2021人教版八年级数学下勾股定理习题含答案

勾股定理

1.下列说法正确的是（D）

A.若4,b,c是△ABC的三边长，则/+/=,2

B.若a,b,c是RtZ\A8C的三边长，则/+廿=修

C.若a,b,c是RtZXABC的三边长，NA=90°,则/+/=。2

D.若a,b,c是RtaABC的三边长，ZC=90°,则廿+/=/

2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为（C）

A.5B.yflC.巾或5D.不确定

【点拨】本题中斜边未定，故需分类讨论.当斜边长为4时，第三边长为后手=由；

当斜边为第三边时，第三边长为严工=5.

3.如图，点£在正方形A8C。的边A8上，若EB=1,EC=2,则正方形A8CO的面积为（B）

【点拨】•••四边形ABC。是正方形，

/.ZB=90°.

.,•BC2=£C2-EB2=22-12=3.

二正方形ABCD的面积为81=3.

4.如图，在RtZXA6c中，ZACB=90°,C£>为48边上的高，CE=BE,A£>=2,CE=5,则8等于（C）

5.（2020•陕西）如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若8。是△ABC

的高，则8。的长为（D）

1

A

A.B.^\/13C.D.J^\/T3

【点拨】由勾股定理得西学

1117

*/S^ABC=3X3—2X1X2-1X1X3—/X2X3=1,

i7

：.^ACBD=y:.#BD=7,

，8O=今用.【答案】D

6.如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为（D）

7.直角三角形的两条直角边为a,b,斜边为C,斜边上的高为/?,下列结论：①〃2+廿=°2；②ab=ch；③点

+:=去其中正确的是（B）

A.①B.①②③C.①②D.①③

8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形

的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若知道图中

阴影部分的面积，则一定能求出（C）

①

2

A.直角三角形的面积

B.最大正方形的面积

C.较小两个正方形重叠部分的面积

D.最大正方形与直角三角形的面积和

【点拨】设直角三角形三边长是a,b,c(c>a>b),则阴影部分的面积是(c—a)(c+a—b),较小两个正方形

重叠部分的面积是b(b+a—c),(c—a)(c+a—b)=(c—a)(c+a)—b(c—a)=c2—a2+b(a—c)=b2+b(a—c)=b(b

+a—c).故选C

9.【中考•漳州】如图，在aABC中，AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若

线段AD长为正整数，则点D的个数共有(C)

A.5个B.4个C.3个D.2个

【点拨】由题易知△ABC的边8c上的高二了=3,所以当线段AO长为3时，点。有1个，当线段

长为4时，点。有2个，则点。的个数共有3个.【答案】C

10.(202().金华)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形A3C。与正方形EFGH.连接EG,

BO相交于点O,8。与”C相交于点尸，若GO=GP,则的值是(B)

SiE方形EFGH

A.1+^2B.2+V2

-15

C.5-V2D-T

【点拨】♦.•四边形EFG”为正方形,

二NEGH=45°,NFGH=9Q°.

•：OG=GP,：.ZGOP=ZOPG=67.5°,；.NPBG=22.5。.

又•.,NO6C=45°,AZGBC=22.5°,:.NPBG=NGBC.

又,：NBGP=NBGC=9G。,BG=BG,：./\BPG^/\BCG(ASA),

3

设OG=PG=CG=x,易知EG=2x,FG=g.

V四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

:♦BF=CG=x,-**BG=x~]

：.8c2=8G2+CG2=f（/+1y=（4+2pM，

.Sd：力般ABC'。（4+2也）X2r-

【答案】

,・Sit方聪EFG“'B

11.在平面直角坐标系中，点P（—3,4）到原点的距离是5.

12.（2020•黑龙江）在RtZ\ABC中，ZC=90°,若A8—AC=2,BC=8,则AB的长是_17

13.在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=8,则BC的长为—4小—.

14.在RtZSABC中，a:b=2：3,c=娇，贝Ua=—2小或2vB.

15.（2020•孝感）如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉

代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，

记阴影部分的面积为S”空白部分的面积为S2,大正方形的边长为相，小正方形的边长为〃，若S=S2,则

加值为—痔1一.

【点拨】设直角三角形较短的一条直角边长为X,由S=S2可得"=品2,解得产品负值舍去）.由勾股

22

定理得+（〃+；相）=m2,化简得加2—2加?一2k2=0,解得〃力=（1一（舍去），〃22=（1+小）〃，则'的

｛古、］小-1

值2,

【答案】与1

16.12020•雅安】对角线互相垂直的四边形叫做''垂美"四边形，现有如图所示的''垂美"四边形A8C。，对角

线4C,30交于点O,若AD=2,BC=4,则A82+C£>2=_20.

4

B

【点拨】'：AC±BD,.•.NAO£>=NAO8=NBOC=NCOZ)=90°.由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+

CCP+DO2,

AD2+BC2=AO1+DO2+BO2+CO1,

^AEr+CI^^ACr+BC1.

"：AD=2,8c=4,：.AB2+CD2=22+42=20.

【答案】20

17.12020•娄底】由4个直角边长分别为小〃的直角三角形围成的''赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的

面积c?等于小正方形的面积(“一与4个直角三角形的面积2ah的和证明了勾股定理a2+h2^c2,还可以用

来证明结论：若a>0,b>0且/+/为定值，则当。_=力时，ab取得最大值.

【点拨】如图，在直角三角形中，两直角边长为a,b,

斜边长为c,则有a2+b2—c2.

作直角三角形斜边上的高力，易知5即而=c/z.：(a—»22：o,.♦./+/-.又•.•(/2+〃=C2,

,2,2,2

+方为定值，.5q,的最大值为，.当〃取最大值时,ab=2=ch,^h=^.

要想使直角三角形中斜边上的高等于斜边的一半，则此直角三角形为等腰直角三角形，即a=b.

18.在RtZ\A8C中，ZC=90°,NA=60°,AC+BC=3+y[3,求BC的长.

解：设AC=x.

;在RtZSABC中，ZC=90°,ZA=60°,

AZB=30°,.•.A8=2AC=2x.

・・・BC=7AB2—AC2=G.

5

由题意，得x+^x=3+小，

解得犬=小，BC—y/3x—3.

19.如图，在四边形A8C。中，AB=AD,ZA=90°,ZCBD=30°,NC=45°.如果求CD的

长.

解：如答图，过点£＞作OE_L8c于点£

"：AB=AD,NA=90°,：.AD=AB=yf2,

工由勾股定理，得BD=、AB2+AU=2.

VZCBD=30°,.,.DE=1BD=|X2=1.

•.,在RtZ\CQ£中，ZDEC=90°,NC=45°,

：.CE=DE=\,

由勾股定理，得CD=\!DE2+CE2=@

20.如图，在四边形A8C。中，NB=ND=90°,AB=20m,8c=15如CD=1m,求四边形ABC。的面积.

【点拨】将不规则四边形分割成特殊的三角形，再利用特殊的三角形性质求面积.

解：如图，连接AC.因为NB=/D=90°,

所以4ABC与4ACD都是直角三角形.

在RtZSABC中，根据勾股定理，

得AC2=AB2+BC2=202+152=625,则AC=25m.

在RtAACD中，

根据勾股定理，得A£)2=AC2—5=252-72=576,贝ijAZ)=24m.

故S四边彩ABC0=SA4BC+SAACD=；A88C+%Z>C£>=£X2OX15+TX24X7=234(〃?2).

6

21.如图,将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的点F处.已知AB=8cm,BC=10cm,

求EC的长.

解：根据题意，得

所以AF=A£)=8C=10cm,EF=ED.

所以EF+EC=DC=AB=Scm.

在Rt/\ABF中，根据勾股定理得8产=A户一A^2=1()2-82=36,

所以BF=6cm.

所以FC=BC~BF=\0-6=4(cm).

设EC=xcm,贝1JE尸=QC-EC=(8-x)cm.

在RtZSEFC中，根据勾股定理得EC2+FC2=EF2,

即^+42=(8—%)2.

解这个方程，得x=3,

即EC的长为3cm.

22.如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°，AB=4,AC=3,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,

AP平分NBAC,与DE的延长线交于点P.

⑴求PD的长度；

⑵连接PC,求PC的长度.

【点拨】求线段的长时，若没有直角三角形，常作三角形一边上的高，构造直角三角形，利用勾股定理求解.

(1)解：垂直平分4B,

：.AD=^AB=2,ZADP=90°.

平分/BAC,/.ZB4D=|ZBAC=45°.

NAPD=ZPAD=45°.：.PD=AD^2