复杂角域地形的视电阻率组合叠加校正方法

复杂角域地形的视电阻率组合叠加校正方法

0模拟地形影响方法20世纪50年代，随着《直接法》在矿产资源调查中的大规模应用，地形影响问题开始受到关注。理论与实践表明,地形不但可以引起假异常,而且会掩盖地下由矿体或目标物引起的真异常;如果不能正确地认识和消除,就会导致完全错误的解释结果。目前获得纯地形视电阻率异常的方法有物理模拟、数值模拟和解析计算等方法。物理模拟方法:Takeshi借用物理模拟方法研究电阻率曲线的地形影响。20世纪60—70年代,徐世浙、林崇远、何继善等曾采用水槽模拟、土槽模拟、导电纸模拟等物理模拟方法研究地形影响问题。这一时期基本是定性解释阶段。物理模拟成本大,速度慢且较为繁琐。数值模拟:Oppliger利用面积分方程方法实现对充电法和磁电阻率法(MMR)3-D地形影响的模拟。徐世浙介绍起伏地形上2.5-D电场计算的边界元方法,此后黄兰珍、汪晓东、田宪谟等为该方法的发展应用做了大量的贡献。Coggon针对直立导电极化体,用有限元法计算得到平底、斜边的山谷和山脊2-D地形下电阻率及极化率响应曲线,之后此方法得到广泛应用。有限差分法于20世纪60年代被用于应用地球物理领域,90年代,交错式样网格被广泛用于地电磁场的分析中来,使有限差分法步入全盛时期。数值模拟法计算纯地形异常较为方便,但计算量大,在运用中不可能划分太多单元格,因而导致精度降低;但随着计算机的发展,此方法被广泛应用。解析计算法,如保角变换法、坐标网法、角域地形叠加法、格林理论、模拟电荷法等,由于数学公式的复杂性和只能计算简单地形,应用受到一定限制。20世纪70年代,何继善等研究了点源条件下角域地形上电位的解析解,并绘制了电位畸变值量板。实践表明,组合叠加法在满足观测精度的要求下,方法简单,计算速度快。笔者对组合叠加法的误差进行分析,给出组合叠加法的应用条件,并将利用组合叠加法而得到的复杂角域上的视电阻率曲线与ANSYS数值解进行对比。最后给出利用组合叠加方法获得纯地形影响后应用比较法进行地形改正的模型算例。1角域地形上m点电位解析所谓角域,是指由2个半无限大平面所限的二度区域,在区域中充满电阻率为ρ的均匀且各向同性导电介质。两半平面之张角φ即为角域之顶角。两侧面与水平面之夹角为侧面之倾角,分别用β和α表示左右两侧面之倾角。规定斜坡在水平轴下面,坡角取负值;在上面取正值。则0<φ<2πφ+α+β=π}。(1)0<φ<2πφ+α+β=π}。(1)显然:当φ<π时,角域即为坡长无限之二度山脊;当φ>π时,角域即为坡长无限之二度山谷。角域是二度地形的基本单元,在电阻率法的地形改正中很有用处。现有一角域二度体,角域的张角为φ,在角域以下有一电阻率为ρ的均匀介质,地面以上为空气,其电阻率为无穷大,在地面的A点有一电流强度为I的点电源供电,A到坐标原点的距离为r0。为了求出电位的分布,首先建立坐标系,将x轴取为过供电点A而垂直于地形两斜面的交线,x轴与地形两侧面交线的交点为O,y轴取为过O点而垂直于地形的水平面,z轴为地形两侧面的交线。坐标轴正向如图1。这样角域地形上M点电位解析解为U(r,θ,z)=ρIπφrr0√[12Q−12(ξ)+∑m=1∞(−1)mcosmπ(φ−θ)φQmπφ−12(ξ)]。(2)U(r,θ,z)=ρΙπφrr0[12Q-12(ξ)+∑m=1∞(-1)mcosmπ(φ-θ)φQmπφ-12(ξ)]。(2)式中:ξ=r2+r20+z22rr0ξ=r2+r02+z22rr0;Qv(ξ)为第二类勒让德函数。式(2)本身不完整,存在以下问题:1)Qv(1)不存在,故在此时解有奇异性,不能用式(2)计算,使用下式计算:U=ρIπφr0{π4+∑m=1∞(−1)m[φ(m+12)−φ(mπφ+12)]}。(3)U=ρΙπφr0{π4+∑m=1∞(-1)m[φ(m+12)-φ(mπφ+12)]}。(3)其中,φ(x)=limn→∞[lnn−1x−1x+1−1x+2−⋯−1x+n]φ(x)=limn→∞[lnn-1x-1x+1-1x+2-⋯-1x+n]。2)电极在角域顶点时,电位公式也可表示为U=πφU0=πφIρ2πR=Iρ2φr2+z2√。(4)U=πφU0=πφΙρ2πR=Ιρ2φr2+z2。(4)式中:U0为背景场。当测量电极M在顶点时,由电极互换原理得U=Iρ2φr20+z2√。(5)U=Ιρ2φr02+z2。(5)角域地形点电源电场电位由(2)、(3)、(4)、(5)几个电位公式及其附属公式计算。为了突出地形影响,用U/U0表示电位畸变值U(τ)。在z=0时,讨论电位畸变值是非常方便的。将式(2)除以U0=Iρ0/(2π|r-r0|)后,得到U(τ)=2|1−τ|φt√[12Q−12(ξ)+∑m=1∞(τt)mQmπφ−12(ξ)]。(6)U(τ)=2|1-τ|φt[12Q-12(ξ)+∑m=1∞(τt)mQmπφ-12(ξ)]。(6)式中:τ=rp/rc;t=|τ|;ξ=1+t22tξ=1+t22t。根据电极互换原理,U(rp/rc)=U(rc/rp);所以,U(τ)=U(1/τ)。因此,在计算U(τ)时只考虑-1≤τ<1的情况。依据电位畸变值计算公式编写Fortran语言计算程序计算出来的电位畸变值与20世纪70年代何继善院士等人制作电位畸变值量板之间最大的相对误差不超过0.27%,平均相对误差不到0.02%。证明了此程序的正确性。文中所编写的Fortran程序用τ=0.93的值来代替τ>0.93的部分,误差不大于0.5%,符合精度要求。但是在实际工作中测量电极和供电电极在同坡且远离顶点时,角域的影响可以忽略不计,此时仅有斜坡影响,故此时(τ>0.93)的电位畸变值可以不予计算。2边坡正常场s/0简单角域地形上视电阻率的曲线特征为已知:在角域顶点附近,山脊表现为低阻异常,山谷表现为高阻异常。在斜坡上曲线不趋于正常场(ρs/ρ0),而是趋于坡角的余弦cosβ,cosα=ρs/ρ0,即所谓的“斜坡正常场”。通过对简单角域进行组合叠加得到复杂角域地形,便可进一步得到复杂角域上的视电阻率曲线。2.1点源场组合叠加实际地形是连绵起伏的。实践表明,可像图2那样用以折代曲的办法拟合连续起伏的二度地形。将各个角域φ1,φ2,φ3,φ4的异常相乘叠加起来,得到实际地形异常的近似值。无论地形形态如何,地形异常主要发生在坡度改变点及其附近,故可以把角域看作二度地形的最基本单元。连绵起伏地形某点的视电阻率异常是各角域地形综合影响的结果,是相应各角域地形异常的函数。根据多年来的研究经验,可以将相乘叠加的思想引申到点源场二度地形,即连续地形的异常可一级近似地看作是各角域地形异常的相乘叠加。当几个角域上供电电极、测量电极的实际水平位置相互对齐后,复合地形上点源场的视电阻率畸变值可以由下列乘积叠加公式决定:ρsρ≈(ρsρ)1×(ρsρ)21cosβ2×(ρsρ)31cosβ3×⋯×(ρsρ)n1cosβn。(7)ρsρ≈(ρsρ)1×(ρsρ)21cosβ2×(ρsρ)31cosβ3×⋯×(ρsρ)n1cosβn。(7)其中:ρs/ρ是连续有限地形上某一点的地形异常值;(ρsρ)1,(ρsρ)2,(ρsρ)3,⋯,(ρsρ)n(ρsρ)1,(ρsρ)2,(ρsρ)3,⋯,(ρsρ)n是各个角域在相应点的地形异常值;β1,β2,…,βn为各角域在相应点的坡度。下面以45°对称山脊为例给出利用式(7)进行组合叠加的过程。如图3所示:AM=5m,MN=1m,点距D=0.5m。可见,曲线保留着对应角域的纯地形异常特点:在山脊顶部出现低阻反交点,在山脊两侧出现高阻正交点,在斜面上出现歧离带。根据这种组合叠加的方法可以得到各种复杂地形的视电阻率异常,得到纯地形影响。2.2从角域到叠加误差用2个角域叠加成新的角域的方法来计算叠加误差。例如,用β=θ,α=0,φ=180°+θ和β=0,α=θ,φ=180°+θ的2个单斜角域叠加成β=θ,α=θ,φ=180°+2θ的角域与计算结果进行对比,得到叠加误差。具体做法是将图4中角域1和角域2的顶点对应后便可以得到角域3,类似图3。且当θ>0时,为对称山谷(图4a);当θ<0时为对称山脊(图4b)。直接计算的单个角域的视电阻率畸变值为ρs/ρ0。组合叠加过程中角域1的视电阻率畸变值为ρs1/ρ0,角域2的视电阻率畸变值为ρs2/ρ0,则由式(7)得组合叠加后的角域3的视电阻率畸变值为ρ*s/ρ0=(ρs1/ρ0)·(ρs2/ρ0)/cosθ。则组合叠加的相对误差ε的计算式为ε=|ρ∗s/ρ0−ρs/ρ0|/(ρs/ρ0)。(8)ε=|ρs*/ρ0-ρs/ρ0|/(ρs/ρ0)。(8)平均相对误差为计算的各个点上相对误差的平均值。2.2.1最佳叠加误差的计算图5给出了三极装置组合叠加误差图。其中,AM=BN=5m,D=MN=0.5m,计算范围为-10～10m,坐标原点均位于角域顶点。通过对以上模型的对比分析可以得到:1)叠加误差随坡度(|θ|)的加大而增大。如β=α=θ=-45°的角域叠加误差比β=α=θ=-30°角域的叠加误差大;β=α=θ=45°比β=α=θ=30°的误差大。2)相同坡度的地形,山脊(φ<180°)比山谷(φ>180°)的叠加误差大。如β=α=θ=-45°的角域叠加误差比β=α=θ=45°的角域叠加误差大。3)当MN分别跨在角域顶点两侧时,误差较大,最大误差存在于角域顶点处;当A与MN位于角域两侧时(MN位于同坡),叠加的相对误差也较大,且随着MN移到另一坡时,误差先增大后减小,这里第二个极大值出现的位置大概在测距0.7m处。4)电极距对叠加误差的影响。笔者计算了90°对称山脊上AM/MN=10,5,1这3种情况下叠加的平均相对误差分别为17.11%,15.55%,12.65%;可见,随着MN的增大,即AM/MN的减小,组合叠加的平均相对误差也减小。笔者还计算了120°对称山脊在上述3种情况下的组合叠加误差,分别为4.75%,4.48%,3.74%,也符合上述规律。而对于山谷地形,电极距的变化对其叠加的平均相对误差的影响不是很大。例如,270°的对称山谷在AM/MN=10,5,1情况下叠加的平均相对误差分别为3.59%,3.57%,3.66%。2.2.2角域相乘叠加同样,对于二极装置和中梯装置,通过大量模型的对比得到:1)叠加误差随坡度(|θ|)的加大而增大。2)相同坡度的地形,山脊(φ<180°)比山谷(φ>180°)的叠加误差大。3)角域顶点处误差最大,向角域两侧延伸误差逐渐减小。4)对于二极装置,组合叠加后角域的电阻率值比直接计算单个角域的电阻率值小。也就是说,对于二极装置,组合叠加会缩小山谷的影响,扩大山脊的影响。中梯装置正好相反。综上,将角域按式(7)叠加成有限地形在生产实践中是可行的。对于三极装置,在山脊地形(φ<180°)上当坡度小于30°时,与山谷地形(φ>180°)上当坡度小于60°时组合叠加的平均相对误差不大于7%。对于二极装置,在山脊地形(φ<180°)上当坡度小于45°时组合叠加的平均相对误差小于5.20%,在山谷地形(φ>180°)上当坡度为70°时组合叠加的平均相对误差也只有2.48%。故在生产实践中可以用式(7)对角域地形进行叠加来得到复杂角域地形的影响,其误差与观测误差相当。而对于中梯装置而言,总体上叠加的平均相对误差都要比三极装置和二极装置大;只有在山脊地形上坡度小于20°、山谷地形上坡度小于30°时的组合叠加的平均相对误差才不大于5%。也就是说,利用相乘公式对角域进行组合叠加得到复杂角域地形上的异常的方法对于中梯装置而言只有地形起伏不大时才适用。但需注意的是,相乘叠加是近似的。首先,式(7)是近似的,其近似性主要是叠加时只是将各个角域异常相乘,而这些角域组合在一起时,除了它本身单独异常起作用外,还应考虑其相互影响。除此之外,相乘叠加算出来的是带棱带角地形的异常,而野外地形实际上常常是圆滑的。因此,计算所得曲线的极值将比圆滑地形偏大(山脊)或偏小(山谷)。3视电阻率对比曲线ANSYS是有限单元法的一种软件,笔者利用ANSYS来模拟地形影响。其模拟结果的正确性已经得到证明。图6为坡度为120°对称山脊和240°对称山谷上组合叠加结果和ANSYS数值模拟结果的视电阻率对比曲线。计算点距D=MN=0.5m,供电点位于A(-50m)和B(50m)。由图可见,二者在曲线形态和特征点位置上均相吻合,只是幅值大小稍有差别。此外,还可以看出,经简单角域组合后所得曲线保留着对应角域纯地形异常特点,在山脊(山谷)顶点出现低阻(高阻)异常,在山脊(山谷)两侧出现高阻(低阻)异常。4数值模拟结果及分析目前常用的克服或改正地形影响的方法是“比较法”。下面给出利用角域叠加法得到纯地形异常,然后利用比较法进行改正的模型算例。模型一:如图7所示。围岩电阻率ρ0=100Ω·m,脉状矿体视电阻率ρ1=10Ω·m。脉状体顶部埋深10m,向下延伸30m,厚度10m。利用ANSYS数值模拟得到图7所示模型的视电阻率曲线(图8曲线1)和水平地形下含矿体的异常曲线(图8曲线4),然后利用角域叠加的方法得到纯