初中数学高二《三角函数诱导公式》教育教学课件

余切正弦

余弦正切三角函数的诱导公式sinxcosxtanxcotxXOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx

我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性，能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获取一些三角函数的性质呢？思考XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx探究

给定一个角α.角Π-α、Π+α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？角-α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？角Π/2-α的终边与角α有什么关系它们的三角函数之间有什么关系？XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx

观察图像，易知：Π-α的终边与角α的终边关于y轴对称；Π+α的终边与角α的终边关于原点对称；角-α的终边与角α的终边关于x轴对称；角Π/2-α的终边与角α的终边关于y=x对称。观察那么，这些角的三角函数又有什么关系呢？XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1〔x，y〕。由于角Π+α的终边与角α的终边关于原点对称，角Π+α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于原点O对称，因此点P2的坐标是〔-x，-y〕，由三角函数的定义得：sinα=ycosα=xtanα=y/xsin（Π+α）=-ycos（Π+α）=-xtan（Π+α）=y/x推导XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx结论公式二公式三公式四sin（Π+α）=-sinαsin（-α）=-sinαsin（Π-α）=sinαcos（Π+α）=cosαcos（-α）=cosαcos（Π-α）=-cosαtan（Π+α）=tanαtan（-α）=-tanαtan（Π-α）=-tanα

由上述推导可得公式二，同理可证公式三和四。XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx归纳回忆公式一﹝sin〔2kΠ+α〕=sinα，cos〔2kΠ+α〕=cosα，tan〔2kΠ+α〕=tanα〕，k∈Z﹞可归纳概括公式一至四：2kΠ+α〔k∈Z〕，-α，Π+α，Π-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个吧α看成锐角时原函数值得符号。XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx例题

cos（-2040°）=cos2040°

=cos（6*360°-120°）

=cos120°=cos（180°-60°）

=-cos60°=-

由例题可得出：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下边步骤进行：任意负角的三角函数任意正角的三角函数0-2Π的角的三角函数锐角的三角函数公式三或一公式一公式二或三XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx推导设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1〔x，y〕。由于角〔-α〕的终边与角α的终边关于y=x对称，角〔-α〕的终边与单位圆的交点P2与点P1关于y=x对称，因此点P2的坐标是〔y，x〕，由三角函数的定义得：sinα=ycosα=xsin（-α）=xcos（-α）=yXOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx公式五公式六sin（-α）=cosαsin（+α）=cosαcos（-α）=sinαcos（+α）=-sinα结论

由上述推导可得公式五，又+α=Π-(-α),由公式四、五可得公式六。XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx归纳归纳概括公式五和六，可得：Π/2+α和Π/2-α的正弦〔余弦〕函数值，分别等于α的余弦〔正弦〕函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值得符号。XOYc2=a2+b2y=sinxy=cosx本章小结公式五公式六sin（-α）=cosαsin（+α）=cosαcos（-α）=sinαcos（+α）=-sinαtan（-α）=？tan（+α）=？公式一公式二公式三公式四sin（2kΠ+α）=sinα，k∈Zsin（Π+α）=-sinαsin（-α）=-sinαsin（Π-α）=sinαcos（2kΠ+α）=cosα，k∈Zcos（Π+α）=cosαcos（-α）=cosαcos（Π-α）=