2021年中考第二次模拟考试《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩________

一.选择题（本题共10个小题，每题3分，满分30分）

1.一，的相反数是（）

2

3.四个选项中四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体其中有三个几何体的某一

种视图都是同一种几何图形，则另外一个几何体是（）

4.下列计算正确的是（）

A.2a2+4a2=6a4B.（a+1）2=a2+lC.（a2）3=a5D.7小好二小

5.一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根

6.一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个

球.则下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的4个球中至少有一个球是白球

B.摸出的4个球中至少有一个球是黑球

C.摸出的4个球中至少有两个球是黑球

D.摸出的4个球中至少有两个球

7.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都

相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示.对于这10名学生的参

赛成绩，下列说法中错误的是（）

C.平均数是90D.极差是15

9.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形.则四边形ABCD一定是（）

A.菱形B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形D.对角线相等的四边形

10.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将4PCD

沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作NBPF的角平分线交AB于点E,设BP=x,BE=y,则下列图象

中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

二.填空题（本题共8个小题，每题3分，满分24分）

11.某小区改进了用水设施，在5年内小区的居民累计节水39400吨，将39400用科学计数法表示应为

12.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2,1，4,随机摸出一个小球（不放回），其

数字为P,再随机摸出另一个小球其数字记为9,则满足关于x的方程f++q=0有实数根的概率是

13.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260。，则这个多边形边数是

14.如图，△ABC内接于圆，点D是AC上一点，将/A沿BD翻折，点A正好落在圆上点E处.若/C=50。,

则ZABE的度数为.

2Y

15.关于x的方程——丁=1的解是正数，则m的取值范围是.

x—2

16.如图，在nABCD中，AD=2,AB=4,NA=30。，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E,连

接CE,则阴影部分的面积是▲（结果保留兀）.

DC

月EB

17.如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱

柱的侧面积为cm2.

18.如图在坐标系中放置一菱形OABC,己知NABC=60。，OA=1.先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动

翻转，每次翻转60。，连续翻转2016次，点B的落点依次为Bi,B2,B3,…，则B2016的坐标为.

三.解答题（本题共2个小题，第19题10分，第20题12分，满分22分）

Y*1

19.先化简，再求值：一一十（1+——）,其中％=a-1.

x-1x-1

20.在某飞机场东西方向的地面1上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千

米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30。，且与点A相距15千米

的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°,且与点A相距5相千米的C处.

（1）该飞机航行速度是多少千米/小时？（结果保留根号）

（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由.

四.（本题共2个小题，每题12分，满分24分）

21.九年七班组织学生参加汉字听写比赛，比赛分为甲乙丙三组进行，下面两幅统计图反映了学生参加比赛

报名情况，请你根据图中信息回答下列问题:

报名参加人数分布直方图

报名人数扇形分布图

（1）该班报名参加本次活动的总人数为人.

（2）该班报名参加丙组的人数为人，并补全频数分布直方图；

（3）比赛后选取男女各2名同学进行培训，若从中选2名参加校赛，试用列表或画树状图的方法，求恰好

选中一男一女的概率.

（1）利用尺规作/ABC的平分线，交AC于点0,再以O为圆心，0C的长为半径作00（保留作图痕迹，

不写作法）；

2

（2）在你所作的图中，①判断AB与。0的位置关系，并证明你的结论；②若AC=12,tan/0BC=—,

3

求。0的半径.

五.（满分12分）

23.如图，△ABC中，BC^AC,乙4cB=90。，将△ABC绕着点C顺时针旋转a（0女40。），得到△EFC,EF

与A3、AC相交于点。、H,FC与AB相交于点G、AC相交于点。、H,尸C与AB相较于点G.

（1）求证：4GBgAHEC；

（2）在旋转过程中，当a是多少度时四边形BCEQ可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由.

六.（满分12分）

24.某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量

x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

X（件）5101520

y（元/件）75706560

（1）由题意知商品的最低销售单价是一元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数.求

出y与x的函数关系式及x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

七.解答题（满分12分）

25.如图1,点0是正方形ABQ）两对角线的交点，分别延长0D到点G,0C到点E,使0G=20D,0E=20C,然

后以0G、0E为邻边作正方形0EFG,连接AG,DE.

（1）求证:DE1AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形0EFG绕点0逆时针旋转a角（0°<a<360°）得到正方形0E'F'G',

如图2.

①在旋转过程中，当NOAG'是直角时，求a的度数；

②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必说

明理由.

八.解答题(满分14分)

26.如图，二次函数y=依2+力x+c(aHO)图象与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点，与y轴相交

于点C(0,-4).

(1)求该二次函数的解析；

(2)若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点

时，另一点也随之停止运动.

①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E,使得以A、E、Q为顶点三角形为等腰三角形？若存在,

请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由.

②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的

坐标.

答案与解析

一.选择题（本题共10个小题，每题3分，满分30分）

1.一1的相反数是（）

2

1

A.—2B.2C.----D

2-I

【答案】D

【解析】

【详解】因为-二+!=0,所以的相反数是5.

2222

故选D.

2.下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

A.此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误;

B.此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；

C.此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误.

D.此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；

故选D.

3.四个选项中四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体其中有三个几何体的某一

种视图都是同一种几何图形，则另外一个几何体是（）

A日丐

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三视图的基本知识，分析各个几何体的三视图然后可解答.长方体、圆柱体和三棱柱的主视图都是矩

形，而球的视图都是圆形.

【详解】长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；

而球的三种视图都是圆形.

故选C.

【点睛】本题考查简单几何体的三视图.

4.下列计算正确的是（）

A.2a2+4a2-6a4B.（a+1）2-a2+1C.（a2）3-a5D.x'^-x2-

【答案】D

【解析】

【分析】

根据合并同类项的法则、完全平方差公式、同底数嘉的乘除法则，分别计算四个选项进行判断即可得到答

案.

【详解】A.2a2+4出=6/故A错误；

B.（a+1）2=a2+2a+l>故B错误；

C.（小）3=介3=小故c错误；

D.x7-?x5=x2,故D正确；

故选D.

【点睛】本题考查了合并同类项的法则、完全平方差公式、同底数基的乘除法则，掌握各部分的运算法则、

灵活运用所学知识是解题的关键关键.

5.一元二次方程X2+2X+2=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】D

【解析】

【分析】

求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案.

【详解】x2+2x+2=0,

这里a=l,b=2,c=2,

b—4ac=22-4x1x2=-4<0,

.♦•方程无实数根，

故选D.

【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键

6.一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个

球.则下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的4个球中至少有一个球是白球

B.摸出的4个球中至少有一个球是黑球

C.摸出的4个球中至少有两个球是黑球

D.摸出的4个球中至少有两个球

【答案】B

【解析】

试题分析：必然事件就是一定发生的事件，因此，

A、是随机事件，故A选项错误；

B、是必然事件，故B选项正确；

C、是随机事件，故C选项错误；

D、是随机事件，故D选项错误.

故选B.

考点：必然事件.

7.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆：③三角形的外心到三角形各顶点的距离都

相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断.

解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；

②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；

③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故

正确；

④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确.

故选B.

8.在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示.对于这10名学生的参

赛成绩，下列说法中错误的是（）

人数

C.平均数是90D.极差是15

【答案】C

【解析】

【分析】

由统计图中提供的数据，根据众数、中位数、平均数、极差的定义分别列出算式，求出答案:

【详解】解：：90出现了5次，出现的次数最多，.♦.众数是90；

•.•共有10个数，中位数是第5、6个数的平均数，.•.中位数是（90+90）+2=90；

•.•平均数是（80x1+85x2+90x5+95x2）4-10=89；

极差是:95-80=15.

，错误的是C.故选C.

9.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形.则四边形ABCD一定是（）

A.菱形B.对角线互相垂直的四边形

C.矩形D.对角线相等的四边形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线定理得到EH〃FG,EF=FG,EF=-BD,要是四边形为菱形，得出EF=EH,即可得到

2

答案.

【详解】解：；E,F,G,H分别是边AD,DC,CB,AB的中点，

111

，EH=-AC,EH〃AC,FG=-AC,FG〃AC,EF=-BD,

222

；.EH〃FG,EF=FG,

四边形EFGH是平行四边形,

假设AC=BD,

11

VEH=-AC,EF=-BD,

22

贝ijEF=EH,

，平行四边形EFGH是菱形，

即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形,

故选D.

10.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将4PCD

沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作NBPF的角平分线交AB于点E,设BP=x,BE=y,则下列图象

中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

°

o5X

【答案】C

【解析】

分析】

先证明aBPEsZ\CDP,再根据相似三角形对应边成比例列出式子变形可得.

【详解】由已知可知/EPD=90。，

ZBPE+ZDPC=90°,

,/ZDPC+ZPDC=90°,

AZCDP=ZBPE,

•.,/B=NC=90°,

/.△BPE^ACDP,

ABP：CD=BE：CP,即x：3=y：(5-x),

—M4-

・・・y=...........—(0<x<5)；

3

故选C.

考点：1.折叠问题；2.相似三角形的判定和性质；3.二次函数的图象.

二.填空题（本题共8个小题，每题3分，满分24分）

11.某小区改进了用水设施，在5年内小区的居民累计节水39400吨，将39400用科学计数法表示应为

【答案】3.94X104

【解析】

【详解】解：39400=3.94x104

故答案为：3.94x104

12.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2，1，4,随机摸出一个小球（不放回），其

数字为〃，再随机摸出另一个小球其数字记为4,则满足关于x的方程/+川+4=0有实数根的概率是

2

【答案】一.

3

【解析】

解：画树状图得:

开始

21

•••共有6种等可能的结果,满足关于x的方程x^+px+q=0有实数根的有4种情况，.•.满足关于x的方程

422

-

x2+px+q=0有实数根的概率是:6-3-3-

13.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260。，则这个多边形边数是

【答案】12

【解析】

试题解析：根据题意，得

(n-2)•180-360=1260,

解得：n=l1.

那么这个多边形是十一边形.

考点：多边形内角与外角.

14.如图，△ABC内接于圆，点D是AC上一点，将NA沿BD翻折，点A正好落在圆上点E处.若NC=50。,

则/ABE的度数为.

【答案】80°

【解析】

【分析】

首先连接BE,根据折叠的性质可得：AB=BE,即可得A6=6E，根据圆周角定理，得到/BAE和NBEA的度

数，继而求得/ABE的度数.

【详解】解：如图，连接AE,

根据折叠的性质可得：AB=BE,

,AB=BE

：.ABAE=ZBEA=ZC=50°(同弧所对的圆周角相等)，

，ZABE=18()0-5()°-500=80°,

故答案为：80°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、折叠的性质以及三角形内角和定理.此题难度不大，注意掌握辅助

线的作法，注意数形结合思想的应用，灵活运用所学知识是解题的关键.

15.关于x的方程上Y=1的解是正数，则m的取值范围是______.

x—2

【答案】mV-2且m，-4

【解析】

分析】

首先根据圣上=1,可得x=-m-2；然后根据关于x的方程”土巴=1的解是正数，求出m的取值范围即

x—2x—2

可.

.WK.2x+m

【详解】*.*-------=1,

x-2

x=-m-2,

••・关于X的方程型W=1的解是正数，

x—2

A-m-2>0,

解得m<-2,

又,:x=-m-2/2,

/.n#-4,

•'.m的取值范围是:mV-2且n#-4.

故答案为m<-2且n#-4.

【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为

在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于。的

值，不是原分式方程的解.

16.如图，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E,连

接CE,则阴影部分的面积是一▲（结果保留兀）.

A

【答案】3--7V

3

【解析】

【详解】过D点作DFLAB于点F.

VAD=2,AB=4,NA=30。，

/.DF=AD*sin30°=l,EB=AB-AE=2.

・•・阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积一扇形ADE面积一三角形CBE的面积

30x4x2?

=4x1---x2xl=3--^-.

36023

故答案为：3--7T.

3

17.如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱

柱的侧面积为cm2.

【答案】36-12百.

【解析】

【详解】解：：将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，

，这个正六边形的底面边长为1,高为石，

侧面积为长为6,宽为6-28的长方形，

...面积为：6x(6-26)=36-126.

故答案为：36—125/3•

【点睛】本题考查展开图折叠成几何体.

18.如图在坐标系中放置一菱形OABC,已知/ABC=60。，OA=1.先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动

翻转，每次翻转60。，连续翻转2016次，点B的落点依次为Bi,B2,B3,…，则Ba.的坐标为.

【解析】

【分析】

连接AC,根据已知条件可以求出AC,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻

转6次，图形向右平移4.由于2016=336X6,因此点向右平移1344(即336X4)即可到达点B2016,根

据点B6的坐标就可求出点B2016的坐标.

【详解】解：解：连接AC,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如下图所示,

・・,四边形OABC是菱形,

AOA=AB=BC=OC（菱形四边相等）,

VZABC=60°,

•••△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）,

AAC=AB,

AAC=OA,

VOA=1,

AAC=1,

根据画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形分析,

根据图可知：每翻转6次，图形向右平移4,

72016=336X6,

，点B向右平移了1344（即336X4）到点B2oi6,

：86的坐标为1,6），

...B2016的坐标为(1344,g)；

【点睛】本题主要考查了菱形的性质（菱形四边相等）、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探

究、发现规律的能力，发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键.

三.解答题（本题共2个小题，第19题10分，第20题12分，满分22分）

V*1

19.先化简，再求值：-F--（1+——），其中％=五一1.

X-1x-1

【答案】」一，—

X+12

【解析】

【分析】

先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简.然后代x的值，进行二次根式化简.

x—11

【详解】解:原式=------------=■(-----1------)=-------------•-----=------------

(x-l)(x+l)x-\x-1(x-l)(x+l)x-1Xx+1

]1_5/2

当x=0-l时，原式二二

V2-1+1y[2~2

考点：1.分式的化简求值；2.二次根式化简.

20.在某飞机场东西方向的地面1上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千

米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°,且与点A相距15千米

的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°,且与点A相距5括千米的C处.

（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）

（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由.

【答案】（1）60073km/h；（2）能，见解析

【解析】

【分析】

（1）先求出NB4C=90。，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC,再求解即可；

（2）作CE，/于点E,设直线交/于点尸，然后证明=利用三角函数求出4E即可得解;

【详解】解：（1）由题意，得N84C=90。，AB=15,AC=56

:.BC=y/AB2+AC2=1073

飞机航行的速度为：106+—=60()6(km/h)

（2）能;

北

作CE，/于点E,设直线3c交/于点厂.

在RtlZABC中，8C=106,AC=56，

ZABC=30°,即NBC4=60。，

又：ZC4E=30°,

ZACE=60°,

NFCE=18Q°-ZACB-ZACE=60°，即ZACE=ZFCE

.QACE^FCE

：.AE=EF

又AE=AC-cosZCAE=—

2

15

AE=EF

T

AF=15

-AM=14.5,AN=15.5

AM<AF<AN

飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间.

【点睛】本题主要考查解直角三角形实际应用，准确理解题意，并且画出辅助线是求解本题的关键.

四.（本题共2个小题，每题12分，满分24分）

21.九年七班组织学生参加汉字听写比赛，比赛分为甲乙丙三组进行，下面两幅统计图反映了学生参加比赛

的报名情况，请你根据图中信息回答下列问题：

（1）该班报名参加本次活动的总人数为人.

（2）该班报名参加丙组的人数为人,并补全频数分布直方图；

（3）比赛后选取男女各2名同学进行培训，若从中选2名参加校赛，试用列表或画树状图的方法，求恰好

选中一男一女的概率.

2

【答案】（D50；（2）25,图详见解析；（3）-

3

【解析】

【分析】

（1）根据图表信息，由甲的人数和所占百分率进行解答即可得到答案;

（2）用总人数乘以丙所占百分率即可得到答案；

（3）根据题意列出树状图即可得到答案.

【详解】解：⑴根据图表信息可得：15・30%=50人;

（2）用参加报名的总人数乘以所占百分比得到：5Ox50%=25人；

则乙的人数:50-25-15=10（人），

频数分布直方图如下图；

报名参加人数分布直方图

则列树状图为：

ABab

zT\/N/N/T\

BabAabABbABa

Q2

根据树状图得到：P（男女）

123

【点睛】本题考查了列表法与树状图，要将两图结合起来，找到所需的量进行解答，掌握扇形图和条形图

的相关知识是解题的关键.

22.如图，△ABC是直角三角形，NACB=90。

CB

（1）利用尺规作NABC的平分线，交AC于点0,再以O为圆心，0C的长为半径作。0（保留作图痕迹,

不写作法）；

2

（2）在你所作的图中，①判断AB与。0的位置关系，并证明你的结论；②若AC=12,tan/0BC=—,

3

求。O的半径.

【答案】（1）作图见解析；（2）①AB与。0相切，理由见解析；②号.

【解析】

【分析】

（1）只需按照题目的要求画图即可；

（2）①过点0作OD_LAB,垂足为D,如图所示，只需证明OD=OC即可；

oc2OD0C2

②在RSOBC中，运用三角函数可求出——=-,从而得到——=——=一，易证RSADOSRQACB,

BC3BCBC3

运用相似三角形的性质可求得AD=8,然后在RtAADO中运用勾股定理即可解决问题.

【详解】解：（1）如图，即为所求作；

（2）AB与。0相切，理由如下:

过点O作ODLAB,垂足为D,如图所示.

•；NACB=90°,AOC1BC.

：BO是/ABC的平分线，OD_LAB,OC±BC,

.".OC=OD.

AAB与。O相切；

（3）在RtAOBC中，

/OC2

tan/OBC=-----=—,

BC3

.ODOC2

XVZADO=ZACB=90°,ZA=ZA,

RlAADOsRtAACB,

.ADOD2

"AC-BC-3）

22

；.AD=-AC=-xl2=8.

33

设。。的半径为r,则OD=OC=r,AO=l2-r.

在RSADO中，

根据勾股定理可得d+82=（12-r）2,

…10

解得r=—，

3

••・。0的半径是3.

3

【点睛】本题考查作图一复杂作图；切线的判定；相似三角形的判定与性质.

五.（满分12分）

23.如图，AA8C中，BC=AC,NACB=90。，将△ABC绕着点C顺时针旋转a（0/狂90。），得到△EFC,EF

与A8、AC相交于点。、H,FC与AB相交于点G、AC相交于点。、H,FC与AB相较于点G.

（1）求证：4GBgl\HEC；

（2）在旋转过程中，当a是多少度时四边形BCEZ）可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）当a=45。时，四边形8CE。为菱形，理由详见解析.

【解析】

【分析】

(1)先判断4ABC为等腰直角三角形得到/A=/B=45。，再由旋转的性质得到/BCF=/ACE=a,

ZE=ZA=45°,CA=CE=CB,最后可根据"ASA”可判断△GBCg1AHEC；

(2)当a=45。时，根据旋转的性质得/BCF=NACE=45。，则可计算出NBCE=/BCA+NACE=135。，再证

BD〃CE,BC〃DE,于是可判断四边形BCED为平行四边形，结合CB=CE,则可判断四边形BCED为菱

形.

【详解】解：(1)证明：；BC=AC,ZACB=90°,

.••△ABC为等腰直角三角形，

NA=/B=45°,

AABC绕着点C顺时针旋转a°(0<a<90°),得到△EFC,

.\ZBCF=ZACE=a,ZE=ZA=45°,CA=CE=CB,

在^GBC和4HEC中

ZB=ZE

<CB=CE

NBCG=NECH

.".△GBC^AHEC(ASA)；

(2)解：当a=45。时，四边形BCED为菱形.理由如下：

如图，

A

D/H

・•・ZBCE=ZBCA+ZACE=90°+45°=135°,

而NE=NB=45。,

AZB+ZBCE=180°,ZE+ZBCE=180°,

・・・BD〃CE,BC〃DE(同旁内角互补，两直线平行),

・•・四边形BCED为平行四边形,

VCB=CE,

，四边形BCED为菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是掌握菱形的判定方法.

六.（满分12分）

24.某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量

x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

X（件）5101520

y（元/件）75706560

（1）由题意知商品的最低销售单价是一元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数.求

出y与x的函数关系式及x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）50,y=-x+80（0<x<30,且x为正整数）；（2）当销售单价为60元时，所获利润最大，最大

利润为400元.

【解析】

【分析】

（1）由40（1+25%）即可得出最低销售单价；设丫=1«+15,由待定系数法求出y与x的函数关系式，根据x

>0,左50即可确定x的取值范围；

（2）设所获利润为P元，根据“总利润=单件的利润x销售数量”得出P是x的二次函数，再由二次函数的性

质即可得结果.

【详解】解:(1)40(1+25%)=50(元),

设y=kx+b,

’75=5k+8

根据题意得:

70=10%+/?’

解得：k=-1,b=80,

y=-x+80,

根据题意得：\x>0ccuc，且X为正整数，

-x+80>50

.\0<x<30,x为正整数，

：.y=-x+80(0<x<30,且x为正整数)

故答案为：50：

(2)设所获利润为P元，根据题意得：

P=(y-40)»x=(-x+80-40)x=-(x-20)2+400,

即P是x的二次函数，

Va=-l<0,

，P有最大值，

.•.当x=20时，P城大值=400,此时y=60,

当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元.

【点睛】本题考查二次函数的应用.

七.解答题(满分12分)

25.如图1,点0是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长0D到点G,0C到点E,使0G=20D,0E=20C,然

后以OG、0E为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.

(1)求证:DE±AG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点0逆时针旋转a角(0°<a<360°)得到正方形OE'F'G',

如图2.

①在旋转过程中，当NOAG'是直角时，求a的度数；

②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必说

明理由.

【答案】(1)见解析；(2)①30。或150。，②A广的长最大值为2+注，此时a=315°.

2

【解析】

【分析】

(1)延长ED交AG于点H,易证AAOG名△□()£,得到NAGO/DEO,然后运用等量代换证明NAHE=90°即可;

(2)①在旋转过程中，ZOAG1成为直角有两种情况：a由0。增大到90°过程中，当/OAG'=90。时，

a=30°,a由90°增大到180°过程中，当NOAG'=90°时，a=150°；

②当旋转到A、0、F'在一条直线上时，AF'的长最大，AF'=AO+OF'=—+2,此时a=315°.

2

【详解】⑴如图1,延长ED交AG于点H,

•••点O是正方形ABCD两对角线的交点，

；.OA=OD,OA1OD,

VOG=OE,

在AAOG和ADOE中，

OA=OD

«ZAOG=ZDOE=90°,

OG=OE

/.AAOG=ADOE,

•••NAGO=NDEO,

・・・ZAGO+ZGAO=90°,

・•・ZGAO+ZDEO=90°,

・・・ZAHE=90°,

即DE±AG；

⑵①在旋转过程中,/OAG成为直角有两种情况:

(I)a由0。增大到90。过程中，当NOAG，=90。时，

：OA=OD=—OG=—OG1,

22

*»OA1

.•.在RtAOAG，中,sinNAGe而；=3,

NAG'O=30°,

VOA±OD,OA±AG\

.•.OD〃AG，，

/DOG，=NAG，0=30。。,

即a=30°；

图2

(II)a由90。增大到180。过程中，当/OAG，=90。时，

同理可求NBOG，=30。，

.,.a=180o-30o=150°.

综上所述，当/OAG，=90。时,a=30。或150°.

②如图3,当旋转到A.0、F，在一条直线上时,AF的长最大,

:正方形ABCD的边长为1,

：.OA=OD=OC=OB=—,

2

VOG=2OD,

,

.,.OG=OG=A/2，

.■.0F'=2,

：.AF'=AO+OF'=—+2,

2

,/ZCOE'=45°,

此时a=315°.

【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相

等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用.

八.解答题(满分14分)

26.如图，二次函数y=℃2+法+c(awO)的图象与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点，与y轴相交

(2)若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点

时，另一点也随之停止运动.

①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E,使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,

请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由.

②当P、Q运动到t秒时，AAPQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的

坐标.

【答案】(1)V=—%2----%—4;(2)①存在满足条件的点E,点E的坐标为(—',0)或(—2,0)或(-1,

3335

145529

0）或（7,0）；②"-----,£）（—，-------）