2021年中考数学知识点综合突破训练：二次函数综合1（附答案）

2021年中考数学知识点综合专题突破训练：二次函数综合1（附答案）

1.如图所示，抛物线），="2+瓜+c（.#0）与x轴交于点A（-2,0）、B（1,0）,直线x

=-0.5与此抛物线交于点C,与x轴交于点M,在直线上取点。，使MD=MC,连接

AC、BC、AD.BD,某同学根据图象写出下列结论:

①〃-b=0；

②当-2cx<1时，y>0；

③四边形ACB。是菱形；

④9a-3b+c>0

你认为其中正确的是（）

A.②③④B.①②④C,①③④D.①②③

2.边长为1的正方形的顶点A|在x轴的正半轴上，如图将正方形0481G绕顶

点0顺时针旋转75°得正方形0A8C,使点B恰好落在函数y=o?（〃<（））的图象上，

则a的值为（）

C.-2

3

3.如图（1）所示，E为矩形A8CQ的边AO上一点，动点P,Q同时从点8出发，点尸沿

折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速

度都是1C77?/秒，设P、。同时出发f秒时，△8P。的面积为yaj.已知y与f的函数关

系图象如图（2）（曲线0M为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）

A.AB：AD=3：4

B.当△BPQ是等边三角形时，f=5秒

C.当△ABES/XQBP时，f=7秒

D.当△8PQ的面积为4c/时，f的值是百i或里_秒

5

4.如图，二次函数），=-，+2x+w+l的图象交x轴于点4（a,0）和8（b,0）,交），轴于

点C,图象的顶点为D下列四个命题：

①当x>0时，_y>0；

②若a--\,则6=4；

③点C关于图象对称轴的对称点为E,点M为x轴上的一个动点，当机=2时，△MCE

周长的最小值为2y5；

④图象上有两点P（xi，y\）和。（必，”），若田<1<》2，且XI+M>2,则尹>丫2，

C.3个D.4个

5.如图1,S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS-SD-DC

匀速运动，同时点尸从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且点尸运动

到点B时点E也运动到点C.动点E,尸同时停止运动.设点E,尸出发f秒时，丛EBF

的面积为ya/.已知y与f的函数图象如图2所示.其中曲线OM,N尸为两段抛物线，

为线段.则下列说法：

①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点。时共用了4秒

②矩形ABCD的两邻边长为BC=6cm,CD=4cm；

④点E的运动速度为每秒2cm.其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

6.二次函数）＞=/-8x+15的图象与x轴相交于N两点，点P在该函数的图象上运动,

能使△PMN的面积等于上的点尸共有（）

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，抛物线y=a?+法+c与x轴交于力，B两点，与y轴交于C点，OE是正三角形ABC

的中位线.动点M,N分别从。、E出发，沿着射线OE与射线EB方向移动相同的路程，

连结AM,ON交于P点.则下列结论：①ac=-3；@AM=DN；③无论M,N处何位

置,NAPN的大小始终不变.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.①②③D.②③

8.已知抛物线y=―二(x-1)(X-9)与X轴交于A，8两点，对称轴与抛物线交于点C,与x

16

轴交于点。，OC的半径为2,G为OC上一动点，P为AG的中点，则。P的最大值为

()

B.亨cD.2a

A.1•冬

9.如图，直线(k#0)与抛物线(aWO)交于A,B两点,且点A的横坐标

是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:

①抛物线y=o?(“wo)的图象的顶点一定是原点;

②x>0时，直线y=fcv+b(k#0)与抛物线>=分2(aWO)的函数

值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有

可能成为等边三角形；

⑤当-3Vx<2时，ax'+kx<b,

其中正确的结论是()

A.①②④B.①②⑤

C.②③④D.③④⑤

10.如图，已知点A(4,0),。为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点。、A),

过P、。两点的二次函数力和过P、4两点的二次函数”的图象开口均向下，它们的顶

点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当00=40=3时，这两个二次函数的最

大值之和等于

11.如图，两条抛物线y=工乂2+1，y广二2-1与分别经过点「2,0),(2,0)且

平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为.

12.如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC,在射线OC上取点A,过点A

作AH_Lx轴于点”，在抛物线y=/(x>0)上取一点P,在y轴上取一点。，使得P,

O,。为顶点的三角形与△AO”全等，则符合条件的点A有个.

13.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点，如果将二次函

数y=-x2+8x-普的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边

界上的整点个数有个.

14.如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2,

则通过A,B,C三点的抛物线对应的函数关系式是.

15.若抛物线yi="ix~+%ix+ci与y2=a2X，b2x+C2满足-=---=---=k(kWO,1).则称

a2b2c2

yi，)，2互为“相关抛物线”.给出如下结论：

①以与＞2的开口方向，开口大小不一定相同；

②力与丫2的对称轴相同；

③若yi的最值为m,则＞i的最值为记〃?；

④若y2与x轴的两交点间距离为d,则＞＞1与x轴的两交点间距离也为d.

其中正确的结论的序号是(把所有正确结论的序号都填在横线上).

16.如图，反比例函数的图象经过点A(-2,5)和点8(-5,p),°ABCD的顶点C、D

分别在)，轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图象经过点A、C、D.

(1)点、D的坐标为；

(2)若点E在对称轴右侧的二次函数图象上，且NQCEANBZM,则点E的横坐标机

的取值范围为.

17.如图，已知二次函数-当一3的图象与x轴交于A,8两点(点A在点B的左

33

侧)，与〉轴的负半轴交于点C,顶点为。，作直线CQ,点P是抛物线对称轴上的一点,

若以尸为圆心的圆经过A,8两点，并且和直线C。相切，则点P的坐标为.

y

18.已知。尸的半径为1,圆心尸在抛物线y蒋乂2-1上运动，当。P与x轴相切时，圆心

P的坐标为

19.如图，抛物线y=a7+bx+3(«,b是常数，且aWO)与x轴交于A,8两点，与y轴交

于点C.并且A,8两点的坐标分别是A(-1,0),B(3,0).

(1)①求抛物线的解析式;②顶点D的坐标为；③直线BD的解析式为

(2)若P为线段BO上的一个动点，其横坐标为相，过点尸作PQLx轴于点Q,求当相

为何值时，四边形PQOC的面积最大？

(3)若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN〃4c交x轴于点N.当

点M的坐标为时，四边形MN4C是平行四边形.

20.如图，抛物线y=oy2+w+3(.WO)的对称轴为直线x=-l,抛物线交x轴于A、C两

点，与直线y=x-l交于A、B两点，直线A8与抛物线的对称轴交于点区

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标.

(3)在平面直角坐标系中，以点8、E、C、。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写

出符合条件点。的坐标.

21.如图，抛物线y=ar2+/jx+c经过A(-1,0)、C(0,3)、B(2,3)

(1)求抛物线的解析式；

(2)线段AB上有一动点P,过点P作)，轴的平行线，交抛物线于点。，求线段P。的

最大值；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M

的坐标；如果不存在，说明理由(4个坐标).

22.如图，抛物线y=-，+云+5与x轴交于A,B两点.

(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P,使点8关于直线0P的对称点恰好落在对称轴上.若存

在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)当624,0WxW2时，函数值y的最大值满足3WyW15,求6的取值范围.

23.如图，抛物线y=o7+工+4的对称轴是直线》=3,且与x轴相交于A,8两点(点B

2

在点A的右侧)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式和A,8两点的坐标；

(2)若点P是抛物线上8、C两点之间的一个动点(不与8,C重合)，则是否

存在一点P,使△8PC的面积最大？若存在，请求出△BPC的最大面积；若不存在，试

说明理由.

24.如图，抛物线y=o7--^r+c与x轴交于4,B两点，与)，轴交于C点，连结AC,已知

3

8(-1,0),且抛物线经过点£>(2,-2).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点E是抛物线上位于X轴下方的一点，且SzkACE=/品＞ABC，求E的坐标；

(3)若点P是)，轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的

25.如图，抛物线了=以2+法+3与x轴交于A,B两点，且点B的坐标为(2,0),与y轴

交于点C,抛物线对称轴为直线x=连接AC,BC,点P是抛物线上在第二象限内

2

的一个动点.过点P作X轴的垂线P”，垂足为点”，交AC于点Q.过点尸作PGLAC

于点G.

(1)求抛物线的解析式.

(2)求APOG周长的最大值及此时点尸的坐标.

(3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点。，使得以B,C,。为顶点的三角形是

等腰三角形？若存在，请写出此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图，若抛物线y=/+bx+c与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,直线y=x

-3经过点8,C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点尸作PHLv轴于点H,交BC于点M,

连接PC.

①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P运动的过程中，是否存在点恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如

果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

参考答案

1.解：①•.•抛物线y=o?+以+c(“W0)与X轴交于点A(-2,0)、B(1,0),

该抛物线的对称轴为x=-旦=-0.5,

2a

.'.a=b,a-b=0,①正确；

②♦.•抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A(-2,0)、B(1,0),

当-2<x<l时，y>0,②正确；

③：点A、8关于x=0.5对称，

：.AM=BM,

又且CZ)_LAB,

.••四边形AC8力是菱形，③正确：

④当X--3时，y〈0,

即y—9a-3Z?+c<0,④错误.

综上可知：正确的结论为①②③.

故选：D

2.解：如图，作轴于点E,连接0B,

,/正方形OABC绕顶点0顺时针旋转75°,

：.NAOE=75°,

VZAOB=45°,

：.ZB(?E=30°,

'."OA=l,

：・OB=®,

U：ZOCB=90°，

犷哼，

：.BE=

0E=返，

2

...点B坐标为（逅，-返）,

22

(«<0)得a=-2^2.,

代入y=ax

3

y=-匹2

3x,

故选：D.

3.解：由图象可知，AD=BC=BE=5,CD=AB=4,AE=3,DE=2,

A、：.AB：AD=4：5,故A错误,

B、,.•tan/ABE=幽工

AB4

...NPBQ#60°,

...点P在E。时，有可能△PBQ是等边三角形,

,:BE=BC,

二点P到点E时，点。到点C,

...点P在线段A。中点时，有可能△P8Q是等边三角形,

,：AE>DE,

...点P不可能到4。的中点，

...△P8Q不可能是等边三角形，故B错误，

C、•：△ABES^QBP,

.♦.点E只有在C。上，且满足理0,

ABAE

-5-CP

43

CP=H.

4

：.t=(BE+ED+DQ)4-1=5+2+(4-1§.)=空

44

故c错误，

D、①如图(1)

图⑴

在RtZXABE中，AB=4,BE=5

sinZA£B=-^-=A,

BE5

sinZCBE=—

5

,:BP=t,

：.PG=BPsinZCBE=当,

5

，SABP0=』BQ><PG=Lxfx3=2t2=4,

2255

；，=-VIo(舍)或r=VT5，

②当点p在cr>上时，

S&BPO=—XBCXPC=Ax5X(5+2+4-t)=Ax(11-r)=4,

222

・r—47

5

...当△BP。的面积为4c，〃2时，♦的值是百5或里砂，故£>正确,

5

故选：D.

4.解：①当时，y>0.故①错误.

②—---------------=1,

-2a~2X(-1)

...当〃=-1H寸，b=3,故②错误.

③当,〃=2时，C(0,3),E(2,3).E'与E关于x轴对称,

：.E'(2,-3),

：.CE'=2A/I0-

.♦.△MCE的周长的最小值为2丁62,故③错误.

④设由关于对称轴的对称点内'，

•\x\1=2-x\»

Vx|4-X2>2,

・'・X2>-X]+2,

/.X2>X1',

Vxi<l<X2,

**.X1<1<X1'<X2，

・・•函数图象在X>1时，y随X增大而减小,

...y2V力，，④正确.

故选：A.

5.解：由图象可知点E运动到点S时用了2.5秒，运动到点。时共用了4秒.故①正确.

设A3=C£)=acm，BC=AD=bcm,

"1

.•a-(b-2.5)=7

由题意，

y*a(b-4)=4

解得卜”，

lb=6

所以AB=CD=4cm,BC=AD=6cm,故②正确，

'：BS=2.5k,SD=l5k,

..里=红，设so=3x,BS=5x,

SD3

在RTAABS中,AB2+AS2=BS1,

.•-42+(6-3x)2=(5x)2,

解得x=l或-型(舍)，

4

・・・8S=5,SD=3,AS=3,

:.sinZABS=^-=3故③错误，

BS5

•・,8S=5,

・・・5=2.5Z,

:.k=2cm/s,故④正确，

故选：C.

6.解：y=，-8x+15的图象与x轴交点（3,0）和（5,0）,

|MN|=2,

设〃点（光，y）,

y=,-8x+15,

面积=L=1MMW，

可得力=工，或者＞2=-工

22

当），=■寸，尸一8士返;

22

当）=-工时，尸8士加

22

所以共有四个点.

故选：D.

7.解：:△ABC是等边三角形，OC_LA8,

：.AO=OB,ZACO=ZBCO=30°,

...OC是抛物线对称轴，

.•.b=0,

・••抛物线解析式为y=〃/+c,

.•.点8坐标（，£，0）,

*/tanZBCO=5/3*

C0

•?=-3c

a

Vc^O,

.\ac=-3,故①正确.

•・,DE是△ABC的中位线，

ADE=1AB=1AC=AD,DE//AB,

22

.•./CZ）E=NC4B=60°,/CE£>=/CBA=60°,

ZADM=ZDEN=\20°,

在△ADM和△DEN中，

'AD=DE

<ZADM=ZDEN>

1DM=EN

AADM冬ADEN,

：.AM=DN,NM=NN,故②正确.

设AM交EN于K,：ZEKM=NPKN,：.ZMEK+ZEKM+ZM=180°,ZKPN+ZPKN+

Z7V=18O",

ZMEK=4NPK,

：/M£K=/CED=60°,

AZNPK=60°,

，NAPN=1800-NNPK=120°,

二•NAPN的大小不变，故③正确.

故选：C.

8.解：尸为AG中点，。为A8中点，所以PD是三角形A8G的中位线，则。P=1/28G,

当3G最大时，则OP最大.

由圆的性质可知，当G、C、8三点共线时，8G最大.

VC(5,3),B(9,0),

BC={“+42=5,

・・・5G的最大值为2+5=7,

.•.OP的最大值为工.

2

故选：A.

9.解：①抛物线》="，，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为(0,0),本选项正确；

②根据图象得：直线(ZW0)为增函数；抛物线丫=亦2(.WO)当x>0时为增

函数，则x>0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；

③由A、B横坐标分别为-2,3,若AB=5,可得出直线A8与x轴平行，即々=0,

与已知A70矛盾，故AB不可能为5,本选项错误;

④若OA=O8,得到直线A8与x轴平行，即后=0,与已知上#0矛盾,

J.OA^OB,即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；

⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：

可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-3,2,

由图象可得：当-3<x<2时，ax'<-kx+h,即

则正确的结论有①②⑤.

故选：B.

10.解：过B作于凡过。作。£_LOA于E,过C作CM_LOA于M,

,JBF1OA,DE1OA,CMLOA,

：.BF//DE//CM,

'：OD=AD^3,DE±OA,

：.OE=EA=1JOA=2,

2

由勾股定理得：DE—£)2_Qg2—>/5，

设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,

'：BF//DE//CM,

：./\OBF^/\ODE,/^ACM^/\ADE,

.BF=OFCM=AM

**DE丽'DEAE)

(OA-OP)=L(4-2x)=2-x,

22

xCM_2~x

2,7?丁'

解得：8尸=恒;，CM=J^-返t,

22

：.BF+CM=yf5-

故答案为：Vs

0|FP/\k.Wy4\X

11.解：如图，过）?=-Xr2-1的顶点（0,-1）作平行于x轴的直线与>>]=-Xr2+1

围成的阴影，

同过点（0,-3）作平行于X轴的直线与丫2=-工2-1围成的图形形状相同，

2

故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，

因此矩形的面积为4X2=8.

故填8.

12.解：①当NPOQ=NOAH=60°,若以P,O,。为顶点的三角形与△A。”全等，那

么A、尸重合；

由于NAO”=30°,设A坐标为（a,b）,

在直角三角形。4”中，tanN4O，=tan30°=乂@=旦，

3a

设直线04的方程为y=kx,把A的坐标代入得左=且=返,

a3

所以直线0A：y=退:，联立抛物线的解析式，

3

r型

得：y3x,

解得卜=0,

Iy=o

故A（返,-1）；

33

②当NPO2=NAOH=30°,此时△P0QgZ\A0H；

易知NPOH=60°,则直线OP：y=Q,联立抛物线的解析式,

'y=V^x

得：

2

ly=x

x=0x=V3.

解得

y=0y=3，

故P（M，3）,那么4（3,愿）;

③当NOPQ=90°,ZPOQ=ZAOH=30°时，此时△。。^^△人。”；

易知NPOH=60°,则直线OP：y={g,联立抛物线的解析式,

,日［y=V3

ly=x2

x=0x=V3

解得

y=0y=3

故P（V3,3）,

；.O尸=2愿，QP=2,

④当/OPQ=90°,/POQ=/OAH=60°,此时△OQP四△4OH；

此时直线0P：y=也,联立抛物线的解析式

3

r4

得:y3x,

,y=x2

ra

解得尸r

ly=oH

I3

：.p（返,A）,

33

:-Qp=^Ts0P=l'

：.OH=QPQP=^fj,AH=OP=^,

故A（空i,2.）.

33

：(返，±)或(3,J3)或(2«,2)

综上可知：符合条件的点4有四个，且坐标为

33

或（M2）.

33

故答案为：4.

13.解：将该二次函数化简得，y=-[（JC-4）2-25],

4

令y=0得，x=卫或3.

22

则在红色区域内部及其边界上的整点为（2,0）,(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,

1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,

4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共

25个，

故答案为：25.

14.解：•••沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2,

点的坐标为：（-4,2）,3点的坐标为：（-2,6）,C点的坐标为：（2,4）,

将A,B,C代入y=a1+fcv+c,

16a-4b+c=2

44a_2b+c=6>

4a+2b+c=4

，—5

a~^2

解得：,b=-y,

20

,CT

二次函数解析式为：y=--Lr2-3+型.

1223

故答案为：尸-工2,1+型.

1223

15.解：由已知可知：a\—ka2,b\—kbi，c\=kc2>

①根据相关抛物线的条件，内、“2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定

相同；

ab

②因为_L=_L=z,代入一旦得到对称轴相同；

a2b22a

22

4ac—b4ac—b

③因为如果也的最值是，"，则yi的最值是——~-=k>—U~~4=坳，故本选

4al4a2

项错误;

bc

④因为设抛物线yi与x轴的交点坐标是（e,0）,（g,0）,则e+g=-1，eg=—U抛

alal

b。cq

物线）2与x轴的交点坐标是（血，。），（d,0）,则，”+〃=-―工，md=--=-,可求得：|g

a2a2

故答案为：①②④.

16.解：(1)如图，设反比例函数解析式为丫=上，

X

;反比例函数的图象经过点A(-2,5)和点3(-5,p),

:・k=-10.p=2,

，点8坐标(-5,2),

设直线A8的解析式为>=入+4则有［-2k+b=5,解得］k=l,

(-5k+b=2(b=7

直线AB的解析式为y=x+7,

：.AB//CD,

直线CD的解析式为y=x+〃?，

则0D=0M=-m,

"：AB=CD=3y/2,

：.OD=OC=3,

...点。坐标(3,0),

故答案为(3,0).

(2)(-2,5),C(0,-3),8(-5,2),D(3,0),

22+g2=2->/y7>HD=2+g2=2A/17>

：.AC=BDf

四边形ABCD是平行四边形，

・・・四边形A8CO是矩形，设AC与BD交于点、K,

:.KC=KD,

:./KDC=/KCD,

当点E在直线CQ下方时，/ECD=/ADB,

VZADB+ZKDC=90°,

：.ZECD+ZKCD=90°,

AEC1AC,

•・•直线AC的解析式为y=-4x-3,

二直线CE的解析式为y=-kr-3,

设经过点A、C、。的抛物线解析式为>=，陵+芯+<?,

c=-3a=l

则有《4a-2b+c=5,解得，b=_2

9a+3b+c=0c=-3

・••抛物线解析式为y=x2-2x-3,

9

x=°或，

由,，解得

39,

y=x2-2x-3y=-3

.•.点E坐标（9，-毁）.

416

当点E在直线CO上方时，ZE'CD=NADB,

VZADB+ZBDC=90<>,

：.NE'CD+ZBDC=90°,

：.CE'LBD,

•.•直线BD的解析式为尸-吉吟，

，直线CE'的解析式为y=4x-3,

由,解得0=0或0=6,

2

ty=x-2x-3ly=-3ly=21

.•.点E'坐标为（6,21）,

综上所述，当点E在对称轴右侧的二次函数图象上，且/OCEANBD4,则点E的横坐

标m的取值范围为1W〃?V包或m>6.

4

故答案为或%>6.

4

17.解：当y=O时，12_区-3=0,解得勺=-1,M=9,则A(-l,0),B(9,0),

33

当x=0时，、=工2-3=-3,则C(0,-3),

33

..,丁=12-当-3=-k(X-4)2-

3333

...抛物线的对称轴为直线x=4,。点坐标为(4,-25),

3

设直线CD的解析式为y=kx+b,

fb=-3f4

把C(0,-3),D(4,-空)代入得I25,解得Ik-下，

34k+b=-丁,日

，直线CD的解析式为y=-Ar-3,

3

过P点作直线CO于“，连结尸8,CO交x轴于E点，抛物线的对称轴交x轴于F

点，如图，则F（4,0）,E（-9,0）,

4

.\EF=4-（一旦）=空，FB=5,

44

**,〃"{/+岳产需,

设P（4,D,则"=+等，^=V（4-9）2+t2=V25+t2>

0

•••以尸为圆心的圆经过A,B两点,并且和直线CQ相切，

•••PH=PB=«^S，

■:NPDH=4EDF,

：.RtADPHsRtADEF,

---------^25_

.PH=PD即通处

■"EFED"25.25,

412

整理得8』-75f=0,解得八=0,f2=Z"，

8

点坐标为（4,0）或（4,匹）.故答案为（4,0）或（4,圭）.

88

18.解：当y=l时，有1=工2-1,f=4,；.x=±2.即点尸（2,1）或（-2,1）.

2

当y=-1时，有-1=12_1,x=o.即点尸(0,-1).

2

故答案是：(2,1)或(-2,1)或(0,-1).

19.解：(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入y^ax+bx+S,得卜”+3=0,解得:ra=-i

I9a+3b+3=0lb=2

.•.y=-x+2%+3；

②函数的对称轴为：x=l,则。的坐标为：(1,4),

故答案为(1,4)；

③将点8、。的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BD的表达式为：y=-2x+6,

故答案为：y=-2x+6；

(2)•.•点P的横坐标为〃7,则点P的纵坐标为-2相+6.

当x=0时，y=0+0+3=3.

：.C(0,3).

由题意可知：

OC=3,OQ—m,PQ=-2m+6.

.*.5=A(OC+PQ)XOQ=^_(-2/77+6+3)

V-l＜0,1＜旦＜3,

4

当m=§时，s放大位=&」-；

416

(3)如图所示，四边形MNAC是平行四边形,

则CM〃x轴，则点M和点C关于函数对称轴对称,

故点M(2,3),

故答案为：(2,3).

20.解：(1)令y=0,可得：x-1=0,解得：x=\,

，点A(1,0),

:抛物线+以+3(a#0)的对称轴为直线》=-1,

二-1X2-1=-3,即点C(-3,0),

••Ja+b+3=0,解得“a=-l,

{9a-3a+3=01b=-2

抛物线的解析式为：y=-/-2x+3；

(2)•.•点P在直线A8上方的抛物线上运动，

.,.设点PCm,-m-2m+3),

:抛物线与直线y=x-1交于A、8两点，

(_2cq(X,=-4(X=l

y—x-2x+3,解得：][,92,

,y=x-l/1=-5[y2=0

；.点8(-4,-5),

如图，过点P作P例〃y轴交直线AB于点例，

点M(m,m-1),

:.PM=-m2-2//1+3-"z+l=-nT2-3m+4,

，SAABP=S^PBM+SAPMA

1912

=—(-///-3m+4)(m+4)+—(-/??*■-3m+4)(1-m)

22

=5,3、2125

T(m?)4g

当〃?=3时，尸最大，

2

.•.点P(工豆)；

24

(3)当x=-l时，y=-l-l=-2,

.•.点E(-l,-2),

如图，直线3c的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=x-1,直线CE的解析式

为>=-%-3,

•.•以点5、C、E、。为顶点的四边形是平行四边形，

二直线的解析式为y=5x+3,直线D\D2的解析式为y=x+3,直线£>2。3的解析式

为y--x-9,

联立卜=5x+3得5(0,3),

(y=x+3

同理可得。2(-6,-3),£>3(-2,-7),

综上所述，符合条件的点。的坐标为。(0,3),5(-6,-3),力302,-7).

21.解：(1)•・,抛物线y=a/+法+c经过A(-1,0)、C(0,3)、B(2,3),

a-b+c=0

•*-5c=3»

4a+2b+c=3

'a=-l

解得＜b=2，

c=3

所以，抛物线解析式为y=-/+M+3；

(2)设直线A8的解析式为丁="+匕(ZW0),

则jk+b=0,

l2k+b=3

解得，卜口，

\b=l

所以，直线A8的解析式为y=x+l,

设点P的横坐标为x,•；PQ〃y轴，

点。的横坐标为X,

PQ=(-JC2+2X+3)-(x+1),=-/+尤+2,=-(x-—)2+—,

24

•.•点P在线段A8上，

-10W2,

.•.当犬=工时，线段PQ的长度最大，最大值为9；

24

(3)由(1)可知，抛物线对称轴为直线x=l,

①AB是直角边时，若点4为直角顶点，则直线AM的解析式为y=-X-1,

当x=1时，y=-1-1=-2,

此时，点"的坐标为(1,-2),

若点8为直角顶点，则直线BM的解析式为y=-x+5,

当x=l时，y—-1+5=4,

此时，点M的坐标为(1,4),

②AB是斜边时，设点M的坐标为(1,加)，

2222222

则AA?=(-1-J)+w=4+m,BM=(2-1)+(m-3)=1+(〃L3),

由勾股定理得，AM2+BM2=AB2,

所以，4+m+\+(m-3)2=(-1-2)2+(0-3)2,

整理得，，J-3〃?-2=0,

解得/土叵,

2

所以，点M的坐标为(1,3怖.)或(1,圭，立)，

22

综上所述，抛物线的对称轴上存在点M(1,-2)或(1,4)或(1,如叵)或(1,

_2

3-5),使△48M为直角三角形.

2

22.解：(1)①抛物线y=-/+法+5的对称轴为直线乂=——

2X(-1)2

若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴，

则旦=2,解得:b=4,

24

.•.抛物线的解析式为^=-/+4x+5；

②存在，

如图，若点P在x轴上方，点8关于0P对称的点在对称轴上，连接。B'、PB,

则OB'=OB,PB'=PB,

对于y=-『+4x+5,令y=0,贝-7+4x+5=0,

解得：X\=-1,X2=5，

・・・A(-1,0),B(5,0),

；.OB'=OB=5,

=7OB,2-0C2=V25-4=

.•B(2,V21),

设点尸(2,m),

由可得：V2i-m=Vm2+(5_2)2,解得：臣心为，

：.P（2,

7

同理，当点尸在x轴下方时，P（2,-空运）.

7

综上所述，点P（2,2叵）或P（2,-2叵）；

77

（2）•..抛物线＞=-，+云+5的对称轴为直线广——一走

2X（-1）2

...当624时，

♦.•抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，

.•.当0WxW2时,取x=2,y有最大值，

即产-4+26+5=2b+l,

•••3W2H1W15,解得：1W3W7,

又〜沁

；.4W6W7.

23.解：（1）:抛物线y=o?+当+4的对称轴是直线*=3,

2

3

...-^—=3,解得：a--A

2a4

...抛物线的解析式为＞=-lx2+-1r+4

令y=0,贝1Jx=-2或8,

故点A的坐标为（-2,0）,点3的坐标为（8,0）；

（2）当尢=0时，y=4,则点。的坐标为（0,4）；

由点8、C的坐标得，设直线BC的解析式为y=-L+4；

2

假设存在，设点P的坐标为（x,+当+4）,

42

过点P作PQ〃y轴，交直线BC于点。，交x轴于点E,则点。的坐标为（x,-L+4）,

2

如图所示.

VA

PD=-工2+当+4-(-1+4)==-AX2+2X

422