2021研究生考试数学一真题及答案解析

2021考研数学一真题答案解析

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数学(-)

-、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)

>-1

⑴函数/(%>，在%=0处

1,%=0

(A)连续且取极大值.连续且取极小值.

(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.

【答案】D.

【解析】因为lim/(3)=lim-----=1=/(0),故/(%)在%=0处连续;

T_l=]igx.A.x;故/，(o)=_L.正确答案为D.

因为1皿6"(。)=%m

nox-0x-0X222

(2)设函数可微'且/(x+l,ex)=x(x+I)2,/(x,x2)=2x2lnx，则df(LV)=

(A)dx+dy.(W)dx-dy.(C)办.(D)〜dy

【答案】c.

【解析】乂'(x+1，ex)+e%(x+1,ex)=(x+I)2+2X(X+1)①

/'(x,%2)+2A/A'(x,x2)=4xInx+2x②

——Q又一1

分别将，带人①②式有

y=Q/y=

乂'(1,D+汾1,1)=1,乂，(1,1)+2阳I」1)=2

联立可得乂'(1，1)=0,人'(L1)=1，#(1，1)=乂'(1，1)办+人'(1，1)办=办，故正确答案为^3)设函

数/(x)=八在%=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cr\贝

1+X

7

(A)a=1,Z)=O,c=—6(B)a=l,b=O,c=

6

(C)a=_Lp=_1»c【答案】A.-IXc

【解析】根据麦克劳林公式有

7

{%3)•[1-X2+o(x3)]=x--x3+ofx3)

6

6

1

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故a=l,b=Q,c=-I,本题选A.

6

(4)设函数在区间［0,1］上连续，则%Mr二

(A)lim八/2k-l}12k-l1

2〃2n2n

2n

(C)lim£/k-1}1k

2n2n

【答案】B.

【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成Z?份，取中间点的函数值，则，2众・1)1_

¥/(x)d?x=limS"/JO2"一即选B.n..

(5)二次型的翻2,X3)=(Xr+X2)2+(X2+X3)2-(X3-Xl)2的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,L

(C)2,l.

【答案】B.(D)l,2.

【8?^］(+x)2)22X2?+2xx+2xx+2xA3

/X|?X2,X3)=(xt2+(x2+X32-(X3-xj=r223

<0

，故特征多项式为

0J

-1-1

\AE-A\=-1-2-1=(2+1)(2-3)2

-1-1

令上式等于零，故特征值为「，3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.

【答案】A.

【解析】利用斯密特正交化方法知

万2=。2-2

A

23=的A-741A,

[A,A][A,Al

故公随*

故选A.

(7)设浣5为77阶实矩阵，下列不成立的是

2

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o、z4AB/

(A)r=2r(d)⑻「©

ATAJ/

f

,ABA、

(C)r=2厂(d)(D)r

oAAT,\防少

o'

【答案】C.

fAo、

【解析】(A)r=r(A)+r(ArA)=2r⑷.故A正确.

AL4A

AB、'*0、

(B)AB的列向量可由d的列线性表示，故r4=r(A.)+r(Ar)=2r(A).

<oA

(C)BA的列向量不一定能由d的列线性表示.

,fABAAnAO

(D)BA的行向量可由A的行线性表示，r=r(A)+r(Ar)=2r(A).

'A、0A\

本题选C.

(8)设d,5为随机事件，且0〈尸(5)<1,下列命题中不成立的是

(A)若P(A\B)-P(A),则P(A^3)^P(A).

(B)若P(A\B)>P(A),^\P(A\B)>P(A)

(C)若F(A|B)>F(A15)JIJP(A\B)>P(A).

(D)若P(A\AVB)>P(A\AVB),则PB)>P(5).【答案】D.

PG4G4UAB))____________

［解析］P(^B)

PG4U5)P(A)+P(B)-P(AB)

P(］M"(如(10))="(柄="三

P(A)+P(5)-P(AB)

因为P「MU5)>P(JMU5),固有P(A刀故正确答案为D.

(9)设()为来自总体N的简单随机样本，令

」_________」0=A-/\X=_

△Xpy=-A匕，=x-y.fi

22

(A)g是波的无偏估计,D(3)=ai+。72

v7n

22

(B)不是波的无偏估计，D@廿+通

-

(C)是波的无偏估计，二

n

(D)g不是波的无偏估计，D(O)=^^2-^2

\)n

【答案】C.

【解析】因为Z,y是二维正态分布，所以叉与r也服从二维正态分布，则XJ也服从二维正态分布，

3

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即E(3)=E(X-Y)=E(J)-E(y)=^=0f

4

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A

DtaJyfX-F)=D(J)+D(y)-cov(J,y)=4^2-2/那J,故正确答案为c.

n

(10)设鼠是来自总体2V(〃?4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：

①(X)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W={x>ll],

_116

其中贝册="一时，该检验犯第二类错误的概率为

162=1

(A)1-0(0.5)(B)l-O(l)

(01-0(1.5)(D)1-0(2)

【答案】B.

【解析】所求概率为P(X<11}X-N(11.5,-),

P{X<11}=P<

故本题选B.

二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置

上.)

•+°°dx

(11)°%2+2x+2

【答案】7:

f+0°dx孤zix\+oo717171

【解析】Jox2+2X+21O(X+1产+110244

；p2e,+m,x<0确定则身

(12)设函数y=y(x)由参数方程、j=4(/-l)ez+/2,x>0?dx1

2

【答案】一.

3

【解析】中--+2/得如________(4ez+4td+2)(2ez+1)-皿+2/)2ez

dx~2ez+lA~olcA~(2/+1)3*'

将’=。带人得gu=|.

(13)欧拉方程X2/+xyf-4y=0满足条件y(l)=1,j/⑴=2得解为j.

【答案】%2.

【解析】令x=e”,则X)，=—,，原方程化为八-今=0,特征方程为

dtdx2dxdx

2222

2-4=0,特征根为4=2,又2=2通解为j=C/e'+C2e~'=Qx+02X~2,将初始条件j"(l)=1,/(1)=2带入

得q=l,C2=0,故满足初始条件的解为j=%%

(14)设S为空间区域｛(X,J9Z)|X2+4P<4,0<Z<2｝表面的外侧­则曲面积分fdydz+yPdzdx+

zdxdy=_.

【答案]4TT.

5

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【解析】由高斯公式得原式=d+2少+dxdy-4;i.

QD

(15)设A=劭为3阶矩阵，.为代数余子式，若d的每行元素之和均为2,且|八|=3Jii+^1+

r.............................

【答案】

11'则铜征值为亨’对应的特征向量为

=2,a=1

44i+4i+43i

44)曾

而/*=，12A22=Al2+A22+432

—aAi2,A,1,即

A

“33JV?

“23\"13+423+4.3)

4+4i+4i=L

(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再

从乙盒中任取一球.令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则z与r的相关系数.

【答案】去.

"(0,0)(0,1)(1,0)(w,0，or

y

【解答】联合分布率⑵r)〜3113，乂〜]i11

<105510>JLJ2>

(1。)即)=去，做4，沉4,即〜

_±

_5

三、解答题(本题共6小题，共70分,请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(17)(本题满分10分)

(rx2

求极限limA

€x一Jsinx

\J

【答案】去.

•GJ2

sinx-1-J

【解析】解：hm=lim

xA-0ex-1sinxk)xAo(ex-1)sinx

又因为Joe，d<=io<,+/2+=X+|x3+o(x3),故

(x-AjX3+O(X3))(l+X+AyX3+0的)~X~A-X2+0(%2)

原式二lim-

xAO

Ax2+O(X2)1

=lim------------------=—

x22

6

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(18)(本题满分12分)

A~A।X°°

"_+1)"、7=/,2J，求级数Z.㈤的收敛域及和函数.

〃=/

---------+

(1-%)ln(l-%)+%,%G(0J)

【答案】S(x)=<1-e—X

一,x=1U-i

【解析】

S(X)=Z'W=y"+7\~r+，n(n，收敛域(。，11，4(%)=[e,=-------------%G

n=X”=/00"+1IH>(0,11

<KI1oo"+loontl

八2(X)=z-----------?+,=Z-----------Z------------ln(l_%),[Jn(l_%)_%]

,,=in,t=in+I

=(1-%)ln(l-%)+%,%G(0,l)

SJ1)=limS2(x)=1

rf

--------+(1-%)in(l-%)+%,%G(0,1)

S(x)J-e—,

—,X=1

—1

(19)(本题满分12分)

X2+2J2-Z=6，求。上的点到,吵坐标面距离的最大值.4X+2j

+z=30

【答案】66

【解析】设拉格朗日函数=z2+2(%2+2产-z-6)+〃(4x+2y+z-30)

Lx=2x2+4w=0

Ly=4少2+2w=0

=2z—A+i/=0

%2+2j；2-z=6

4x++z=30

解得驻点：(4,I,12),(-8,-2,66)

C上的点(-8,-2,66)到xoy面距离最大为66.

(20)(本题满分12分)

设。匚配是有界单连通闭区域，1(D)=JI(4八如/y取得最大值的积分区域记为ZVD

⑴求/eq)的值.

(2)计算+其中码是，'的正向边界.

do,x2+4)2x+4J

【答案】-71

【解析】⑴由二重积分的几何意义知：KD)=%-/乂)而，当且仅当4-xU在乃上

D

2AA2

大于0时，/(D)达到最大，故D,：X+/<4S/(Di)=j(4-r)r67r=877.⑵补D2"+4产=户0■很小)，取乃

2的方向为顺时针方向，

f(xex2+4j2+y)dx+(4ye-x2+4y2-x)dy

7

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(xex，,+4y2+y)dx+(4yex2+4y2-x)dyr(xex，,+4y2+y)dx+(4yex，,+4y2-x)dy

x2+4j2X2+一

dD.+dD?L,

fxclx+4ydy—cjydx-xdy=-2da=-n.

r

dD?dD2

(21)(本题满分12知

i-n

-i

(1)求正交矩阵P'使得P'AP为对角矩阵；

(2)求正定矩阵C，使得C2=(a+3)£-A

(1i

1

iP-1-1

73o

1i151

【答案】(1)P=；(2)C=-1

VIA/633

1215

-1i

0

rvr?6,33>

【解析】

4一a-11

⑴由\AE-A\=-l又一a1=(2—tz+1)2(2—6?-2)=0

11又一a

得A=a+2,=23=a—\

当人二a+2时

,2-11'

-inrrn

((a+2)A-4)=-121011的特征向量为%=i

J12?、000,

当'=23=a-im

r-n

^a-V)E-A)=i

<2,

।fa+2

令尸二aa2a3

xvr，贝！JpTAP=A=

2

46,

fl

(2)PTC2P=PT(a+3)£-d)P=((a+3)五一A=

4J

8

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1P