基于离散微分的城市排涝体系数学模型研究

基于离散微分的城市排涝体系数学模型研究

城市是一个地区政治、经济、文化和科学教育的中心，也是一个人口密集的地方。这一衰退对区域经济发展产生了重大影响。然而，中国大部分城市靠近河流和海洋，受洪水和风暴的威胁，洪水淹没了城市，中断了公共交通，给人民的生命财产带来了巨大损失。随着社会经济的发展和生产力的提高，社会财富和人口不断集中在城市。如果城市发生洪水，可能会造成巨大的生命和财产损失远远超过非城市地区。另一方面，中国许多城市水资源严重不足，人均水资源占人均水资源的比例低于世界公认的10003m。过度开采地下水导致地下水位下降，土壤下沉，形成地下水位不足的区域。因此，传统的雨水消除思想受到了质疑。鉴于城市的重要地位及我国城市水资源短缺的特点,迫切需要提出现代城市蓄、滞、排相结合的排涝体系,有效地解决城市水多、水少的问题,为城市现代化建设的顺利进行提供保障.1城市雨水利用技术的应用城市排涝是指排除城市暴雨径流,保障人民生产、生活正常进行的措施.城市排涝可以利用排水区内的湖泊、洼地、河道、沟渠、坑塘等容积临时调蓄涝水,减小排涝压力.根据我国城市发展现状及特点,蓄、滞、排相结合的城市排涝体系主要由两部分构成:一是城市排水,二是结合城市低洼地、次要区域及城市内湖泊、草地等雨水利用工程建设,实现在减少城市涝灾的同时,增加城市洪水资源的蓄水空间.城市排水主要是城市各小区排水管网建设,是排放城市小面积上的暴雨积水.城市排水的任务就是及时地汇集并排除暴雨形成的地面径流,防止城市居住区与工业企业受淹,以保障城市人民的生命安全和生活生产的正常秩序.城市排水常采用暴雨强度公式和雨水流量公式推求雨水设计流量.城市雨水利用,是指通过工程性和非工程性措施,分散实施,就地拦蓄、储存和利用城市雨水,避减洪涝灾害,增添城市供水,改善水生态,营造一个亲水、爱水、节水、用水的城市环境.城区雨水利用的一个重要途径是使用各种人工设施强化雨水渗透,使更多雨水渗入地下以涵养地下水,同时调节气候,改善城市生态环境,减少接纳水体下游洪峰流量和洪涝威胁.中水利用是雨水利用的另一种形式.中水利用主要指利用水质相对较好且易于收集的屋面雨水,处理后作为绿化、喷洒道路等杂用水的补充水源.通过对雨水水量、水质分析,可计算出屋面雨水年平均可利用雨量.2动态规划法在生态系统优化中的应用工程规模与投资及工程规模与排涝能力之间的关系比较复杂,很难用线性关系来描述,而且系统状态变量与决策变量是连续变化的,所以选用动态规划法进行排涝系统的最优化管理有其独特的优势.2.1除涝系统各工程决策序列用动态规划解决多阶段决策过程问题,不论问题是随机性的还是确定性的,都要将整个问题划分成首尾相连的阶段序列,或把问题分解为一系列的子问题.在城市排涝中,尽管各项除涝措施的性质和作用方式不同,但在承担除涝任务上,它们是一个整体,各自相对独立地排蓄一部分设计径流量.各项工程的排蓄水量和系统的总除涝水量之间的关系以及分项投资与系统总投资之间的关系可表示为W=Ν∑n=1xn,F(C1,C2,C3,⋯,CΝ)=Ν∑n=1fn(Cn)W=∑n=1Nxn,F(C1,C2,C3,⋯,CN)=∑n=1Nfn(Cn)除涝系统各工程决策序列过程见图1.2.2各阶段决策变量以阶段1到阶段n的累计排蓄水量作为阶段n的状态,记为Sn.以各阶段的工程规模为决策变量,记为dn.各阶段决策的单位不同,绿地以绿地面积率表示;湖泊和河网均以水面率表示;抽排站以设计流量表示等.2.3第1阶段dn根据各阶段状态与决策之间的关系建立系统方程:Sn=Sn-1+xn(dn);n=1,2,3,…,N式中:Sn为第n阶段状态,即1～n阶段累计排蓄水量;dn为第n阶段决策,即第n阶段工程规模;xn为第n阶段的排蓄水量,为dn的函数,函数关系随工程类型而定.2.4系统总投资ln以系统总投资最小为优化准则,其表达式为minF=Ν∑n=1C(Sn,dn)minF=∑n=1NC(Sn,dn)式中:n为阶段序号,n=1,2,3,…,N;F为系统总投资;C(Sn,dn)为第n阶段投资.2.5设计宏观约束(1)水量平衡方程:Ν∑n=1xn(dn)=W‚W∑n=1Nxn(dn)=W‚W为排水区设计暴雨径流量.(2)决策约束(工程尺寸约束):Dln≤dn≤Dmn,n=1,2,3,…,N.Dmn、Dln分别为第n阶段工程规模的上限值和下限值,为已知参数.(3)状态约束:Sn≥0,n=1,2,3,…,N.2.6边境条件S0=0,SN≥W即始端各项工程尚未起作用时,累计排蓄水量为0;终端累计排蓄水量应大于等于设计暴雨径流量.2.7局部优化策略尽管城市排涝模型是一维DP问题,但其状态变量与决策变量都是连续的,而且可行域较大,若采用DP法求解,由离散化所形成的状态点数很多,计算机存贮量和计算量都太大.而离散微分动态规划法(DDDP法)不要求在整个可行域内择优,每次迭代只在试验轨迹的某个邻域内对少量状态点择优,通过迭代逐次逼近最优轨迹.因此,本模型求解采用DDDP法,以节省计算量.根据上述数学模型,采用顺序递推,其递推方程为{f*n(Sn)=mindn{C(Sn,dn)+f*n-1(Sn-1)}f*0(S0)=0⎧⎩⎨f∗n(Sn)=mindn{C(Sn,dn)+f∗n−1(Sn−1)}f∗0(S0)=0n=1,2,3,...,N式中:f*n(Sn)为1～n阶段的最小总投资.根据动态规划的最优化原理:一个过程的最优策略具有这样的性质,即不论初始状态和初始决策如何,对于初始决策所构成的下一个状态来说,其余留的所有决策必须构成一个最优策略”.因此动态规划具有局部优,就是整体优的最优化性质.城市排涝问题不一定是凸规划问题,因此需要从不同的初始策略开始寻求最优策略.3使用示例基于上述城市排涝原理和研究方法,以沈阳市为例进行城市排涝体系优化规划研究.3.1大气降水分析沈阳市位于辽宁省中北部,东西宽115km,南北长205km,总面积12980km2.地貌以平原为主,地势由东北向西南缓缓倾斜.沈阳大气降雨属两个降水区:一是西部以辽河包括饶阳河一部分和蒲河中、下游为一个区域,降水量由南部的625mm向西北减少至525mm;二是以浑河流域为中心,包括北沙河、蒲河上游段和东部丘陵平原过渡地带,降水量由西部620mm向东增至680mm.3.2排水、排水体制沈阳境内有浑河、细河、蒲河等自然河流和新开河、南运河、卫工河等人工明渠,其中浑河是主干河流.无论是天然河流还是人工明渠,非农灌季节都流入浑河,灌溉季节,部分城市雨水污水进入灌区.沈阳市城区排水管渠始建于1903年,经过多年的延续和改建,如今基本形成三大雨水排水系统,排水面积达186.97km2.到1993年底管网长度1691km,管网密度9.14km/km2,管网普及率为88.4%.建成污、雨泵站(含立交桥泵站)31座.排水体制大部分为合流制或截流式合流制,部分为分流制.3.3原管渠的状况沈阳市城市排涝总体上滞后于城市化进程的发展.主要表现在:部分排水管渠设施老化,很难正常发挥作用,据统计排水管道使用年限超过30a以上的有288.23km,有些日伪时期修建的排水设施现在还在使用;原管渠设计标准低,断面偏小;排水管网不完善,系统不配套;泵站机排能力不足,设备陈旧;汛期降雨以排为主,未充分考虑雨水蓄滞,使得旱季城市水资源短缺,雨季城市排水负担加重.3.4排水分区及其计量根据沈阳市城市排涝现存问题及城市未来发展要求,对沈阳市城市排涝进行优化规划研究.沈阳市现有3个排水分区,各个排水分区的排涝规划方法相同,因此仅以沈阳市南部排水分区为例进行优化规划.南部排水分区包括和平区、沈河区、大东区南部、东陵区部分地区及铁西区兴华大街以东部分.排水面积为74.09km2.3.4.1排水系统投资及评估沈阳市排水标准为0.7a一遇.拟定沈阳市城市排涝标准为0.5h降雨1h排完,泵站开机时间为1h.除涝排水设施调蓄水量的函数关系如下:屋面调蓄水量x1=ΨqβAtd1;绿地调蓄水量x2=H2Ad2;湖泊调蓄水量x3=H3Ad3;河网调蓄水量x4=H4Ad4;泵站抽排水量x5=0.36Tpd5式中:屋面面积率d1=屋面面积/总排水面积,以小数计;绿地面积率d2=绿地面积/总排水面积,以小数计;湖泊水面率d3=湖泊水面面积/总排水面积,以小数计;河网水面率d4=河网水面面积/总排水面积,以小数计;d5为泵站设计流量,m3/s;A为总排水面积,km2;H2为绿地滞蓄水深,m,通常取0.3m;H3为湖泊滞蓄水深,m,通常取0.5m;H4为河网滞蓄水深,m,通常取0.8m;Tp为在总排涝历时中,泵站的开机时间,h;Ψ为屋面径流系数,取0.9;q为降雨强度,L/(s·hm2);β为降雨截流系数,取0.8;t为降雨历时,h.南部排水分区规划的排水设施序列过程及蓄滞水量、工程投资如表1所示.则系统的总投资(万元)为F=1370665d1+223751.8d2+666810d3+666810d4+7d5雨水设计流量Q=φAq,式中φ=0.6,q为暴雨强度,查《排水工程》得沈阳市的暴雨强度公式为q=1825(1+0.774lgp)(t1+2t2+8)0.724q=1825(1+0.774lgp)(t1+2t2+8)0.724式中:p=0.7,根据《室外排水设计规范》的规定及沈阳市现状取t1=10min;t2=20min,则q=84.93L/(s·hm2),将φ、q代入雨水设计流量公式得Q=0.6×84.93×74.09×0.1=377.55m3/s.总水量W=Qt=67.96×104m3,即81.55d1+2222.7d2+3704.5d3+5927.2d4+0.36d5=67.96.根据沈阳市城市规划的要求,城市绿地面积建设不超过城市规划面积的30%,湖泊面积不超过城市规划面积的10%,河网面积不超过城市规划面积的10%.由以上分析计算,建立沈阳市城市排涝模型为系统方程:Sn=Sn-1+xn(dn),n=1,2,3,4,5目标函数:minF=1370665d1+223751.8d2+666810d3+666810d4+7d5约束条件:81.55d1+2222.7d2+3704.5d3+5927.2d4+0.36d5=67.96d2≤0.3d3≤0.1d4≤0.1d1,d2,d3,d4,d5≥03.4.2状态域的生成及优化计算用DDDP法求解数学模型时,先给定迭代计算的精度要求,包括:允许减小增量的精度要求ε1=2%;迭代收敛的精度要求ε2=2%;第k次迭代采用的增量不大于初始增量的1/10.然后按下列步骤进行计算:(1)假设初始决策为d1=0.2%,d2=0.2%,d3=0.08%,d4=0.02%,d5=164.452,即{d0(n)}={0.002,0.002,0.0008,0.0002,164.452},则初始状态为{s0(n)}={0.1631,4.6085,7.5721,8.75754,67.96},相应的除涝工程投资为F0=5006.81万元,如表2所示.(2)假设初始增量为{Δs(n)},除始端、终端状态为固定值外,其他各阶段状态变量都离散成3个值.即假设3个增量Δsj(n)分别取0.50,0,-0.50,分别记为Δs1(n)、Δs2(n)、Δs3(n).将初始轨迹的状态变量s(n)加上Δsj(n),构成阶段n的3个状态点,这便是阶段n的状态子域C(n).各阶段状态子域所形成的总体即第一次迭代的状态域——廊道C,如表3所示.(3)第一次迭代.针对廊道内的状态点,用DP进行一次最优化计算.n=5,4,1时各阶段择优计算见表4～6.n=3,n=2时择优计算过程与n=4时相同,不再列出.由表6得出系统最小总投资为F1=2161.95万元.由给定的初始状态s(0)开始反演,求得第一次迭代的最优轨迹和最优策略及最优工程投资如表7所示.(4)以第一次迭代的改善轨迹{s1(n)}*作为第二次迭代的试验轨迹.即{s2(n)}={s1(n)}*={0,5.1085,7.0721,8.25754,67.96}.并对迭代前后的目标函数值进行比较,看其是否满足减小增量的条件,即相对误差是否小于等于ε1.|F1-F0|F0=|2161.95-5006.81|5006.81=56.81%＞2%ε1.|F1−F0|F0=|2161.95−5006.81|5006.81=56.81%＞2%,故不减小增量.(5)第二次迭代.首先在{s2(n)}周围,按原增量建立新的廊道,方法与第一次迭代相同.针对新廊道中各阶段状态点,仍用DP法进行第二次优化计算.该次迭代结束,求得一个新的改善轨迹{s2(n)}*、改善策略{d2(n)}*和相应的最优目标函数值F2,并对迭代前后的目标函数值进行比较,若不满足减小增量的条件,则在原增量条件下继续进行迭代;当满足减小增量条件时,增量以原增量的1/2倍关系递减建立新的廊道,进行迭代优化计算.当再次满足减小增量条件时,再次减小增量,当第k次迭代的增量{Δsk(n)}≤0.1{Δs1(n)}时,结束迭代计算.通过Matlab编制离散微分动态规划程序,经迭代计算后得出最优轨迹和最优策略如表8所示.(6)由于本问题不一定是凸规划问题,需从不同的初始策略开始寻求最优策略.计算结果见表9.3.4.3建立蓄滞雨水洪、蓄滞能力从表9可知,当d1取0,d2取0.001430,d3取0.000028,d4取0.0004,d5取173.08时,满足城市排涝要求,