带电象法的等势线簇图形

带电象法的等势线簇图形

在求解平面场中拉普拉斯方程或泊松方程的边值问题时，由于它们的边界形状比较复杂，使用一般方法难以求解。在这项工作中，角场问题是通过图像法解决的。该方法仅适用于角场张角为特殊角的情况。当n=n=是非平均值时，可以证明不能使用镜像法进行求解。这表明，即使角场由成像法解决，也没有必要简化角场问题。在这项工作中，为了解决角变换中的模型函数变异，不仅有效地难以简化，而且复杂的边界值可以转化为简单的边界值，角域角可以转化为任何角度，以便准确求解。在这项工作中，当张角成为特殊角，并推广到任何角的情况下。当数学软件mahemadca描述角域角为直角时，将填充无限长度的细线后的等势线集群。1直接用电像法与保角变换法设由两个平面组成的夹角为直角的角域,有一电荷线密度为λ的无限长直线置于二面角导体角域内部,导体上的电位为零,如图1所示,我们将通过保角变换,求解该静电场的电势分布并做出等势线簇.上述问题实际上是平面场问题,如图2建立Z平面坐标系,λ位于(x0,y0)处.静电场的电势满足如下的定解问题:⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∇2φ=−λε0δ(x−x0)δ(y−y0)limx→0+φ=0limy→0+φ=0{∇2φ=-λε0δ(x-x0)δ(y-y0)limx→0+φ=0limy→0+φ=0若采用分离变量法,求解过程会比较复杂.但如采用保角变换法,则比较简单.对图1所示的角域作保角变换W=Z2,即u+iv=(x+iy)2,这样就可把二面角导体角域变成W平面的上半平面,无限长线电荷密度λ不变,但其位置变到处,其中u0=x2002-y2002,v0=2x0y0.文献已求得上半平面里的电势为:φ(u,v)=λ4πε0lnW20W*2=λ4πε0ln(u−u0)2+(v−v0)2(u−u0)2+(v+v0)2(2)φ(u,v)=λ4πε0lnW02W*2=λ4πε0ln(u-u0)2+(v-v0)2(u-u0)2+(v+v0)2(2)再返回到Z平面有φ(x,y)=λ4πε0lnR20R*2=λ4πε0ln(x2−y2−x20+y20)2+(2xy−2x0y0)2(x2−y2−x20+y20)2+(2xy+2x0y0)2(3)φ(x,y)=λ4πε0lnR02R*2=λ4πε0ln(x2-y2-x02+y02)2+(2xy-2x0y0)2(x2-y2-x02+y02)2+(2xy+2x0y0)2(3)对(3)式进行整理,得到φ(x,y)=λ4πε0ln[(x−x0)2+(y−y0)2][(x+x0)2+(y+y0)2][(x−x0)2+(y+y0)2][(x+x0)2+(y−y0)2](4)φ(x,y)=λ4πε0ln[(x-x0)2+(y-y0)2][(x+x0)2+(y+y0)2][(x-x0)2+(y+y0)2][(x+x0)2+(y-y0)2](4)(4)式即为直接用电像法(类比点电荷)的结果,说明保角变换法与电像法的结果一致.2w平面线荷密度变换定位的问题将图1所示角域由π2→απ2→α,同样可通过保角变换求解.为使表达简洁,采用极坐标系.令线电荷位于平面上的(r0,θ0)处,作保角变换W=ZπαW=Ζπα,即ρeiϕ=(reiθ)παρeiϕ=(reiθ)πα,由于dWdZ|z=0=παZπα−1|z=0=0dWdΖ|z=0=παΖπα-1|z=0=0,故除Z=0(W=0)点外变换W=ZπαW=Ζπα保角.经变换后Z平面上的α导体角域变为W平面的上半平面,线电荷密度变换后保持不变,位置落到了(ρ0=r0πα,ϕ0=παθ0)(ρ0=r0πα,ϕ0=παθ0)处.这时定解问题为:⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂2φ∂ρ2+1ρ∂φ∂ρ+1ρ2∂2φ∂φ2=−λε0δ(ρ−ρ0)δ(φ−φ0)ρlimϕ→0φ=0limϕ→πφ=0(5){∂2φ∂ρ2+1ρ∂φ∂ρ+1ρ2∂2φ∂φ2=-λε0δ(ρ-ρ0)δ(φ-φ0)ρlimϕ→0φ=0limϕ→πφ=0(5)(5)式与(1)式等价,于是将(2)式由直角坐标变换为极坐标,即可求得上半平面的电势为φ(ρ,φ)=λ4πε0lnW20W*2=ρ2+ρ20+2ρρ0cos(ϕ+ϕ0)ρ2+ρ20−2ρρ0cos(ϕ−ϕ0)(6)φ(ρ,φ)=λ4πε0lnW02W*2=ρ2+ρ02+2ρρ0cos(ϕ+ϕ0)ρ2+ρ02-2ρρ0cos(ϕ-ϕ0)(6)返回到Z平面得φ(r,θ)=λ4πε0lnR20R*2=λ4πε0lnr2πα+r2πα0+2rπαrπα0cos(παθ+παθ0)r2πα+r2πα0−2rπαrπα0cos(παθ−παθ0)(7)φ(r,θ)=λ4πε0lnR02R*2=λ4πε0lnr2πα+r02πα+2rπαr0παcos(παθ+παθ0)r2πα+r02πα-2rπαr0παcos(παθ-παθ0)(7)3绘制等效图形要画出(4)式对应的等势线簇可以采用文献中Mathematica隐函数绘图的方法,也可以采用Mathematica中Plot3D命令先画出(4)式对应的3D图形,再用ContourPlot命令绘出等高线的方法,这种方法可以更方便的选取参数绘出等势线.本文画出了分别在(1,1)和(1,3)两个位置时的各13条等势线,如图3.1、图3.2所示.4基于解析函数的变换由以上的论述可以