新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质一素养作业新人教A版必修第一册

第四章4.44.4.2第1课时A组·基础自测一、选择题1．函数f(x)＝的定义域为(D)A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)C．(1,2) D．(1,2][解析]要使y＝有意义，则即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1≤1，))解得1<x≤2，故定义域为(1,2]，故选D.2．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是(D)A．R B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．[0,1][解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.3．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln2，则a，b，c的大小关系是(A)A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln2<lne＝1，∴a，b，c的大小关系为a>b>c.4．已知函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(B)A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[解析]函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减，所以[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝eq\f(1,2).故选B.5．(多选题)函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(ABC)A．f(x2)＝2f(x)B．f(2x)＝f(x)＋f(2)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))＝f(x)－f(2)D．f(2x)＝2f(x)[解析]因为函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以f(x)＝logax(a>0且a≠1)．所以f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，f(2x)＝loga2x＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))＝logaeq\f(1,2)x＝logax－loga2＝f(x)－f(2)．所以选项A、B、C正确．二、填空题6．比较大小：(1)log22_>_log2eq\r(3)；(2)log8π_<_logπ8.[解析](1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>eq\r(3)，所以log22>log2eq\r(3).(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π<8，所以log8π<log88＝1.同理1＝logππ<logπ8，所以log8π<logπ8.7．若函数y＝4＋loga(2x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为_(1,4)_.[解析]令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点(1,4)．8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx<1,log2xx≥1))，则f(8)＝_3_，若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_{0}∪[2，＋∞)_.[解析]当x＝8时，f(8)＝log28＝3；作出函数f(x)的图象，如图所示，若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，由图象可知，当m≥2或m＝0时满足条件．三、解答题9．已知函数f(x)＝lg|x|.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)画出函数f(x)的图象．[解析](1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴函数f(x)是偶函数．(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lgx(x>0)的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lgx(x>0)的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．10．求下列函数的反函数．(1)y＝10x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))x；(3)y＝；(4)y＝log7x.[解析](1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lgx(x>0)．(2)指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))x，它的底数是eq\f(4,5)，它的反函数是对数函数y＝(x>0)．(3)对数函数y＝，它的底数是eq\f(1,3)，它的反函数是指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.B组·能力提升一、选择题1．已知a>0，且a≠1，若函数y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C．(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞)[解析]当a∈(0,1)时，由y＝loga(3a－1)恒为正值可得0＜3a－1＜1，解得eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3)；当a＞1时，由y＝loga(3a－1)恒为正值可得3a－1＞1，解得a＞eq\f(2,3)，又因为a＞1，所以a＞1.综上，a的取值范围是eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3)或a＞1.2．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(C)A．0<k<1 B．0≤k<1C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1[解析]令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.3．(多选题)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(ABC)A．k<0,0<b<1B．k>0，b>1C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))g(1)>0(x>0)D．x>1时，f(x)－g(x)>0[解析]由直线方程可知，k>0,0<b<1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x>1时，g(x)<0，f(x)>0，所以f(x)－g(x)>0，所以D正确．二、填空题4．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b的取值范围分别为_(0,1)_，_[1，＋∞)_.[解析]依题意函数必须是减函数，且y＝logax的图象至少向左平移1个单位长度，故0<a<1，b≥1.5．设函数y＝ax的反函数为f(x)，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是_f(a＋1)>f(2)_.[解析]因为y＝ax的反函数为f(x)，所以f(x)＝logax.当a>1时，a＋1>2，f(x)＝logax是单调递增函数，则f(a＋1)>f(2)；当0<a<1时，a＋1<2，f(x)＝logax是单调递减函数，则f(a＋1)>f(2)．综上f(a＋1)>f(2)．三、解答题6．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．[解析](1)由题意知g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝.(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1>0，,－x＋5>0，,3x－1<－x＋5，))解得eq\f(1,3)<x<eq\f(3,2)，即x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).C组·创新拓展若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”．给出下列四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则是“同形函数”的是(A)A．f2(x