2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形

2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形

L(1)问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD,点E在AD上，点F在

BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形c'D'EF,c'F交AD于点H,小华认为4EFH

是等腰三角形，你认为小华的判断符合题意吗？请说明理由.

(2)问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点c'落在AD上时，已知DE=a,

CD=b,CF=c，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论.

(3)问题应用：如图③，在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=4.将平行四边形ABCD沿对角线AC

翻折得到4ACE,AE交BC于点F.若点F为BC的中点，则平行四边形ABCD的面积为.

图①图②图③

2.(1)(探究证明)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行

探究，提出下列问题，请你给出证明：

如图①，在矩形ABCD中，EF1GH,EF分别交AD、BC于点E、F,GH分别交AB、DC于

EF_AB,

点G、H求证:

GH一AD'

(2)(结论应用)如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=2,BC=3.求

折痕EF的长；

(3)(拓展运用)如图③，将矩形ABCD沿EF折叠.使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点

P处，得到四边形EFPG,若AB=2,BC=3,EF=亚，请求BP的长.

3

图①图②图③

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=5,M为AB的中点，点P是BC边上一点(不与B,C重合)，

连接MP,PF1MP交CD于点F.点B,关于MP对称，点C,C'关于PF对称，连接

B'C.

DD

(1)求证：△PFCs/^MPB.

(2)①当BP=2时，B'C'=;

②求B'C的最小值.

(3)是否存在点P,使点B，，C'重合？若存在，请求出此时M,F的距离；若不存在，请说明理

由.

4.如图，在AABC中，ZC=90°,且BC,AC,AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M,N(点M

在BN之间)，使BM=3AN.点D,E分别是边AC,BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速

运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N.记QN=x,PD=y,当Q为AB中点

时，y=2.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)①连结PQ,当PQ所在直线与aABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过

点P作PH_LAB于点H,当△PQH为等腰三角形时，求x的值.

5.如图1,在AABC中，BD为/ABC的平分线，点D在AC上.

(2)如图2,已知AE为BC边的中线，且AE=BE.在射线BD上取一点A，使AE=AE,AE交AC于点

F,过点A，作AB的垂线，交BA的延长线于点G,连接EG交BD于点H,连接CH.

①求证：四边形AGA'F为矩形；

②若tanC=：,△BGH的面积为S,请求出aCEH的面积(用含S的代数式表示).

6.AABC为等边三角形，AB=8,ADIBC于点D,点E为线段AD上一点，AE=2内以AE为边作等边

三角形AEF,连接CE,N为CE的中点.

(1)如图1,当点E和点F在直线AC两侧时，EF与AC交于点M,连接MN,

①求证：ME=MF;

②求线段MN的长；

(2)将图1中的aAEF绕点A逆时针旋转，旋转角为a,点M为线段EF的中点，连接BE,MN,DM,

①如图2,当a=90°时，请直接写出器的值；

DC.

②连接BN,在AAEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出tan/DAN的值.

7.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点(不与B、C重合)，点N在边CD延长线上，且

满足NMAN=90°,联结MN,AC,MN与边AD交于点E.

c__。一v

(1)求证：AM=AN

(2)如果/CAD=2/NAD,求证：AM2=V2AB-AE；

(3)MN交AC点O，若要=k,则黑=(直接写答案、用含k的代数式表示).

8.综合与探究

问题情境

在RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC，点D是射线BC上一动点，连接AD,将线段AD绕点

A逆时针旋转90°至AE，连接DE,CE.

(1)探究发现

如图1,BD=CE,BD1CE，请证明；探究猜想；

(2)如图2,当BD=2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；

(3)探究拓广

当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD,DC,AD之间的数量关系.

9.综合与实践.

问题情境：

综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动.

实践操作：

如图1,将等腰RtaAEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中/AEF=90,EA=EF,连

接CF，点H为CF的中点，连接HD,HE,DE，得到ADHE.

(1)应用探究：

勤奋组：

如图2,当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断aDHE的形状，并说明理由；

(2)善思组：

如图3,当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；

深入探究：

(3)创新小组:

发现若连接BE,在旋转RtZXAEF的过程中，解为定值，请你直接写出其值_______.

10.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE1AC于点E,DE的延长线交AB于点F,过点B作BG〃DF

交DC于点G,交AC于点M.过点G作GNLDF于点N.

(1)求证：四边形NEMG为矩形；

(2)若AB=26,GN=8,sin/CAB=5，求线段AC的长.

11.已知：正方形ABCD的边长为4,E是边CB上的一个动点，过点D作DF1DE,交BA的延长线于点F,

EF交对角线AC于点M,DE交AC于点N.

(1)求证：CE=AF;

(2)求证：FM=EM;

(3)随着点E在边CB上的运动，NA-MC的值是否变化？若不变，请求出NA-MC的值；若变化，请说明

理由.

12.如图，在折纸游戏中，正方形ABCD沿着BE,BF将BC,AB翻折，使A,C两点恰好落在点P.

(1)求证：ZEBF=45°.

(2)如图，过点P作MN//BC,交BF于点Q.

①若BM=5,且MPPN=10,求正方形折纸的面积.

②若QP=：BC,求黑的值.

13.如图

(1)证明推断：如图(1),在正方形ABCD中，点E,Q分别在边BC,AB上，DQLAE于点O,点G,F

分别在边CD,AB上,GF1AE.求证：AE=FG;

(2)类比探究：如图(2),在矩形ABCD中，器=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边

上的点E处，得到四边形FEPGEP交CD于点H,连接AE交GF于点。.试探究GF与AE之间的数量关系，并说

明理由；

(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,当时k=[,若tanNCGP=g,GF=2V5,求CP的长.

14.点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作RtZ\ECF,其中/ECF=90°,

过点F作FG1BC,交BC的延长线于点G,连接DF,交CG于点H.

(1)发现：如图1,若AB=AD,CE=CF,猜想线段DH与HF的数量关系是________;

(2)探究：如图2,若AB=nAD,CF=nCE,贝I](1)中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由.

(3)拓展：在(2)的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD=3,AB=4,则直接写出线段EF的

长.

15.如图，过正方形ABCD的顶点A作APIAQ,将NPAQ绕点A旋转，AP交射线CB交于点E,AQ交射线CD

交于点F,连接EF,M为EF的中点，连接BM.

(1)求证：AE=AF;

(2)写出CF与BM的数量关系，并说明理由;

(3)若BC=4,BE=2,直接写出BM的长.

16.在矩形ABCD中，AB=2BC,点E是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE=2CF,连

接EF交AC于点G.

(1)tan/CAB=

(2)如图1,当点E在AB上,点F在线段BC的延长线上时,

①求证：EG=FG;

②求证：CG=^BE；

4

(3)如图2,当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H,

①EG=FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论：

②当CF=1,BF=2时，请直接写出GH的长.

17.

(1)证明推断：如图(1),在正方形ABCD中，点E,Q分别在边BC,AB上，DQJ.AE于点0,点G,F分

别在边CD,AB±,GF1AE.求证：FG=AE;

图(1)

(2)类比探究：如图(2),在矩形ABCD中，言=|将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处,

得到四边形EFGP,EP交CD于点H,连接AE交GF于点0.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

BEC

图(2)

(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,若需=GF=2V10,求CP的长.

Dr4

18.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容.

已知：如图①，在内△ABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证：CD=|AB.

M

图①图②

(1)请写出完整的证明过程.

(2)结论应用：如图②，BE、CF是锐角AABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的

位置关系，并证明你的结论.

(3)在(2)的条件下，若EF=6,BC=24,则MN的长为.

19.如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点.连接GC并延长至F,使CF=GC,以DC、CF为邻边

作。DCFE,连接CE.

(1)若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论.

(2)在(1)条件下，连接DF,若BC=V5,求DF的长.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0人8(2是矩形，点8的坐标是(8,6),点M为0A边上的一动点(不

与点0、A重合)，连接CM,过点M作直线1_LCM,交AB于点D,在直线1上取一点E(点E在点M右侧)，

使得器=9,过点E作EF〃AO,交B0于点F,连接BE,设0M=m(0<m<8).

(1)填空：点E的坐标为(用含m的代数式表示)；

(2)判断线段EF的长度是否随点M的位置的变化而变化？并说明理由；

(3)①当m为何值时，四边形BCME的面积最小，请求出最小值；

②在x轴正半轴上存在点G,使得AGEF是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点G的坐标(用含m的代

数式表示).

21.已知等腰RtZXABC和等腰RtZXAEF中，/ACB=/AFE=90°,AC=BC,AF=EF,连接

BE,点Q为线段BE的中点.

(1)如图1,当点E在线段AC上，点F在线段AB上时，连接CQ,若AC=8,EF=2a，求线

段CQ的长度.

(2)如图2,B、A、E三点不在同一条直线上，连接CE,且点F正好落在线段CE上时，连接CQ、

FQ,求证：CQ=FQ.

(3)如图3,AC=8,AE=4&，以BE为斜边，在BE的右侧作等腰RtABEP,在边CB上取一

点M,使得MB=2,连接PM、PQ,当PM的长最大时，请直接写出此时PQ?的值.

22.请完成下面的几何探究过程:

(1)观察填空：如图1,在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,点D为斜边AB上一动点(不与点

A,B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,连DE,BE,贝I]

①NCBE的度数为;

②当BE=时，四边形CDBE为正方形.

(2)探究证明：如图2,在RtZiABC中，ZC=90°,BC=2AC=4,点D为斜边AB上一动点(不与点

A,B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE,连DE,BE贝I]：

①在点D的运动过程中，请判断NCBE与/A的大小关系，并证明；

②当CDLAB时，求证：四边形CDBE为矩形

(3)拓展延伸：如图2,在点D的运动过程中，若4BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长.

23.探索与应用：如图

图3

(1)问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD(AD>AB)中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B

落在AD上的点B'处，折线AE交BC于点E,连接BE.求证：四边形ABEB,是菱形.

(2)规律探索：如图2,在平行四边形纸片ABCD(AD>AB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B

恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A'处，得到折痕FP,那么APEQ是等腰三角形吗？请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,在矩形纸片ABCD(AD>AB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP,

点B落在纸片ABCD内部点B'处，点A落在纸片ABCD外部点A'处，A'B,与AD交于点M,且A'M

=B'M.已知：AB=4,AF=2,求BP的长.

24.定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差

倍角三角形”.例如，在AABC中，ZA=100°,ZB=60°,ZC=20°,满足NA—NB=2/C,所以

△ABC是关于NC的“差倍角三角形”.

A

Bi

BD

图1图2

(1)若等腰AABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角/A的度数;

(2)如图1,AABC中，AB=3,AC=8,BC=9,小明发现这个AABC是关于/C的“差倍角三角形”.

他的证明方法如下：

证明：在BC上取点D,使得BD=1,连结AD,(请你完成接下去的证明)

(3)如图2,五边形ABCDE内接于圆，连结AC,AD与BE相交于点F,G,AB=BC=DE,AABE是关于/AEB

的“差倍角三角形”.

①求证：四边形CDEF是平行四边形；

②若BF=1,设AB=x,y=s,D\求y关于x的函数关系式.

△AEG

25.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直

角坐标系，已知OA=8,OC=10,将矩形OABC绕点。逆时针方向旋转a(0<a<180°)得到矩形

ODEF.

(1)当点E恰好落在y轴上时，如图1,求点E的坐标.

(2)连接AC,当点D恰好落在对角线AC上时，如图2,连接EC,EO,

①求证：△ECD@AODC;

②求点E的坐标.

(3)在旋转过程中，点M是直线OD与直线BC的交点，点N是直线EF与直线BC的交点，若BM=

|BN,请直接写出点N的坐标.

26.如图1,在RtZ^ABC中，/ABC=90°,D,E分别为边BC,AC上的点，连接DE,过D作DF

_LDE交AC边于点F(F不与点C重合)，点G为射线DF上一点，连接EG,使/BAC=/DEG=a.

B

B

D

A~CA

图1G图2G

(1)连接CG,求证：△DEFs^CGF;

(2)当a=45°时，请探究AE,BD与CG三者满足的数量关系，并证明；

(3)如图2,点M,N分别为EG和AC的中点，连接MN.若tana=2,BD=|CD,AC=10,请直

接写出MN的最小值.

27.如图

图1图2图3

(1)问题发现

如图1,RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4.CD_LAB于点D,则CD的长为;

(2)问题探究

如图2,矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M、N分别在BD,BC±,求CM+MN的最小值；

(3)问题解决

有一度假山庄，它的平面图为矩形ABCD,现在山庄管理人员想在山庄内找到一点G(点G不在AB、

BC、AD±)与CD共同构成一个三角形的绿化区，并且度假山庄大门E到点G的距离与到拐角B的距

离相等，如图3,经过测量得知AB=30m,BC=40m,BE=10m,请问绿化区AGCD的面积是否存

在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

28.如图，平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标是(3,3百).

点E从点A出发，沿A。向点。运动，速度为每秒旧个单位长度，同时点F从点A出发，沿AB向点B

运动，速度为每秒1个单位长度，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动.将4AEF沿直线EF折叠，

点A的对应点为G点，设运动时间为t秒.

(1)当点G落在线段OB上时，t=;当点G落在线段CB上时，t=;

(2)在整个运动过程中，求4EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数表达式，并写出t的取值范

围；

(3)当点G落在线段BC上时，是否在x轴上存在点N,直线EF上存在点M,使以M、N、F、G为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

29.正方形ABCD的边长是5,点M是直线AD上一点，连接BM,将线段BM绕点M逆时针旋转90°

得到线段ME,在直线AB上取点F,使AF=AM,且点F与点E在AD同侧，连接EF,DF.

(1)如图1,当点M在DA延长线上时，求证：△ADF/^ABM;

(2)如图2,当点M在线段AD上时，四边形DFEM是否还是平行四边形，说明理由；

(3)在(2)的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形DFEM的面积最大？并求出这

个面积的最大值.

30.如图1,正方形ABCD的边长为5,点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP1AE于点P,将^APB

绕点A逆时针旋转90°得^AP'D,延长BP交p'D于点F,连结CP.

(1)判断四边形的AP'FP的形状，并说明理由；

(2)若DF=1,求SACPB；

(3)如图2,若点E恰好为CD的中点时，请判断CP与DF的数量关系，请说明理由.

31.已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A(1,O),点C(0,2),点0(0,0),把矩形OABC绕点。顺时针旋转

135°,得到矩形ODEF,点A,B,C的对应点分别为D,E,F.DE交y轴于点M.

图①图②

(1)如图①，求/FOM的大小及OM的长；

(2)将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形o'D'E'F',点O,D,E,F的对应点分别为

O',D'，E’，F’，设00'=t(0<t<2)-

①如图②，直线D'E1与X轴交于点N,若CN〃BO,求t的值；

②若矩形O'D'E'F'与矩形OABC重叠部分面积为S,当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S,

并写出t的取值范围(直接写出答案即可).

32.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2百)，将矩

形OABC绕点A顺时针旋转a,得到矩形OiABig,点O,B,C的对应点分别为01,Bi，g.

(2)如图②，当点5落在对角线OB上时，连接BCi，四边形OACiB是何特殊的四边形？并说明理由；

(3)连接BCi，当BJ取得最小值和最大值时，分别求出点BI的坐标(直接写出结果即可).

33.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(9,0)、B(9,12),点M、N分别是线段OB、AB上的动点，

速度分别是每秒|个单位、2个单位，作MH1OA于H.现点M、N分别从点。、A同时出发，当其中一点

到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t>0).

(1)是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

(2)是否存在t的值，使AOMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存

在，说明理由；

(3)是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度

改变为何值时(匀速运动)，能使四边形BMHN在某一时刻为菱形.

34.如图所示，BAlx轴于点A,点B的坐标为(-1,2),将AOAB沿x轴负方向平移3个单位，

平移后的图形为4EDC.

（1）直接写出点c和点E的坐标；

（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB-BC一CD”移动，移动到点D停止.若点P的速

度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：

①当t为何值时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

②用含t的式子表示点P在运动过程中的坐标（写出过程）；

③当5秒Vt<7秒时，四边形ABCP的面积为4,求点P的坐标.

35.如图（1）,在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（-1,。），（3,0）,将线段AB先

向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC,BD，构成平行四

（3）如图（2）,点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO,试探索/DCP、

ZCPO,NBOP之间的关系，并证明你的结论.

答案

1.(1)解：小华的判断是正确的.

在矩形ABCD中，ADIIBC,ZHEF=ZEFC.

由折叠，得NHFE=/EFC,

.'.ZHFE=ZHEF

.-.HE=HF

••.△EFH是等腰三角形

(2)解：a?+b?=c2.

在矩形ABCD中，ZD=90°,

由折叠，得ND'=ZD=90°,D'E=DE=a,C‘D'=CD=b»C'F=CF=c,

由问题呈现，得C'E=C'F=c-

在RtZXc'D'E中，D'E2+c'D'=c'E2>

.,.a2+b2=c2.

(3)3V7

2.(1)证明：如图①，过点A作AP//EF,交BC于P,过点B作BQ//GH,交CD于Q,BQ交AP

于T.

图①

•.・四边形ABCD是矩形，

」.AB//DC,ADIIBC.

四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形,

.-.AP=EF,GH=BQ.

又,.•GH_LEF,

.-.AP1BQ,

.-.ZBAT+ZABT=90°.

•.・四边形ABCD是矩形，

ZABP=ZC=90°,AD=BC,

ZABT+ZCBQ=90°,

ZBAP=ZCBQ,

」.△ABPS/SBCQ,

AP_AB

BQ-BC

EF_AB

GH-AD

(2)解：如图②中，连接BD.

图②

••・四边形ABCD是矩形，

・・.NC=90°,AB=CD=2,

.*.BD=VBC2+CD2=V32+22=V13,

・・・D,B关于EF对称，

/.BD1EF,

,EF_AB

**BD-AD'

•空_£

**713—3，

3

(3)解：如图③中，过点F作FH1EG于H,过点P作PJ1BF于J.

P

图③

•.•四边形ABCD是矩形，

.'.AB=CD=2,AD=BC=3,ZA=90°,

2而2

,•二=3，

DG3

•*DG=-\/10)

•,.AG=VDG2-AD2=V10-9=1,

由翻折可知：ED=EG,设ED=EG=x,

在RtZiAEG中，•/EG2=AE2+AG2,

/.x2=AG2+AE2,

.'.x2=(3-x)2+l,

・・.DE=EG=|,

,/FH1EG,

ZFHG=ZHGP=ZGPF=90°,

・•・四边形HGPF是矩形，

.,.FH=PG=CD=2,

••EH=^/FF2—FH2=J(^^)2—22=

52

/.GH=FP=CF=EG-EH=---=1,

33'

•e•PF//EG,EA//FB,

AZAEG=ZJPF,

VZA=ZFJP=90°,

/.△AEG^AJFP,

,AE_AG_EG

•由一百一加

PJ=|,

46

/.BJ=BC-FJ-CF=3-1-1=|,

在RtaBJP中，BP=JB『+PJ2=J(|)2+(§2=誓.

3.(1)证明：'.-PFIMP,

ZFPC+ZMPB=90",

•.•ZPMB+ZMPB=90°,

ZFPC=ZPMB,

•••ZFCP=ZB,图2

.♦.△PFCsaMPB;

(2)解：①1②如图2,连接MB，，CM,•••M为AB的中点，.・.MB=MB，=2,；.MB，+CB，＞CM,

・•・当点B，在线段CM上时，CB，有最小值，•.-CM=VBC2+BM2=V25T4=V29,「.CB，的最小值=闻

-2;

(3)解：存在，理由如下：

如图4,设B：C重合点为N,连接PN,MN,NF,

AD

•・•点B,N关于MP对称，点C,N关于PF对称，

/.BP=PN,PC=PN,MN=BM=2,FN=CF,ZB=ZMNP=90°,ZC=ZPNF=90°,

・•.点M,点N,点F三点共线，PB=PC=PN=1,

•/ZMPF=90°,

/.ZMPB+ZFPC=90°=ZMPB+ZBMP,

.*.ZBMP=ZFPC,

又•・・/B=NC=9(y,

/.△BMPc^ACPF,

BPBM

CFCP'

，CF=/=空，

28

2，41

・・.MF=MN+NF=2+—.

88

4.(1)解：设AC=x,则BC=x-2,AB=x+2,

由勾股定理，得(x—2)2+x2=(x+2)2,解得x=8,或x=0(舍去)，

/.BC=6,AC=8,AB=10.

(2)解：设AN=a,则BM=3a,y=kx+b,「ED为AABC的中位线，.,.ED=^=5

mm士ZB,x=0,x=10-4arx=5—a

由题意，得｛y=&｛y=()，｛y=2，

把｛y=5，｛y=o，｛y=2代入y=kx+b,

5

b=5a=z

得｛k(10-4a)+b=0,解得｛b=5,，y=-5x+5

k(5—a)+b=2__Z_

=io

(3)解：①

1)当PQ1BC时,

四边形ADPQ为平行四边形，则DP=AQ,y=a+x,即一看x+5=]+x,

解得x=^；

2）当PQ1AC时，

四边形PQBE为平行四边形，则PE=BQ,5-y=10-a—x,即5-（-景+5）=10->x,解得x=^

3）当PQ1AB时（如图1）,作DH1AB于H,

即5+x-(一9+5)=蔡，解得x=.

/iv0]]9

•・•当*=畏，^，必时，pQ所在直线与4ABC的某一边所在的直线垂直.

119119ng

(3)②如图2,作PH1AB于点H,

AH=|+x-y=y+ADcosA=y+4x把丫=一景+5,代入，得

54

54

-+X++X-

75

(3)②如图3,作PH1AB于点H,则QH=PH=EBsinB=3xi=y

AH=|+x+y=y+ADcosA=y+4x,把y=-(x+5,代入，得

5+x+9=一各+5+4x±解得x=迩

i5105ng

5.(1)证明：方法1.过点D作

则△ABCs^DMC,Z1=Z2,彳=工

DM_AB

CM=BC

••,BD为/ABC的平分线.•./1=/3

/_2=/_3DM=BM

ADBMDMAB口“ADAB

"CD-CM-CM-BC1CD-BC

方法2.过点C作CM//AB交BD的延长线于点M,通过相似可证.

方法3.过点D作BA,BC的垂线，通过两个等高三角形面积比可证.

(2)解：①证明：由题意知，AE=BE=CE

\Z3=Z4,ZBAC=90°g|JAC1AB

又N1=N3,A'G=AB

••.Z1=Z4,AG//AC.".A/E//AB

四边形AGA'F为平行四边形

•:A'GlAB/.oAGA，F为矩形

②解：由题意，在RtaABC中，可设AB=3t,AC=4t,贝ljBC=5t

3,553

EF=-t,AE=-t,.'.AG=AF=-t--t=t

2222

在ABEG中由(1)可得：空=巴=三=三

GHBG3t+t8

「

,「AE为BC边的中线，，SACEH=SBEH

.SKEH_S^BEH_EH_5

S^BEHS^BGHGH8

_5_5

・

••S^CEH=gSABGH=-S

6.(1)解：①如图1中，

•「△ABC是等边三角形，AD1BC,

/.ZCAD=|CAB=30°,

VAAEF是等边三角形，

・,.AE=AF,ZEAF=60°,

AZEAM=ZFAM=30°,

・,.ME=MF.

②•「AE=AF,EM=MF,

/.AMIEF,

•/AM=AE*cos30°=2遮=3,

•・.等边三角形中AC=AB=8,

.\CM=AC-AM=5,

•「EM=MF=V3,

「.CE=VCM24-ME2=6+(g)2=2夕,

••,CN=NE,

/.MN=IEC=V7.

(2)吟

7.(1)证明：•.・四边形ABCD是正方形，

・・・AB=AD,ZCAD=45°=ZACB,ZBAD=90°=ZCDA=ZB,

・•・ZBAM+ZMAD=90°,,:ZMAN=90°,

・•・ZMAD+ZDAN=90°,・•・ZBAM=ZDAN,

vAD=AB,ZABC=ZADN=90°,

••.△ABM=△ADN(ASA)

・•・AM=AN;

(2)证明：・.・AM=AN,ZMAN=90°/.ZMNA=45°,

vZCAD=2ZNAD=45°,・,・NNAD=22.5°,

・•・ZCAM=ZMAN-ZCAD-ZNAD=22.5°,

・•・ZCAM=ZNAD,ZACB=ZMNA=45°,

AMC〜△AEN,

二皆二篇.-.AM-AN=AC-AE,

VAN=AM,AC=V2AB,

•••AM2=V2AB-AE;

8.(1)解：由题意得，ZBAC=ZDAE=90°

•・,zBAD+zCAD=zCAE+ZCAD

AZBAD=ZCAE

・・・线段AD绕点A逆时针旋转90。至AE

・,.AD=AE

又,「AB=AC,

/.△BAD^ACAE

/.BD=CE,ZB=ZACE=45°

/.ZECD=90°,BD1CE.

(2)解：由(1)得：Z\BAD组4CAE

/.BD=CE,ZB=ZACE=45°

•/CD=iBC,BD=2DC,即BD=：BC,

2

.-.BD=CE=1BC,

,."AD=AE

DE=VAD2+AE2=V2AD

.•.ZB=ZACB=45°

.-.ZBCE=ZACB+ZACE=90°

.-.CD2+CE2=DE2,即©BC)2+(|BC)2=2AD2,

(3)解：如图，过点A作AM1BC交BC于点M

•/ZBAC=90°,AB=AC

.-.BM=CM=-BC

2

.,.AM=BM=CM—BC

2

.-.AM=|BC=i(BD-CD),DM=CM+CD=|BC+CD=|(BD+CD)

".,AM2+DM2=AD2

(BD-CD)]2+[|(BD+CD)]2=AD2

.-.BD2+CD2=2AD2.

9.(1)解：结论：ADHE是等腰直角三角形.

理由：如图2中，

(图2)

•.•四边形ABCD是正方形，

.­,ZCDF=90°,NDCA=45°,

•・•点H是CF的中点，

.-.DH=DH=HF=|CF,

•••ZCEF=90°,CH=HF,

.-.EH=CH=HF=|CF,

.-.DH=HE,

•.,DH=CH=HE,

ZHCD=ZHDC,ZHCE=ZHEC,

ZDHF=ZHDC+ZHCD,ZFHE=ZHCE+ZHEC,

ZDHE=2ZDCH+2ZHCE=2ZDCA=90°,

.•.△DHE是等腰直角三角形.

(2)解：如图3中，结论成立.

理由：连接BH,过点H作HG_LAB于G.

(图3)

•.•四边形ABCD是正方形，/EAF=45°

••.A,F,A共线，

•.•CB=CD,ZBCH=ZDCH=45°,CH=CH,

/.△BCH^ADCH(SAS),

・・.DH=BH,ZCDH=ZCBH,

•/ZFEA=ZHGA=ZCBA=90°,

AEF//GH//BC,

.BG_CH

**EG-HF，

•・・CH=HF,

・・.GB=GE,

•/HG1BE,

/.HB=HE,

/.ZHBE=ZHEB,HE=HD,

•/ZCDA=ZCBA=90°,ZCDH=/ABH,

・•.ZADH=ZABH=ZHEB,

•/ZHEB+ZAEH=180°,

/.ZADH+ZAEH=180°,

/.ZDHE+ZDAE=180°,

VZDAE=90°,

.-.ZDHE=90°,

.•.△DHE是等腰直角三角形.

⑶在

2

10.(1)解：VDE1AC,GN1DF,

ZGNE=ZMEN=90°,

•.­BG//DF,

ZMGN+ZGNE=180°,

.-.ZMGN=90°,

二.四边形NEMG是矩形.

(2)解：••・四边形NEMG是矩形，GN=8,

ZAMB=ZAMG=90°,ME=GN=8,

•.•sinZCAB=卷，AB=26,

AB-sinZCAB=10,

-',AM=VAB2-MB2=24,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.,.AB//CD,AB=CD,

ZCAB=ZACD,

ZBMA=ZDEC

在AABM和aCDE中，｛/CAB=/_ACD，

AB=CD

/.AABM^ACDE,

・,.CE=AM=24,

/.AC=AM+CE-ME=24+24-8=40.

11.(1)解：•・.四边形ABCD是正方形，

/.DC=DA,ZDCE=ZDAF=90°,

XVZCDE+ZADE=90°ADF+/ADE=90°,

ZCDE=ZADF,

/.△ECD=△FAD(ASA)

/.CE=AF.

(2)解：作EI〃AB,交AC于点I,连接DM,

•「△ECD会△FAD,DF1DE,

/.DF=DE,ZFDE=90°,

则4FDE为等腰直角三角形.

;AC为正方形对角线，ZIEC=ZB=90°,

AZEIC=ZECI=45°,

/.CE=IE,

又・・FA=CE,

/.FA=EI,

,/EI//FA,

/.ZIEM=ZAFM,ZEIM=ZFAM,

/.△FAM=AEM(ASA),

・・.FM=ME.

(3)解：不变

由(1),(2)可知4FDE为等腰直角三角形，FM=EM,

/.DM1FE,ZMDE=ZMDF=45°,

ZDNA=45°+/CDN=ZMDE+ZCDN=ZMDC,

又.「NDAN=ZDCM=45°,

/.△ANDCDM.

.AN_AD

•，CD-CM，

.*.NAMC=ADCD=4x4=16.

12.(1)证明：•・,正方形ABCD沿着BE,BF将BC,AB翻折，使A,C两点恰好落在点P.

「.△ABF々△PBF,ABPE^ABCE,

・,.AE=A'E,BE=B'E,ZPBF=、ABP,ZPBE=j/PBC,

・•.ZEBF=ZPBF+ZPBE=j(/ABP+ZCBP)=|zCBA=45°

(2)解：①由折叠的性质可得NBPE=/C=90。，

.\ZMPB+ZNPE=90°,

VMN//BC,正方形ABCD

四边形MBCN为矩形，

/.ZPMB=ZENP=90°,BM=CN=5;

AZMPB+ZMBP=90°,

/.ZNPE=ZMBP,

/.△MBP^ANPE,

.PM_BM

••NE-PN'

/.PM-PN=BM-NE

,/BM=5,且MPPN=10,

/.NE=2,

/.CE=PE=3,

「•PN=VPE2-NE2=V32-22=V5,

APM=2V5

.'.MN=AD=3遍

正方形折纸的面积=AD2=45;

②由折叠可知/AFB=/BPE,AF=PF,

,/AD//MN

/.ZAFB=ZFQP,

/.ZBPE=ZFQP,

.-.PF=QP=jBC=AF,

.-.AF=FD=|BC,

设EC=x,则DE=DC-x=BC-x;PE=x,

.•,在直角三角形DEF中，EF2=DF2+DE2

.­.(lBC+x)2=(iBC)2+(BC-x)2,

—Be,

，PE=CE=]BC，

•••EF=\BC,

•.-AD//MN

.-.△MBP^ANPE,

PNPE2

DFEF5'

•."AF=FD=|BC,

•••PN=4BC,

113

MQ=MN-PQ-PN=BC-2BC-5BC=wBC»

•.-AD//MN

.-.△MBQooAABF,

.BM=MQ=^BC=3

•.AB—AF一扫C-5'

,AM_2

・'BM一3

13.(1)证明：•・.四边形ABCD是正方形,

・,.AB=DA,ZABE=90°=/DA