中考构造辅助圆及与圆相关的尺规作图

几何综合2——构造辅助圆例1（2012年北京中考第24题）在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。解法一：此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角.需要注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决.解法二： 启示：注意还原题目的背景，构造辅助圆（辅助图形）解决问题.动点问题和几何变换结合，要重视轨迹的想法在几何综合题中的作用.考察的知识点延续几何变换，要重视变换思想在解决几何综合题中的应用.一、注意还原题目的背景，构造辅助圆（辅助图形）解决问题.例2（2012，德州,13年大兴）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例3（2011海淀期末）如图，E，B，A，F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点是直线上异于A，B的一个动点，且满足，则（）A．点 一定在射线上 B．点 一定在线段上 C．点 可以在射线上 ，也可以在线段上D．点 可以在射线上 ，也可以在线段例4（2010海淀一模）已知：中，，中，,.连接、，点、、分别为、、的中点.(1)如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是________________，此时________；(2)如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；(3)在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.动点问题和几何变换结合，要重视轨迹的想法在几何综合题中的作用.例5.（2012海淀期末）8.如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点,与轴交于、两点,点为⊙上一动点，于.当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为A．B．C．D．例6、（11年湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。⑴求点D的坐标（用含m的代数式表示）；⑵当△APD是等腰三角形时，求m的值；⑶设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。请直接写出点H所经过的路径长。（不必写解答过程）AAOCPBDMxyAOCPBDMxy图1图2E 例7（四中开学测试）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一个动点，以EC为一边向正方形ABCD外作正方形ECFG，连接DF交BE的延长线于H．若正方形ABCD的边长为1，则点E由C运动到D时，点H所经过的路径长为（）A．B．C．D．例8．（2011年北京西城一模）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）.A．B．C．D．【不同思路举例】如图，与两个定点所连线段的夹角相等的点的“轨迹”是过两点的（两段）弧，其所在圆的圆心离越近，夹角越大．又⊙与⊙需有公共点，因此极端情况是两圆内切，其切点即为所求．根据“相切两圆的连心线所在直线过切点”的性质，知为⊙的直径，进而为直角，由勾股定理可求PA． 例9．（2009年潍坊中考）已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是．OyOyxACBOyxACB常规解法：相对运动的解法：例10：已知正三角形ABC的边长为2，点A在x轴的正方向上移动，点B在45°角的终边上移动，求顶点C到原点的最大距离.不可忽视的尺规作图例11、问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；（3）如图3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°，且使△BPC的面积最大的所有点P，保留作图痕迹．例12、阅读下列材料图1小华在学习中发现如下结论：图1如图1，点A，A1，A2在直线l上，当直线l∥BC时，.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC，画出一个等腰△DBC，使其面积与△ABC面积相等；(2)如图3，已知△ABC，画出两个Rt△DBC，使其面积与△ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；(3)如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与△ABC面积相等，且一组对边DE=AB，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B.图2图3图4例13．初三（1）班的同学们在解题的过程中，发现了几种利用尺规作一个角的半角的方法.题目：在△中，∠=80°，求作：∠=40°.方法2方法2：如图2，作∠CAB的平分线和△的外角∠CBE的平分线，两线相交于点D，可得∠ADB=40°.方法1：如图1，延长AC至D，使得CD=CB，连接DB,可得∠ADB=40°.……图