实验物理教学中李萨如图现象的讨论

实验物理教学中李萨如图现象的讨论

简合振动是一种典型的、最基本的机械振动，在北京大学的理论课教育中起着主导作用。简合振动合成问题是这个问题的一个难题。通常，在“使用示波器”的实验中，作为一门基本的掌握来培养，它可以用于观察和测量示波器的基本结构及其基本的调整和使用。利用示波器观察信号波形并测量电压值和周期的内容，作为重点内容解释和工作。对于使用示波器观察李世如图，由于许多实验教材都是简单的解释，因此使用李世如图解决信号频率的原理和操作中几乎没有障碍，因此学生对实验中出现的现象没有给予重视。一些老师也忽视了这一内容，导致学生对实验的目的不明确，对理论学习中的振动合成了解不多。为了解决这个问题，在示波器的使用实验中，增加了两种垂直简合振动合成实验，以便观察和应用李世如，并通过使用显波器对李世如过程中的一些现象进行了深入的分析，使学生能够直观地理解和更好地理解理论中的这些特定振动的合成。1李萨如图的绘制有两个相互垂直的振动:x=Axcos(ωxt+φx),y=Aycos(ωyt+φy),(1)或者表示成x=Axsin(ωxt+φx),y=Aysin(ωyt+φy).(2)考虑它们的合成,如果其频率比满足一定的关系,即如果分振动频率成整数比,则其合振动的轨迹为一稳定的封闭曲线,此曲线称为李萨如图.李萨如图的图样形状和分振动的频率比、初位相以及振幅都有关系,利用示波器演示时,还跟信号通道的显示比例有关.为了研究和讨论方便,这里利用MATLAB语言编程描绘出部分李萨如图,如图1和图2.图中,曲线1～5的函数叠加如下:1.x=cos(1.1t+π/5),y=cos(1.1t+π/6);2.x=cos(1.1t+π/5),y=cos(4.4t+π/6);3.x=cos(1.1t-π/3),y=cos(1.1t-π/8);4.x=cos(1.1t-π/3),y=cos(1.1t+π/8);5.x=cos(1.1t-π/3),y=0.5cos(1.1t+π/8).2nxcy、fyxy利用双踪示波器,可以很方便地得到李萨如图,再根据李萨如图图形,可以比较两个电信号的频率,其关系式如下:NxNy=fyfxΝxΝy=fyfx.(3)其中,fx,fy分别指加在x,y方向上的电信号的频率;Nx,Ny分别指李萨如图图形与x,y轴的最大交点数.若fx为已知频率,fy为未知频率,则有fy=NxNy⋅fxfy=ΝxΝy⋅fx,(4)通过频率比即可由已知频率测量未知频率.3实验过程中的一些现象实验所用仪器为江苏绿扬电子仪器集团有限公司生产的YB43020B示波器和YB33150函数/任意信号发生器.利用信号发生器得到所需的信号,接入双踪示波器,从而得到李萨如图的操作过程极其简单,此处不再赘述.现就实验过程中出现的一些现象作如下分析与处理.3.1学生实验态度的混乱每次实验,细心的同学会发现,在做相同频率比的实验步骤时,使用其它仪器的同学所得到的李萨如图跟自己得到的李萨如图形状有所不同,学生常常疑惑不解,如果指导老师不给予及时地正确指引,常常会使学生因为不理解而怀疑实验的可靠性和理论的正确性,导致学生做实验的态度也变得懒散与随意,从而影响学生的科学研究观和学习态度.3.2教育实验中李萨如图的实验同一组实验的同学,所用仪器相同,在相同频率下,两人前后得出的李萨如图形状不相同;即使同一学生做相同实验,把信号发生器上的频率改变一下,再调回原频率,也会与原频率下得到的图形不一致.以上两种现象是实验中最常见的,对该类现象不理解,实际上是对李萨如图形成机理未能深刻理解所致.此处的李萨如图实际上是电子同时参与了水平和竖直两个方向的简谐运动,最后落在荧光屏上使荧光屏发光的光迹图样.合成振动的轨迹方程推导如下:由(1)式可得:t=±arccos(xAx)+2nπ−φxωxt=±arccos(xAx)+2nπ-φxωx,(5)其中n∈ℤ.把(5)式代入(2)式,并考虑到余弦函数是偶函数,得:y=Aycos[ωyωxarccosxAx±(φy−ωyωxφx+ωyωx2nπ)].y=Aycos[ωyωxarccosxAx±(φy-ωyωxφx+ωyωx2nπ)].(6)此即为两个分振动合成为李萨如图的轨迹方程.从轨迹方程可以看出,要使得到的两个李萨如图形状相同,4个简谐信号还必须同时满足:ωy1:ωx1=ωy2:ωx2,(7)∣∣φy1−ωy1ωx1φx1∣∣=∣∣φy2−ωy2ωx2φx2+ωy2ωx22n1π+2n2π∣∣|φy1-ωy1ωx1φx1|=|φy2-ωy2ωx2φx2+ωy2ωx22n1π+2n2π|,n1,n2∈ℤ.(8)显然,要得到相同形状的两个李萨如图,就并非像同学们一般想象的那样,只要两个信号的频率比相同就可以了,而是还跟他们的初相位有关.尽管在示波器实验中,利用信号发生器使相叠加的两信号的频率比比较容易得到,但由于初相位之间的关系利用信号发生器很难甚至无法满足,在做实验的时候,各组之间开始的时间不同,仪器之间产生的初相位的差别,两信号叠加在一起的时刻都各不相同,所以尽管(7)式满足了,但(8)式非常难于满足,于是,各组在相同频率比下得到的李萨如图不相同,也就不足为奇了.甚至可以说,得到不相同的形状,反而是正常的.就算是使用相同仪器的一组同学,甚至是相同仪器的同一位同学,在反复做同一频率比的李萨如图实验时,由于前后使用的信号的初相位有变化,得到的李萨如图的形状也是不一样的,除非碰巧刚好满足(7)式和(8)式关系,但此种情况出现的几率非常小.尽管如此,利用得到的不同形状的李萨如图图样来求解未知信号频率时,得到的频率结果却是一致的,这一点证明所使用的实验原理就求解未知频率的方法而言,是绝对正确、无庸置疑的.如图3中,曲线6为x=cos(2t-π/5),y=cos(4t+π/3)叠加;曲线7为x=cos(2t-π/7),y=cos(4t-π/3)叠加.由于各分振动的初相位不同,导致曲线形状不一样,但很明显,曲线6和曲线7均满足(3)式,故求出的未知频率一定是一致的.3.3频率比的严格并不稳定问题实验中还有一个重要现象,就是当被测频率较高时,比如本实验中,当被测频率达到500Hz时,图像就表现出不稳定,呈旋转状.出现这种现象的同时,一方面学生非常好奇,觉得新鲜,好看;但另一方面,也不免要问为什么.书上不是说会得到稳定图样吗,那这种现象又做何解释呢?由于任何仪器都有一个精度问题,当用信号发生器产生一定频率的信号时,会与理论期望值有所差距,且频率越高,差距也就越大.这样,频率比也就不是所期望的严格的整数比了,图样也就不稳定了,且频率越高时,现象越明显.因此,随着时间的增加,图样看起来也就呈现出旋转状.这里,笔者通过MATLAB语言编程模拟出合成的过程,从中可知:当两分振动频率比成严格整数比时,图像稳定,保持固定形状;当两分振动频率不成严格整数比(某分振动频率与欲设频率有微小偏离)时,图像变得不稳定,且随着时间增加,会开始旋转起来.模拟结果跟示波器上观察到的实验现象完全吻合,图4是当x=cos(2π×100t),y=cos(2π×400.1t+π/4)的两信号叠加时,模拟出的转动的图样中某两时刻的情况截图.4探究实验过程中的问题,有助于学生更好地理解教学内容通过本实验,不仅使学生观察到了简谐振动合成的李萨如图,学会了测量简谐振动频率的一种方法,而且,学生通过对实验中出现的一些现象的探讨,更加深入理解了理论课中对简谐振动的合成这一部分理论内容的理解,充分体现了实验课程与理论课程的相