随机反应扩散方程的渐近行为

随机反应扩散方程的渐近行为

1随机吸引子的存在性研究在这项工作中，我们研究了非边界区域内的随机反应扩散方程中lc-随机随机吸引子的存在。及初始值其中λ是正常数,u=u(x,t)是定义在Rn上的实值函数,g是定义在Rn上的已知函数.非线性函数f满足如下条件,即对任意x∈Rn,u∈R,其中α,δ和β都是正常数且p≥2.W(t)是定义在概率空间(Ω,,P)上的实值双边维纳过程,这里Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0},是博雷尔σ-代数,P是相对应的维纳测度;o表示在Stratonvich意义下的随机项.这里,我们认为ω(t)和W(t)是等价的,即众所周知,随机动力系统的渐近行为主要是通过随机吸引子(见文)来描述的.近十几年中,由随机反应扩散方程所生成的随机动力系统(简称为RDS)的随机吸引子已经得到了广泛的研究,其中定义在有界区域上的随机反应扩散方程可见文;定义在无界区域上的随机反应扩散方程可参考文.注意到,文得到了定义在有界区域上带有可乘白噪音的反应扩散方程的Lp-随机吸引子,而文确立了定义在有界区域上带有可加白噪音的反应扩散方程的Lp-随机吸引子的存在性.本文主要研究无界区域上带有可乘白噪音的反应扩散方程的(L2,Lp)-随机吸引子的存在性.这里有必要指出文已经充分研究了无界区域上不含随机项的非自治反应扩散方程的(L2,Lp)-全局吸引子的存在性.不难知道证明随机吸引子存在性的关键是得到相应随机动力系统(RDS)的连续性.事实上,RDS的连续性在某种程度上决定了随机吸引子的不变性,而不变性是吸引子的三大特征(不变性,紧性和吸引性)之一.然而,正如赵在文中所指出,一般而言,许多非线性偏微分方程生成的随机动力系统在Lp空间中的连续性难以证明,甚至定义在有界区域上的随机动力系统也是如此.为了解决连续性这一难题,文在所研究的区域有界的前提下提出了准连续的概念,从而得到了随机动力系统存在Lp-随机吸引子的充要条件.但是当所研究的区域无界时,准连续性失效了.这是因为此时的嵌入关系不再成立,而这一嵌入关系又是运用准连续性所必须的条件.由以上分析可知,仅仅运用准连续性,本文难以证明Lp随机吸引子的存在性.受文中主要思想的启发,本文研究了定义在无界区域上带有可乘白噪音的反应扩散方程并得到了相应的Lp-随机吸引子,该随机吸引子吸引按Lp-范数吸引L2中的所有随机缓增集.实际上,本文的方法适用于很多其他的随机微分方程,同样在确定型方程中也可以运用.此外,还需要说明的是对于大部分随机微分方程,对其相应方程的解仅运用截尾估计法就可以得到该动力系统的随机吸收集和渐近紧性,从而进一步证明相应的(L2,L2)-随机吸引子的存在性.但是本文运用一种新的估计法,即渐近优先估计,证明(L2,Lp)-渐近紧性,得到了(L2,Lp)-随机吸引子.本文第2部分给出关于随机动力系统的随机吸引子等相关概念和随机动力系统(L2,Lp)-的随机吸引子的存在性条件等必要的命题.第3部分得到了定义在Rn上带有可乘白噪音的反应扩散方程所生成的随机动力系统.第4部分运用渐近优先估计法,证明了随机动力系统的(L2,Lp)-渐近紧性.第5部分证明了(L2,Lp)-随机吸引子的存在性.本文用如下符号:Lp=Lp(Rn),‖·‖和(·)分别表示L2空间中的范数和内积,‖·‖p,p≥2表示Lp空间中的范数,表示Lp中所有随机缓增子集的集合.特别地,当p=2时,表示L2中所有随机缓增子集的集合,|u|表示u的模或者绝对值,m(e)表示勒贝格测度,其中.字母c和ci(i=1,2,…)表示正常数,在不同的式子里同一字母c可能不相同.2随机吸引子的存在性本节介绍相关的基本知识.更多关于随机动力系统的知识可以见文.设(X,‖·‖X)是带有博雷尔σ-代数的完全可分度量空间,(Ω,,P)是完全概率空间.度量动力系统(MDS)是随机动力系统(RDS)中的基本概念.我们通常用(Ω,,P,θt)表示某概率空间,其中流{θt:Ω→Ω,t∈F}是一族保测变换且满足如下条件:(t,ω)→θtω是-可测的;对所有的s,t∈R,以及θ0=id.定义2.1定义在度量空间MDS(Ω,,P,θt)上的可测映射称为随机动力系统(RDS),如果对任意的ω∈Ω满足下列条件:(1)在全空间X上φ(0,ω)=id;(2)对所有的s,t∈R+,有.其中d(B)=supx∈B‖·‖X,则有界随机集{B(ω)}ω∈Ω关于(θt)t∈R称为缓增的.(2)若对所有的β>0,ω∈Ω,满足则随机变量r(ω)>0称为缓增的.定义2.3若对所有的和ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得对所有的t≥T,有定义2.4若对所有的ω∈Ω,当tn→∞,时,在Lp有收敛的子列,则称随机动力系统φ是(L2,Lp)-渐近紧的,其中.定义2.5若对所有的ω∈Ω,有(1)是不变集,即对所有的t≥0,有;其中dp表示豪斯托夫半距离,即且和.以下是随机吸引子存在性的结论,详细内容可见文.命题2.6设φ是定义在L2(RN)上的连续随机动力系统,则随机动力系统φ存在随机吸引子当且仅当φ存在随机吸收集,且φ是渐近紧的.而且随机吸引子可以表示成如下形式其中表示A在空间L2(RN)中的范数意义下的闭包.接下来给出文中的一个重要结论,这是本文的研究基础.由的定义可得,满足内闭性:对任意的随机集{E(ω)}ω∈Ω,如果,以及,则{F(ω)}ω∈Ω∈(见).正如引言中所提及,Lp空间中的随机动力系统φ的连续性难以验证,甚至因为在无界区域上这嵌入关系不再成立导致了准连续性失效.本文解决了Lp空间上的随机动力系统φ的连续性和(L2,Lp)渐近紧性这一难题,进而得到了主要结论,即(L2,Lp)-随机吸引子的存在性.下面将从一个重要的命题开始本文的主要内容.命题2.7设φ是定义在L2(RN)上的连续随机动力系统和定义在Lp(RN)上的随机动力系统,其中2≤p<∞.若φ存在(L2,L2)-随机吸引子,则φ存在(L2,Lp)-随机吸引子当且仅当下列条件成立:(1)φ存在(L2,Lp)-随机吸收集{K0(ω)}ω∈Ω;(2)φ是(L2,Lp)-渐近紧的.而且,在包含关系的意义下(L2,L2)-随机吸引子和(L2,Lp)-随机吸引子是等价的.引理2.8设B是Lq(RN)(q≥1)空间的有界集.若B存在有限ε-网,则存在正常数M=M(B,ε),使得命题2.9设φ是定义在L2(RN)上的连续随机动力系统和定义在Lp(RN)上的随机动力系统,其中2≤p<∞.若φ存在(L2,L2)-随机吸引子,则φ存在(L2,Lp)-随机吸引子当且仅当下列条件成立:(1)φ存在(L2,Lp)-随机吸收集{K0(ω)}ω∈Ω;(2)对任意的ε>0以及对所有的{B(ω)}ω∈Ω∈,存在正常数M=M(ε,B,ω)和T=T(ε,B,ω),使得对所有的t≥T,有3ornsen-ullenbeck自然生成动力系统的建立这部分主要考虑定义在全空间上具可乘白噪音的应扩散方程及初值条件其中λ>0,g∈L2(RN)是已知函数.f满足条件(1.3)-(1.6);u=u(x,t)是定义在RN×R上的未知函数.W(t)是完备概率空间的独立双边实值维纳过程.在整篇文章中所考虑的概率空间是(Ω,,P),其中是博雷尔σ-代数,P是定义在(Ω,)上的维纳测度且有定义如下变换则可得到(Ω,,P,{θtω}t∈R)是可测动力系统.为了求解方程(3.1),(3.2),我们需要将其转化为只含有随机参数而非随机项的确定性方程,然后证明转化后的方程生成一个随机动力系统.首先给出Ornstein-Uhlenbeck过程的定义.设该过程是如下伊藤方程的解由文可知,随机变量z(ω)是缓增的,而且有θt-不变集,使得对每一,t→z(θtω)关于t连续;且方程(3.3)存在一个随机不动点(具体过程见文).引理3.1存在有全测度的不变集,使得其中,同时对ω,有随机变量而且对于任意,映射是方程(3.3)的有连续迹的平稳解.此外,当时,现在开始证明方程(3.1),(3.2)生成随机动力系统,首先设其中u是方程(3.1),(3.2)的解.则我们可转化为研究如下只带有随机系数的反应扩散方程及初值条件运用经典的Galerkin方法可证明方程(3.4),(3.5)在L2(N)中存在唯一解v(t,ω,v0),对任意关于t>0,解v(t,ω,v0)关于初值v0连续.则方程(3.4),(3.5)生成连续随机动力系统{φ(t)}t≥0,其中定义变换φ:R+×Ω×L2(RN)→L2(RN),即则φ是空间L2(RN)中定义在(Ω,,P,{θtω}t∈R)上的由方程(3.1),(3.2)所生成的连续随机动力系统.作者在文中已得到随机动力系统在空间L2(RN)中φ的存在性和唯一性.注意到上述随机动力系统φ和φ是等价的.据此可知若φ有(L2(RN),Lp(RN))-随机吸引子,则φ也有(L2(RN),Lp(RN))-随机吸引子,因此只需考虑随机动力系统φ.定理3.2设g∈L2(RN)且(1.3)-(1.6)都成立,则随机动力系统φ在L2(RN)存在唯一(L2(RN),Lp(RN))-随机吸引子.4分辨率的一致评估4.1估计条件及前提本节为了证明(3.6)所定义的随机动力系统φ的(L2(RN),Lp(RN))-随机吸引子的存在性,需要得到定义在RN中随机反应扩散方程的解在Lp(RN)空间中的一致估计.事实上,这些解的估计不但是证明有界随机吸收集的存在性所必要的,也是证明相应随机动力系统的渐近紧性所需要的.特别地,我们将要证明φ存在有界(L2(RN),Lp(RN))-随机吸收集{K0(ω)}ω∈Ω∈,且该随机吸收集吸收所有的有界随机集.本文后面默认u=u(t,ω,u0(ω))是方程(3.1),(3.2)的解,其初值为u(0)=u0(ω).同时v(t)=v(t,ω,v0(ω))是方程(3.4),(3.5)的解,其初值为v(0)=v0(ω)=e-z(ω)u0(ω).下面的引理将证明φ有(L2(RN),Lp(RN))∈随机吸收集.引理4.1设g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同时成立.设,v0(ω)∈B(ω),则对任意ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得对所有t≥T,特别地,对ω∈Ω,是φ在中的(L2(RN),Lp(RN))-随机吸收集.证明将(3.4)式与|v|p-2v在Lp(RN)中作内积,可得现在对(4.2)式的每一项进行估计.首先对于非线性项由(1.3),(1.4)可知因为是有界的,则,使得由Young不等式,可得运用Cauchy-Schwartz不等式,可知综上所得的不等式,有即其中.再运用经典Gronwall不等式,可知用θ-tω替代(4.9)式中的ω,并化简可得再由Ornstein-Uhlenheck变换的性质,可知注意到{B(ω)}∈是缓增的,则对任意v0(θ-tω)∈B(θ-tω),有记对任意给定的ω∈Ω,记则.进一步,(4.14)说明{Ko(ω)}ω∈Ω是φ在中的(L2(RN),Lp(RN))-随机吸收集,证毕.引理4.2设g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同时成立.设,v0(ω)∈B(ω),则对任意ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得对所有t≥T,s∈[t,t+1],证明将(3.4)与v在L2(RN)中作内积,可得一方面,由(1.3),(1.4)可知其中c3>0.另一方面,由Cauchy-Schwarz不等式,可得则由(4.17),(4.18),可得根据Gronwall不等式,可得然后将(4.20)中的ω换成θ-t-1ω,设s∈[t,t+1],则其中c4=max{2,}.类似地,由Ornstein-Uhlenheck过程的性质,可得又因为v0(θ-t-1ω)∈B(θ-t-1ω),则由以上式及(4.17)-(4.21)可得本引理的结论,证毕.引理4.3设g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同时成立.设B={B(ω)}ω∈Ω∈D,u0(ω)∈B(ω),则对任意ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得对所有t≥T,s∈[t,t+1],根据随机变量的性质,还可得引理4.4设g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同时成立.设,v0(ω)∈B(ω),则对任意ε>0,ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,M=M(ε,B,ω),使得对所有t≥T,s∈[t,t+1],证明由引理4.2可知存在随机变量M0=M0(ω),使得对每一,都可以找到常数T=T(B,ω)>0,使得对所有的t≥T,s∈[t,t+1],成立及同时,对任意确定的M>0,有则对任意的ε>0,由(4.25)可得,若保证,可有证毕.4.2v.2e-本节得到方程(3.4),(3.5)的解v的绝对值|v|无界部分Lp(RN)-范数的渐近优先估计,这也是证明(3.6)中所定义的随机动力系统φ的(L2(RN),Lp(RN))-渐近紧性的重要方法.我们以一个引理开始.引理4.5设∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同时成立.设,v0(ω)∈B(ω),则对任意ε>0,ω∈Ω,存在T=T(B,ω,ε>0)>0,M1=M1(ε,B,ω)>0,使得对所有t≥T,证明由引理3.2可知,存在紧随机吸引子(ω),使得对所有ω0(ω)∈B(ω)都成立,其中d是L2(RN)中豪斯托夫半距离.用θ-1ω替换上式中的ω可得设是在L2(RN)中的-邻域.由上式可得,存在使得对所有的t≥T0,由的紧性,可推得有有限的网.因此,由引理2.8可得,存在使得对所有的t≥T0,其中v0(ω)∈B(ω),证毕.引4.6设g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同时成立.设,v0(ω)∈B(ω),则对任意ε>0,ω∈Ω,存在T=T(B,ω,ε)>0,M=M(ε,B,ω),使得对所有t≥T,证明将(3.4)乘以(v-M)+,然后在RN上积分可得接下来开始估计(4.30)式的每一项.首先由(1.3)-(1.6)及Young不等式,可得和由缓增随机变量的性质可知这里的正常数c可能互不相同,这一点已经在引言里说明了.因此,由(4.31)-(4.35)可知用τ替换(4.36)中的t,然后对变量τ在[t,t+1]上积分可得设在(4.37)中将ω换成θ-t-1ω可知因为g∈L2(RN),Φ1∈L(RN)和Φ2∈L2(RN),则由积分论和引理4.4,可得再次由Ornstein-Uhlenbeck过程的性质可知,使得故由(4.38)-(4.40)知,然后,将(3.4)与做内积得到类似引理4.6的证明,可得到因此,由如下式子成立其中ai(i=1,2,3,4)是正数.则根据(4.43)-(4.45),可得用τ替换(4.46)中的t,然后对τ在[s,t+1]上积分,取s∈[t,t+1]得到在(4.47)中用θ-t-1ω替代ω,然后对s在区间[t,t+1]上积分可得到其中D1(τ)=RN(v(τ,θ-t-1ω,v0(θ-t-1ω))≥M),则由(4.39)及Φ1,Φ1,g的性质知由引理4.3和缓增变量的性质不难得到因此根据(4.47)-(4.50)可得对所有的t≥T,故可推导得对所有t≥T+1,其中D2(t)=RN((v(t,θ-tω,v0(θ-tω))≥2M).再将(v-M)+和|(v