2024届新高考数学第一轮复习：单元卷六　数　列(能力提升卷)【学生试卷】

单元卷六数列(能力提升卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.〖2022·吉林长春二模〗已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝15，S5＝65，则a1＋a4＝()A．24 B．26C．28 D．302.〖2021·安徽五校联考〗设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S2,S2＋S4)＝eq\f(1,4)，则eq\f(a2,a2＋a4)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4) C．eq\f(1,2) D．33.〖2021·江西九校联考〗已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且eq\f(an＋1＋λ,3)＝Sn，a3＝12，则实数λ的值为()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4) D．34.〖2022·东北师大附中一模〗已知等差数列{an}中，a1＋a3＋2a8＝4,则2a1·2a2·…·2a9＝()A．32 B．256C．512 D．10245.〖2021·昆明市一模〗在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知数”问题的解法称为“中国剩余定理”.“物不知数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在(1，2021]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{an}，则数列{an}的项数为()A．101 B．100C．99 D．986.〖2021·黑龙江高三模拟〗我们把Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设an＝log2(Fn－1)，n＝1，2，3，…，设数列{an}的前n项和为Sn，则使不等式S1＋S2＋S3＋…＋Sn＞2021－2n成立的正整数n的最小值是()A．8 B．9 C．10 D．167.〖2022·豫北名校联考〗已知数列{an}满足a2n＋1＋a2n＝4n－1，a2n－a2n－1＝4n－3，若数列{an}的前50项和为1273，则a3＝()A．0 B．－1 C．1 D．28.〖2022·太原期末〗意大利数学家斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{bn}，则{bn}的前2021项和为()A．2014 B．2022C．2265 D．2274二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.〖2021·黑龙江哈九中模拟〗等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则正确的是()A．d＜0B．a16＜0C．Sn≤S15D．当且仅当Sn＜0时n≤3210.〖2021·广东高州一中月考〗设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的有()A．数列{Sn＋n}为等比数列B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1C．数列{an＋1}为等比数列D．数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－411.〖2021·山东临沂蒙阴实验中学期末〗若数列{an}满足：对于任意正整数n，{an＋1－an}为单调递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有()A．an＝3nB．an＝n2＋1C．an＝eq\r(n)D．an＝lneq\f(n,n＋1)12.〖2021·广东中山一中月考〗数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，eq\f(2,4)，eq\f(3,4)，eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，eq\f(4,5)，…，eq\f(1,n)，eq\f(2,n)，…，eq\f(n－1,n)，…，以下运算和结论正确的是()A．a24＝eq\f(3,8)B．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列C．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和Tn＝eq\f(n2＋n,4)D．若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝eq\f(5,7)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.〖2021·北京西城区期末〗数列{an}是公差为－2的等差数列，记{an}的前n项和为Sn，且a1，a3，a4成等比数列，则a1＝________；Sn＝________.14.〖2021·湖北黄冈中学模拟〗设数列{an}的前n项和为Sn，写出{an}的一个通项公式an＝________(n∈N*)，满足下面两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列.(写出一个满足条件的数列即可.)15.〖2022·南昌一模〗若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则称数列{an}为“和谐递进数列”.已知数列{an}为“和谐递进数列”，前n项和为Sn，且其前四项成等比数列，a1＝a5＝1，a2＝2，则S2021＝________.16.〖2021·杭州二中期末〗已知等比数列{an}满足an＋an＋1＝eq\f(1,2n)，数列{bn}满足bn＝2an·an＋1(n∈N*)，记Tn是数列{bn}的前n项和，则当Tn≥eq\f(7,48)时，n的最小值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〖2022·合肥市一模〗已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(an,（an＋1）（an＋1＋1）)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜eq\f(1,3).18．〖2021·广东中山一模〗已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝eq\f(9,4)，点(an＋1，Sn)(n∈N*)在直线2x－y－3＝0上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝eq\f(n,an)，{bn}的前n项和为Tn，求Tn.19．〖2022·山东济宁一模〗在①Sn＝2an－3(Sn为{an}的前n项和)；②Sn＝3·2n－3(Sn为{an}的前n项和)；③aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2，a1＝3，a4＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.已知数列{an}满足________(n∈N*)，若bn＝an·log2eq\f(an＋1,3)，求数列{bn}的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20．〖2021·重庆一中月考〗在①3Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝eq\f(1,9)，③2Sn＝1－3an＋1这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________；又正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)证明：ab1＋ab2＋…＋abn<eq\f(3,26).注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分.21．〖2021·天津武清区一模〗已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2，数列{bn}满足2bn＝bn－1＋bn＋1(n∈N*)且a2＝4b1，a3＝b8.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)将{an}和{bn}中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100；(3)设数列{dn}的通项公式为：dn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(an（bn）2,2)，n＝2m－1，,\f(an（bn）2,4)，n＝2m，))m∈N*，求eq\i\su(i＝1,2n,d)i.22．〖2022·广东揭阳摸底〗在①数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n(n∈N*)；②数列{an}是首项为1，公差不为0的正项等差数列，且a2，a4，a8成等