2023-2024学年广西南宁市第三十四中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat18页2023-2024学年广西南宁市第三十四中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为.故选：C2．在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（

）A．取出两球同色 B．取出的两球异色C．取出的两球至少有一个红球 D．取出的两球至少一个白球【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐项判断即可得解.【详解】记事件“取出的两个球都是白球”，事件“取出的两个球是1个白球和1个红球”，事件“取出的两个球都是红球”，可知事件两两互斥，且样本空间，对于选项A：因为“取出两球同色”，即事件“取出两球同色”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故A错误；对于选项B：因为“取出的两球异色”，即事件互斥且不对立，故B正确；对于选项C：因为“取出的两球至少有一个红球”，可知事件A与事件为对立事件，故C错误；对于选项D：因为“取出的两球至少一个白球”，即事件“取出的两球至少一个白球”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故D错误；故选：B.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.4．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（

）A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【分析】由容斥原理即可得解..【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.6．在正四面体中，记，，，为棱的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算即可求解．【详解】因为为棱的中点，所以．

故选：B．7．函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.8．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.二、多选题9．已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD10．设函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点为 D．在上单调递减【答案】ABC【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于A项，函数的周期为，，当时，周期，故A项正确；对于B项，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B项正确；对于C项，，，所以的一个零点为，故C项正确；对于D项，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D项错误.故选：ABC.11．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.12．在空间中，有直线的方向向量和平面的法向量，则（

）A．若∥，则B．当时，平面平行于空间坐标轴轴C．当时，D．若，则【答案】CD【分析】对于A、B、D：根据空间向量与线面关系逐项分析判断；对于C：根据空间向量的模长公式运算求解.【详解】对于选项A：因为，可知与不垂直，所以不存在实数，使得∥，故A错误；对于选项B：当时，则，因为轴的方向向量可以为，则，可得，所以平面平行于空间坐标轴轴或平面包含空间坐标轴轴，故B错误；对于选项C：当时，则，可得，故C正确；对于选项D：若，则∥，可知存在实数，使得，即，则，解得，故D正确；故选：CD.三、填空题13．已知点为中点，则．【答案】【分析】先求得点的坐标，然后求得，【详解】由于是中点，所以，所以.故答案为：14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为【答案】A【详解】试题分析：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A【解析】进行简单的合情推理15．若向量和向量都是某直线的方向向量，则.【答案】【分析】由题意两向量共线，根据向量共线的坐标运算列式求解即可.【详解】向量和向量都是某直线的方向向量，所以向量与向量共线，所以，解得.故答案为：.16．如图，在面内有线段和，且面，，则之间的距离为．

【答案】【分析】连接，求得，再由面，得到，在直角中，利用勾股定理，即可求解.【详解】如图所示，连接，因为，且和，可得，又因为面，且面，所以，在直角中，由，，所以，即和之间的距离为.故答案为：.

四、解答题17．已知直线和点．(1)求过点且与直线平行的直线方程；(2)求过点且与直线垂直的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设所求直线方程为，代入点，求得，即可求解；（2）设所求直线方程为，代入点，求得，即可求解；【详解】（1）解：设与直线平行的直线方程为（其中），又由所求直线过点，可得，解得，所以所求直线方程为.（2）解：设与直线垂直的直线方程为，将点代入方程，可得，解得，所以所求直线的方程为.18．已知直线和点(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求直线关于点对称的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；（2）根据相关点法分析运算即可.【详解】（1）设，由题意可得，解得，所以点的坐标为.（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，则，解得，由于在直线上，则，即，故直线关于点的对称直线的方程为.19．为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调查，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：）得下表：32184123710经统计，浓度在内的频率为；浓度在内的频率0.26．(1)求统计表中的值；(2)估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据频率求频数，再结合表格数据，即可求解；（2）首先找到满足条件的天数，再根据古典概型概率公式，即可求解.【详解】（1）由题意可知，浓度在内的频数为，浓度在内的频数为，则，，解得：，（2）由表可知，该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为天，因此，该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率为.20．有甲､乙两名同学投篮比赛，两人的投篮互不影响，甲投进的概率为，乙投进的概率为．(1)甲投篮三次，求全都投进的概率；(2)甲､乙各投篮两次，以投进的个数多者为胜，求乙获胜的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用独立重复试验概率公式运算即可得解.（2）利用独立重复试验概率公式、互斥事件和相互独立事件概率公式、概率基本性质运算即可得解.【详解】（1）解：甲投篮三次，全都投进的概率为.（2）解：由题意，甲､乙各投篮两次，以投进的个数多者为胜，设“乙投篮两次，投进2球”为事件，则；“乙投篮两次，投进1球”为事件，则；“甲投篮两次，投进1球”为事件，则；“甲投篮两次，投进0球”为事件，则；则乙获胜的情形为：事件，由概率公式及基本性质得其概率为：.所以，乙获胜的概率为.21．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.22．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等体