2021年中考数学解答题压轴题每日一题 (五)

2021年中考数学解答题压轴题每日一题

1..如图，抛物线>=工乂2必应X-6与X轴交于4B（点A在点8的左侧）与y轴交于

63

点C,连接AC、BC.过点A作AQ〃BC交抛物线于点£>（8我，10）,点P为线段BC下

方抛物线上的任意一点，过点P作PE//y轴交线段AD于点E.

（1）如图1.当PE+AE最大时，分别取线段AE,AC上动点G,H,使GH=5,若点M为

G”的中点，点N为线段C8上一动点，连接EN、MN,求EN+MN的最小值；

（2）如图2,点尸在线段AO上，且4F：。尸=7：3,连接C凡点Q,R分别是PE与线

段CF,BC的交点，以RQ为边,在R。的右侧作矩形RQTS,其中RS=2,作NACB的角

平分线CK交于点K,将AACK绕点C顺时针旋转75°得到△△'CK',当矩形RQ7S

与△/!'CK'重叠部分（面积不为0）为轴对称图形时，请直接写出点P横坐标的取值范围.

【分析】（1）先通过二次函数解析式求出点A,8的坐标，再求出AC,AB,CB的长度，用

勾股定理逆定理证直角三角形，求出直线A。的解析式，用含相同字母的代数式分别表示E,

Q,。的坐标，并表示出EP长度，求出4E长度，根据二次函数的性质求出EA+EP最大值

时点E的坐标.最后作出点E关于CB的对称点，利用两点之间线段最短可求出结果；

（2）由旋转的性质得到三角形CA'K与三角形CAK全等,且为等腰直角三角形，求出A',

K'的坐标，求出直线4'K'及CB的解析式，求出交点坐标，通过图象观察出尸的横坐

标的取值范围.

【解答】解：（1）在抛物线丫=工2-汉£-6中，

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当y=0时，兑=-2«,m=6«,

当x=0时，y=-6,

•..抛物线-空导”6与x轴交于A,8（点A在点3左侧），与），轴交于点C,

6633

AA(-2。0),B(6«,0),C(0,-6),

；.4B=8近,ACf(26)2+62=W§,BC=7(6V3)2+62=12)

在△ABC中,

AC^+BC2^^,AB2=192,

.,.△ABC是直角三角形，且/AC8=90°,

,JAD//BC,

：.ZCAD=90°,

过点。作OLLx轴于点心

在RtAADZ,中，

DL=\0,AL=l0yf3<

tanZDAL=^-=^/^-,

AL3

AZDAB=30°,

把点A(-2“，0),D(8A/3-10)代入直线解析式，

得「2«k+b=0,

I8V3k+b=10

解得％=返，h=2,

3

.".yAD=^-x+2,

3

设点E的横坐标为“，EPLy轴于点Q,

则EQ,返a+2),Q(a,0),P(a,^cr-组-6),

363

.,@=返。+2,EP=®a+2-(12_区3-6)=」/+后+8,

33636

.•.在Rt/VLEB中，

AE=2EQ=2ea+4,

3

：.PE+AE^^Aa+4+(」/+仿+8)

36

=-Xa2^Ha+12

63

=-A(a-5加)2+堂

62

•••根据函数的性质可知，当。=5b时，PE+4E有最大值，

，此时E(5加，7),

过点E作EFVCB交CB的延长线于点F,

则/EAC=/AC8=NACF=90°,

...四边形ACFE是矩形，

作点E关于CB的对称点E,

在矩形ACFE中，由矩形的性质及平移规律知，

XF-XE=XC-yE-yF=yA-yc，

「A(-2A/3-0),C(0,-6),E(5依，7),

•■•XF-5A/3=0-(-2亚，7-yF=0-(-6),

xp—1yr—1»

：.F(7«,1),

•.•尸是EE'的中点，

.XE+XE/yE+yEz

2=XF，2=yF'

'-XE'=9«,yE'=-5，

：.E(9A/3，-5),

连接交8C于点N,则当GH的中点M在E'4上时，EN+MN有最小值,

■,­AE，=V(llV3)2+52=

M是RtAAGH斜边中点，

：.AM=^GH=^~,

22

:.EN+MN=E'41=2797-1-)

/.EN+MN的最小值是2西-1-

（2）在RtZXARC中,

；tan/ACO=^=返，

AC3

，/AOC=30°,

：KE平分/AC8,

ZACK=ZBCK=45°,

由旋转知，l\CNK'会△CAK,ZACA'=75°,

：.ZOCA'=75°-ZACO=45°,ZAC1K'=45°,

OCK'=90°,

：.K'CJ_y轴，△C4K'是等腰直角三角形，

"C=AC=4b，

.•.研=华^=2加，划，=2后6,

V2

.,.A,（2胡，2胡-6）,

：.K'（4加，-6）,

将A'（2加，2遍-6）,K'（4灰，-6）,代入一次函数解析式,

xH（2j^k+b=2，^-6

4v6k+b=-6

解得k=-1,b=4y[^-6,

，刻，K=-x+4捉-6,

•:CB"M）,

将点C(0,-6),B(6«,0)代入一次函数解析式,

fb=-6

得

|6V3k+b=0

解得k=^3-,b=-6,

3

•'•ycB=^^-x~6,

3_

联立）＞A'K=-x+4捉-6和ycB=&6,

3

得-x+4加-6=^Xx-6,

3

，x=6加-6-721

直线C8与A'K'的交点横坐标是6胡-6J],

•.•当EP经过A'时，点P的横坐标是2五，

①如图2-1,当QR=QS=2时，即必&_=2,

__15

.•.当x=2旦时符合题意；

4

②如图2-2,当x=2捉-1时符合题意;

③如图2-3,图2-4,当PE经过4时，R(2加，2近-6),

而此时4R=2近-2点＞2,设S(x+2,也-6),