物体有一个向下的加速度a。两种解释的等效性说明一个问题：非惯性系等效于引力场。等效原理：在引力场中自由降落的参考系内，物体完全失重，此参考系和一个没有引力、没有加速度的惯性系等效，任何物理实验都无法把两者区分开来。在引力作用下自由下落的参考系叫局部惯性系。等效原理分为弱等效原理和强等效原理：弱等效原理：基于mG

=mI，以及由此而推出来的加速度与引力场等效的原理，仅限于力学规律。强等效原理：在每一事件（时空点）及其邻域里存在一个局部惯性系（即与在引力场中自由降落的物体一起运动的参考系）。在此局部惯性系内，一切物理定律（不只是力学规律）服从狭义相对性原理（如光速不变性、时间延缓、长度收缩等）。万有引力区别于其他相互作用的最本质特征：万有引力能在其种局部参考系中完全地消除。其他的力都没有这种属性。例如宏观的电磁力或原子核、粒子范围的强相互作用和弱相互作用，都不可能通过选择适当的参考系而完全加以消除。四、爱因斯坦引力场方程与万有引力定律的关系描述引力场的方程应能正确反映引力的本质特征。在新的引力理论中，空间、时间和物质运动是相互作用紧密关联着的，应是完全摆脱了牛顿意义下与物质运动完全无关的绝对时空观的。“空间-时间未必能被看作是一种可以离开物理实在的实际客体而独立存在的东西。物理客体不是在空间之中，而是这些客体有着空间的广延。因此，‘空虚空间’这一概念就失去了它的意义。”引力场方程需要借助新的数学工具——黎曼几何。虽然爱因斯坦的广义相对论在基本概念上与牛顿的引力理论是完全不同的，但在牛顿理论适用的范围内，广义相对论的具体结果和牛顿理论的应当相同。按照广义相对论，太阳（质量为M）与行星（质量为m）之间的引力作用势能应为：G是万有引力常数，c是真空中的光速，v是行星的速度，r是太阳与行星的距离。第二项等则是广义相对论带来的修正，第二项（后牛顿项）约为第一项（牛顿项）的10-6。此修正虽然很小，但有时能起关键作用，如水星近日点的反常进动，就是依靠后牛顿项来说明的。五、时空弯曲空间、时间是弯曲的——这是广义相对论的一个重要结论是。任何质量都使它周围的空间区域产生向着它的“弯曲”，以使所有自由运动的物体都循着这弯曲的路径行进。在广义相对论中，行星公转的椭圆轨道运动就是一种惯性自由运动（伽利略曾经把椭圆轨道运动当做惯性运动）。根据等效原理，靠近太阳的地方时间要长些，或者说，集近太阳的钟比远离太阳的钟走得要慢一些，这种效应称为引力时间延缓，也就是时间弯曲。此效应可以用所谓的引力红移现象来验证。六、实验验证1．引力偏转：广义相对论预言，光线经过太阳等质量很大的物体附近时会发生偏折。1919年英国天文学家爱丁顿（Eddington）领导的观测队，第一次定量地证实了光线弯曲的预言。2．雷达回波延迟：当地球、太阳和某行星几乎排在一条直线上的时候，如果从地球上发射一束电磁波（雷达波），沿太阳边缘掠过，到达该行星，然后经原路反射回来，广义相对论预言，雷达信号往返所需时间要比牛顿理论的计算值延迟一定时间。3．引力红移：引力红移现象的实质是引力时间延缓效应。由于引力效应，在太阳表面上的钟慢，即在太阳表面上原子发出的光的频率比远离太阳的地方的同种原子发出的光的频率要低。4．水星近日点的进动：太阳系的各个行星以椭圆轨道绕日运动。天文观测发现，行星的轨道并不