hochwald保谱的可乘线性映射

hochwald保谱的可乘线性映射

线性跟踪一直是国际矩阵理论研究的一个非常活跃的领域。最早Frobenius研究了矩阵代数上保持行列式的线性映射,刻画了Pn×n的线性算子f满足det(f(A))=detA∀A∈Ρn×n(1)近年来,一些作者分别用加法映射或乘法映射来代替线性映射。研究加法保持问题主要工作涉及秩保持、谱保持、幂等保持等,而研究乘法映射的一个主要结果是刻画了保谱可乘映射。1994年Hochwald在文献中率先对矩阵代数上的可乘映射问题进行了探讨,证明了下面结果。定理1若f:Pn×n→Pn×n是一个保谱的可乘线性映射,则存在一个可逆矩阵T∈Pn×n,使得f(A)=Τ-1AΤ∀A∈Ρn×n(2)本文将该定理中的保谱条件进行削弱,得到的主要结果是:定理2若f:Pn×n→Pn×n是一个可乘线性映射,且f保持矩阵特征值之和与积,则存在可逆矩阵T∈Pn×n,使得f(A)=Τ-1AΤ∀A∈Ρn×n本文中符号Eij表示(i,j)位置是1,其余位置是0的n阶矩阵,Pn×n表示数域P上的n阶矩阵环,E表示单位矩阵。又用[1,n]记集合{1,2,…,n}。又如果A,B∈Pn×n且AB=BA=0,则称A和B正交。矩阵A∈Pn×n若满足Ak=A,则称A为k幂阵。1u3000添加at定义1一个映射f:Pn×n→Pn×n称为一个加法映射(或称f保持加法),如果f(A+B)=f(A)+f(B)∀A‚B∈Ρn×n定义2一个映射f:Pn×n→Pn×n称为一个乘法映射(或称f保持乘法),如果f(AB)=f(A)f(B)∀A‚B∈Ρn×n定义3矩阵A的所有特征值的集合称为A的谱,记σ(A)。一个映射f:Pn×n→Pn×n称为一个保谱的,若σ(f(A))=σ(A)。定义4设f:Pn×n→Pn×n若对∀A∈Pn×n,都有A与f(A)的所有特征值之和(或积)相等,则称f是保持特征值之和(或积)。为证明及应用方便,引入标准单位(列)向量e1,e2,…,en。其中则矩阵Eij具有如下一些简单的性质:(1)Eij=eieTj,eTiei=1,eTiej=0(i≠j)。(2)EijEjk=Eik,EijEkl=0(j≠k)。证明EijEjk=(eieTj)(ejeTk)=ei(eTjej)eTk=ei·1·eTk=eieTk=Eik,当j≠k时,EijEkl=ei(eTjek)eTEl=ei·0·eTl=0。证毕。(3)EiiEijEjj=Eij。证明利用性质2即得。证毕。(4)eTiAej恰为矩阵A的第(i,j)处元素。证明直接验证即得。证毕。引理1设f(x)∈F[x],A∈Pn×n,满足f(A)=0,若f(x)无重限,则矩阵A可相似于对角阵。引理2设A∈Pn×n满足Ak=A,则A的特征值只能是0或k-1次单位根,即对A的任一特征值λ,都有λ=0或λk-1=1。证明设Aξ=λξ(ξ≠0),则Ak=A可得λkξ=λξ,故λk=λ,于是有λ=0或λk-1=1。证毕。引理3设A1,A2,…,At是Pn×n中彼此正交的t个k幂阵。(1)若t>n,则∃j∈[1,t]使得Aj=0;(2)若t=n且A1,A2,…,An均非零,则存在可逆矩阵T∈Pn×n,使得T-1AiT=ciEii,∀i∈[1,n],其中ck-1i=1。2之2可逆矩阵t引理4设f是Pn×n→Pn×n的保持加法和乘法的线性映射,且f可逆,则f(0)=0,f(E)=E。证明由f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0。由f(E)=f(E·E)=f(E)·f(E),又E可逆,从而f(E)也可逆。所以,f(E)=E。证毕。引理5设f:Pn×n→Pn×n是可乘线性映射,且f保持矩阵特征值之和与积,则存在可逆矩阵T∈Pn×n,使得f(Eii)=T-1EiiT(i=1,2,…,n)。证明当i≠j时,EiiEjj=EjjEii=0,从而f(EiiEjj)=f(EjjEii)=f(0)=0。即f(Eii)f(Ejj)=f(Ejj)f(Eii)=f(0)=0。又Ekii=Eii,即Eii为k幂阵。于是,f(Ekii)=fk(Eii)=f(Eii)。即f(Eii)(i=1,2,…,n)为n个彼此正交的k幂阵,由引理3之(2)得,存在可逆矩阵T,使得Tf(Eii)T-1=ciEii,即f(Eii)=ciT-1EiiT,其中ck-1i=1,i=1,2,…,n。由于Eii的n个特征值为1,0,…,0,而ciT-1EiiT的n个特征值为ci,0,…,0,则它们特征值的各分别为1与ci,又f保持特征值的和,从而有ci=1,所以f(Eii)=Τ-1EiiΤ证毕。引理6设f:Pn×n→Pn×n是可乘线性映射,且f保持矩阵特征值之和与积,则存在可逆阵T及bij∈F使f(Eij)=bijT-1EijT,并且满足bijbji=1及b1ibijbj1=1,这里i,j=1,2,…,n。证明由引理5知,存在可逆阵T使得f(Eii)=T-1EiiT,由EiiEijEjj=Eij得f(Eii)f(Eij)f(Ejj)=f(Eij)即(Τ-1EiiΤ)⋅f(Eij)⋅Τ-1EjjΤ)=f(Eij)亦即Eii⋅Τf(Eij)Τ-1⋅Ejj=Τf(Eij)Τ-1记Tf(Eij)T-1=B=(bij)n×n,上式即为EiiBEjj=B,从而eieTiBejeTj=B。即eibijeTj=B,亦即B=bijeieTj=bijEij。于是Τf(EijΤ-1=bijEij即f(Eij)=Τ-1(bijEij)Τ=bijΤ-1EijΤ再由EijEji=Eii,得f(Eij)f(Eji)=f(Eii)即T-1(bijEij)T·T-1(bjiEji)T=T-1EiiT因此bijEijbjiEji=Eii即bijbjiEii=Eii从而(bijbji-1)Eii=0所以bijbji=1由E11=E1iEijEj1得f(E11)=f(E1i)f(Eij)f(Ej1)从而T-1E11T=T-1(b1iE1i)T·T-1(bijEij)T·T-1(bj1Ej1)T即E11=b1ibijbj1(E1iEijEj1)=b1ibijbj1E11也就是(1-b1ibijbj1)E11=0由于E11≠0所以b1ibijbj1=1证毕。引理7设f:Pn×n→Pn×n是可乘线性映射,且f保持矩阵特征值之和与积,则存在可逆阵Q使得f(Eij=Q-1EijQ,i,j=1,2,…,n。证明由前面已证,存在可逆阵T,当i≠j时,bijbji=1,使得取从而得当i≠j时,有定理2的证明。证明设A=(aij)n×n,则A=∑ni=1∑nj=1