2021年中考数学总复习：18 等腰、等边三角形问题（解析版）

2021年中考数学总复习：专题18等腰、等边三角形问题

一、等腰三角形

1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫

顶角，底边和腰的夹角叫底角.

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边“）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相

等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

二、等边三角形

1.定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.

2.性质

性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

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3.判定

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形：

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、解题方法要领

1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在

等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用

其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问

题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边

或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】（2020•临沂）如图，在△48C中，AB=AC,N/=40°,CD//AB,则N8CD=（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根据等腰三角形的性质可求N4C8,再根据平行线的性质可求/8CD.

•.,在△48C中,AB=AC,4=40°,

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AZACB^10°,

'：CD//AB,

：.Z^CD=180°-ZA=140°,

:.NBCD=NACD-NACB=10°.

【对点练习】如图所示，点D是AABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD,则下列结论正

确的是（）

A.AOBCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

【答案】A

【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰.三角形的两个底角

相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.根据等腰三角形

的两个底角相等，由AD=BD得至ljNA=NABD,所以NABC>NA,则对各C、D选项进行判

断；根据大边对大角可对A、B进行判断.

VAD=BD,

:.ZA=ZABD,

AZABOZA,所以C选项和D选项错误；

AAOBC,所以A选项正确；B选项错误.

【例题2】（2020•宁波）△80E和△FG"是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角

形Z8C内.若求五边形。EC”尸的周长，则只需知道（）

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D,

BGEC

A.△N8C的周长B.的周长

C.四边形EBG”的周长D.四边形/DEC的周长

【答案】A

【解析】证明(44S),得出力了=C〃.由题意可知8E=F则得出五边形DECHF的周长

=AB+BC,则可得出答案.

:△GF4为等边三角形，

：.FH=GH,NFHG=60°,

AZAHF+ZGHC=120°,

•.•△Z8C为等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=ZA=60°,

/.ZGHC+ZHGC^120°,

二ZAHF=4HGC,

：./\AFH^/\CHG(AAS),

：.AF=CH.

'：4BDE和XFGH是两个全等的等边三角形，

：.BE=FH,

：.五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),

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=AB+BC.

・,•只需知道△ABC的周长即可.

【对点练习】如图所示，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD=CE,AD与BE相交于

点P,则/APE的度数为°.

【答案】60

【解析】根据BD=CE可得CD=AE,即可证明△ACDgZ\BAE,得NCAD=NABE,再根据内角和为180。的

性质即可解题。

VBD=CE,

ABC-BD=AC-CE,

即CD=AE,

'CD=AE

在4ACD与4BAE中，，NACD=NBAE,

AB=AC

AAACD^ABAE(SAS),

.,•ZCAD=ZABE,

,/ZCAD+ZAPE+NAEB=180°,

ZABE+ZBAE+ZAEB=180°,

.,.ZAPE=ZBAE=60"

【例题3】(2020•台州)如图，已知AD=AE,8。和CE相交于点O.

(1)求证：AABD/AACE；

(2)判断△BOC的形状，并说明理由.

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A

【答案】见解析。

【分析】(1)由“SAS”可证四△/CE；

(2)由全等三角形的性质可得由等腰三角形的性质可得N/BC=N4CB,可求NO8C=/

OCB,可得80=C0,即可得结论.

【解答】证明：(1)'：AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

.,.△ABDdACE(SAS)；

(2)△80C是等腰三角形，

理由如下：

AABD忠LACE,

，NABD=NACE,

"：AB=AC,

：.NABC=NACB,

：.ZABC-NABD=ZACB-NACE,

：./OBC=NOCB,

：.BO=CO,

...△80C是等腰三角形.

【对点练习】如图，己知AC_LBC,BD1AD,AC与BD交于点O,AC=BD.求证：

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D

O

A匕-----------------------&B

(1)BC=AD；

(2)A0AB是等腰三角形.

【答案】见解析。

【解析】证明：(1)VAC±BC,BD1AD,

/.ZD=ZC=90°.

‘A3=BA,

在RtAACB和RtABDA中，＜('

AC=BD,

.,.△ACB^ABDA(HL).

ABC=AD.

(2)由AACB丝ZXBDA,得/CAB=/DBA,

...△OAB是等腰三角形.

【对点练习】已知：在aABC中，AB=AC,D为AC的中点，DE±AB,DF±BC,垂足分别为点E,F,

且DE=DF.求证：AABC是等边三角形.

【答案】见解析。

【解析】只要证明RtAADE^RtACDF,推出/A=NC,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC；

证明：；DE_LAB,DFXBC,垂足分别为点E,F,

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.,.ZAED=ZCFD=90°,

•；D为AC的中点，

；.AD=DC,

在RtAADE和RtACDF中，

[AD=DC

IDE=DF'

ARtAADE^RtACDF,

.*.ZA=ZC,

，BA=BC,VAB=AC,

；.AB=BC=AC,

♦・.△ABC是等边三角形.

【对点练习】如图，Z\ABC中，AB=AC,NA=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足，连接EC.

（1）求NECD的度数；（2）若CE=5,求BC长.

【答案】（1）NECD的度数是36°；

（2）BC长是5.

【解析】（1）：DE垂直平分AC

；.CE=AE,

；./ECD=/A=36°

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(2)VAB=AC,ZA=36°,

AZB=ZACB=72°,

AZBEC=ZA+ZECD=72°,

/.ZBEC=ZB,

JBC=EC=5.

专题点对点强化训练

一、选择题

1.（2020•聊城）如图，在△/8C中，AB=AC,NC=65°,点。是8C边上任意一点，过点。作。尸〃

交ZC于点E,则NFEC的度数是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性质得出NB=NC=65°,由平行线的性质得出NCZ）E=/8=65°,再由三角形

的外角性质即可得出答案.

"：AB=AC,ZC=65°,

：.ZB=ZC=65°,

'：DF//AB,

:.NCDE=NB=65°,

:.NFEC=NCDE+NC=65°+65°=130°.

2.（2020•南充）如图，在等腰△Z8C中，8。为N/8C的平分线，N4=36°,AB=AC=a,BC=b,则CO

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=（）

a+ba-b

A.------B.------C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出进而解答即可.

•・•在等腰△/BC中，8D为N/8C的平分线，ZA=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=12°,

AZABD=360=N4,

:・BD=AD,

：.ZBDC=NA+NABD=72°=ZC,

:・BD=BC,

\'AB=AC=a,BC=b,

：.CD=AC-AD=a-b

3.（2020•徐州）如图，43是OO的弦，点C在过点5的切线上，OCLCU,OC交AB于点P.若NBPC

=70°,则NZBC的度数等于（）

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A

cB

A.75°B.70°C.65°D,60°

【答案】B

【解析】先利用对顶角相等和互余得到N4=20°,再利用等腰三角形的性质得到NO以=N4=20。，然

后根据切线的性质得到OB上BC,从而利用互余计算出NABC的度数.

\'OC±OAf：.ZAOC=90°,

VZAPO=ZBPC=10°,AZA=90°-70°=20°,

•：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20°,

・・・8C为OO的切线，：.OB1BC,：.ZOBC=90°,AZABC=90°-20°=70°.

4.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和

为（）

A.返B.0返C.aD.不能确定

222

【答案】B

【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于

等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观.

作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到

三边的距离之和等于高线的长度，从而得解.

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D,

/、'c

如图，•.•等边三角形的边长为3,

二高线AH=3XK=>^S,

22

SA*BC」BJC・AH」AB・PD+LBC・PE+LC・PF,

2222

工X3・AH=LX3・PD+LX3・PE+LX3・PF,

2222

PD+PE+PF=AH=

即点p到三角形三边距离之和为3返.

5.（2019•浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”

能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒。4,OB组成，两根棒在。点相连并可绕。转动，C点

固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若NBDE=75°,则/CDE的度数是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。

OC=CD=DE,

：.ZO=ZODC,ZDCE=ZDEC,

设NO=/ODC=x,

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・・・ZDCE=ZDEC=2xf

：.ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

VZBD£=75°,

・・・ZOOC+ZCDE+ZBDE=180°,

BPx+180°-4x+75o=180°,

解得:x=25°,

ZCDE=180°-4x=80°.

6.（2019•湖南长沙）如图，心△/BC中，ZC=90°,N8=30°,分别以点/和点8为圆心，大于工的

2

长为半径作弧，两弧相交于“、N两点，作直线MN,交BC于点、D,连接Z。，则/。1。的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△/8C中，VZB=30°,ZC=90°,

：.ZBAC^180°-ZB-ZC=60°,

由作图可知MN为AB的中垂线，

:.DA=DB,

:.NDAB=NB=30°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=30°

二、填空题

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7.（2020•台州）如图，等边三角形纸片Z8C的边长为6,E,尸是边8C上的三等分点.分别过点E,F沿

着平行于历1,。方向各剪一刀，则剪下的△Z5E尸的周长是.

【答案】6

【解析】根据三等分点的定义可求加"的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解.

•.•等边三角形纸片/8C的边长为6,E,E是边BC上的三等分点，

:.EF=2,

'：DE//AB,DF//AC,

.•.△OE尸是等边三角形，

二剪下的尸的周长是2X3=6.

8.（2020•牡丹江）如图，在RtZ\Z8C中，CA=CB,"是48的中点，点。在8M上，AEA.CD,BFLCD,

垂足分别为E,F,连接则下列结论中：

@BF=CE；

（2）ZAEM=NDEM；

@AE-CE=近ME；

④。原+。产=2。河2；

⑤若NE平分NB4C,则EF：BF=A/2：1；

⑥CF*DM=BM・DE,

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正确的有.（只填序号）

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】证明△BC/gZiCZE,得到8F=CE,可判断①；再证明四△CEM,从而判断尸为等

腰直角三角形，得到EF=V^EM,可判断③，同时得到NMEF=/A/FE=45°,可判断②；再证明△£）栈

必NEM,得到△。河N为等腰直角三角形，得到。N=&,DM,可判断④；根据角平分线的定义可逐步

EFEFEFy[2EM/—

推断出DE=EM,再证明之△4CE,得到OE=CE,则有一=—=—=-----=V2,从而判断

BFCEDEDE

⑤；最后证明△CD"S”£）E,得到黑=器，结合8“=CA/,AE=CF,可判断⑥.

【解析】；N/C8=90°,

:.NBCF+NACE=90°,

■:NBCFMCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

又,；NBFD=90°=NAEC,AC=BC,

:./\BCFgACAE(AAS),

：.BF=CE,故①正确；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

：.AE-CE=CF=CE=EF,

连接FW,CM,

；点M是Z8中点,

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：.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△8OE和△CD/W中，NBFD=/CMD,NBDF=NCDM,

：.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

：./\BFM注LCEM(SAS),

：.FM=EM,ZBMF=ZCME,

■:NBMC=90°,

:.NEMF=90°,即为等腰直角三角形，

：.EF=\[2EM=AE-CE,故③正确，NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

：.ZMEF^ZAEM=45°,故②正确，

设AE与CM交于点、N,连接。M

ZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

:.丛DFM9丛NEM(ASA),

:*DF=EN,DM=MN,

...△ZM/N为等腰直角三角形，

：.DN=>/2DM,而/。E/=90°,

DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正确；

*C=8C,4c8=90°,

二/。8=45°,

：4E■平分/8/C,

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ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

•；NDEM=45°,

：.ZEMD=67.5°,BPDE=EMf

^：AE=AEfZAED=ZAEC,/DAE=/CAE,

•・.△ADEm4ACECASA\

:・DE=CE,

•・・/XMEF为等腰直角三角形，

：.EF=©EM,

tEFEFEF誓=亚，故⑤正确;

••BF-CE-DE-DE

•:NCDM=/ADE,NCMD=NAED=90°,

:.XCDMSADE,

9CDCMDM

AD~AE~DE"

■:BM=CM,AE=CF,

.BM_DM

•.=f

CFDE

:・CF*DM=BM・DE,故⑥正确。

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B

9.如图所示，D是等边AABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB,4ABC的周长是9,

则NE二°,CE=.

【答案】30；-

2

【解析】由4ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据"三线合一"得到BD平分NABC,而/ABC

为60°,得到NDBE为30°,又因为DE=DB,根据等边对等角得到NE与NDBE相等，故NE也为30°；

由等边三角形的三边相等且周长为9.求出AC的长为3,且/ACB为60。，根据NACB为4DCE的外角，

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出/CDE也为30°,根据等角对等边得到CD=CE,

都等于边长AC的一半，从而求出CE的值

解：.••△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，

ABD为NABC的平分线，且NABC=60。，

BPZDBE=30°,又DE=DB,

.,.ZE=ZDBE=30°,

♦.•等边aABC的周长为9,，AC=3,且NACB=60°,

.*.ZCDE=ZACB-ZE=30°,即NCDE=NE,

/.CD=CE=-AC=-.

22

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10.（2019黑龙江绥化）如图,在aABC中,AB=AC,点D在AC上，且BI）=BC=AD,则NA=度.

【答案】16

【解析】：BD=AD,设NA=NABI）=x,NBDC=2x,：BD=BC,；.NC=NBDC=2x,：AB=AC,；./ABC=NC

=2x,.,.x+2x+2x=180°,；.x=36".

三、解答题

11.（2020•绍兴）问题：如图，在中，BA=BD.在8。的延长线上取点E,C,作△4EC,使£4=

EC.若/BAE=9Q°,NB=45°,求ND4c的度数.

答案：ZDAC=45Q.

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“N8=45°”去掉，其余条件不变，那么ND4C的度数会改变吗？

说明理由.

（2）如果把以上“问题”中的条件“NB=45°”去掉，再将“/BAE=90°”改为“NBAE=n。”,其余

条件不变，求/D4c的度数.

【答案】见解析。

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到NZED=2NC,①求得ND4E=90°-NBAD=90°-（45°+Z

C）=45。-NC,②由①，②即可得到结论；

（2）设,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】（1）ND4c的度数不会改变;

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■:EA=EC,

；・N4ED=2NC,①

VZBAE=90°,

1

ZBAD=^[180°-(90°-2NC)]=45°+NC,

AZDAE=9Q°-NB4D=90°-(45°+ZC)=45°-ZC,②

由①，②得，ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°；

(2)设//8C=M,

则NB/O=±(180°-m°)=90°—犷，4EB=180°-n°-m°,

AZDAE=n°-ZBAD=n°-