2021年新高考数学金榜冲刺模拟卷（江苏专用）（解析版）

卷05-2021年新高考数学金榜冲刺模拟卷（江苏专用）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合4=5|一3K2x-l<1},B=^x\2x-x1>0|,则4口8=（）

A.（0,2]B.[0,1]C.[-1,0）D.（0,1]

【答案】D

【详解】

由题意，A={x|-l<x<l},8={x|0<x<2},所以4cB=（0,1].

2.已知复数2='+'，，其中i为虚数单位，则>z=（）

22

D.1-1/

22

【答案】A

【详解】

故选：A

3.己知非零向量£石满足W=4同，且£J_（2£+杨，则£与石的夹角为（）

2万5乃

A.3B.2C.—D.

3~6

【答案】c

【详解】

/a±(2a+B)，/.。・(2。+石尸0,2“+a・b=0,

即2口1+同忸,。5〈£石〉=0.v|5|=4\a\,/.2\a\+4|5|2cos^a,力=0,

.•.〈〃—,—力=2子7r.

/.COS〈Q,B〉=——

4.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严

格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C=W」og2（l+，），其中W

s

是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中一

N

1

叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至2,使得。大约增加了60%,则X

的值大约为（）（参考数据：10°2*1.58）

A.1559B.3943C.1579D.2512

【答案】C

【详解】

Wlog2(l+；l)—Wlog2(1+99)

由题意得:»60%,

Wlog2(l+99)

log2（l+/l）

则"16，1+2«100,6=1032=1031002«1580，

log,100

4»1579

5.魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，

以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣割圆术可以视为将一个圆内接正〃边形等分成〃个等腰三角形（如

图所示），当〃变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到sin30的

近似值为（）（乃取近似值3.14）

【答案】B

【详解】

36001

当〃=120时，每个等腰三角形的顶角为需=3。，则其面积为SA=//Sin3。，

乂因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，

所以120',厂251113°2万r2=>5皿3°2£.故选：B

260

6.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小

鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，

以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第〃天后大老鼠打洞的总进度是小

2

老鼠的4倍，则〃的值为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【详解】

设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列｛4｝，

1-2”

则4=l,q=2,所以s,=L^=2"-1.

"1-2

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列｛b„｝,

所以*=匚彳1=2口_（:）"］.

则4=l,g=；

1,2

2

即2"—1=81—［；］,化简得4"—9x2"+8=0

所以S“=4加

解得：〃=3或〃=1（舍）

X

7.已知双曲线Cj=13>0,AO）的右焦点为F,点A,B分别为双曲线的左，右顶点，以A8为直

a-

径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P,。两点，若。。〃「尸（。为坐标原点），则该双

曲线的离心率为（）

A.V5B.2C.D.V2

【答案】D

【详解】

如图所示，NAOQ=NOFP,

乂•••双曲线的渐近线关于>轴对称，.,.ZFOP=NAOQ,.../0/f=/尸0「,...0尸产为等腰三角形，

作，O尸，垂足为〃，过5作BQ_Lx轴，交渐近线第一象限部分于D,

则R€OMP^R€OBD,|OB|=a,\BD\^仇|。叫=尸|=；c,

\OP\=a,\PM\=叶叫2=J/f.

3

由三角形相似的性质得MH/.即三

2

整理得c4=4/,...e=£=血，故选：口.

a

8.如图所示，四棱锥产一ABC。中，四边形A3CD为矩形,平面出£），平面ABCD若ZBPC=9Q°，

PB=j2,PC=2,则四棱锥产一A5C£＞的体积最大值为（）

1

4B

A-nYCfD.逅

5

【答案】c

【详解】

如图所示，作PO_LA。，垂足为0,作OG_L3C,垂足为G,连接GP,

•.•平面P4D_L平面ABCD，平面PAD0平面ABCD=AD,

/.PO_L平面ABC。，

在ABPC中，•••N8PC=90°，PB=4i，PC=2,

4

BPPC_273

BC=4BP-+PC-=V6，/.PG=

BC-亍

设AB=x，则OG=x，PO

Vp-ABCD§PO.SA4BC0=§一元2X瓜C,

3/2）.%|X（3-］）=6,当且仅当龙邛时取等号,

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.Keep是一款具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备

购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以

根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步

的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）

5

A.月跑步里程最小值出现在2月

B.月跑步里程逐月增加

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

【答案】ACD

【详解】

由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；

月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，II月，9月，10月,

故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；

1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.

10.已知〃、b均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（）

A.ci+b-\—23B.（a+b}\—I—|>4

疯'b）

a1+b22abi—r

C.—i——Na+bD.―i之vab

y/ciba+b

【答案】AD

【详解】

对于A,a+b+—j=>2y[ab+,—>2\/2<3,当且仅当〃=力=时等号同时成立；对于B,

7ab7ab2

（«+Mf-+->l=2+-4-->2+2J---=4,当且仅当a=h时取等号；

hJha\ha

对于c,吧N（a+〃）=a+b，当且仅当。=b时取等号；

>Jab2\jaba+b

2ab_3

对于D,当。=—,〃=一时,

y/a+b5

2abr-r

所以/<\!ab.

+b

6

11.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin(Q*+e)+B(O<e<〃),

则下列说法正确的是()

B.该函数图象的一条对称轴是直线％=14

jr37r、

(—X+—1+20(6<x<14)

D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27°C

【答案】ABD

【详解】

对于A选项,III图象।-J'为I，该函数的最小正周期为丁=2x(14—6)=16.A选项正确；

对于B选项,该函数在x=14取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线x=14,B选项正确;

fA+B=30A=1027r27rTI

对于C选项,由图象可得，T+5=6解得①————=—

8=2()'T168

•••图象经过点(14,30),/.30=lOsinf^xl4+^9j+20,sin

八7九7〃117rpi17"5434

0V0〈乃，?.——<——+0<---,则——+(p—,:.(p=—

444424

7

（JT34I

所以，函数解析式为y=10sin可%+彳）+20（0<》424）,C选项错误；

当x=12时，y=10sin（工xl2+包）+20=10x1+20^27,故D选项正确.

"184J2

12.新型冠状病毒属于夕属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的

y=Bcosco/3,y=k/3+b,人体肺部结构中包含y=Asin",y=ln4的结构，新型冠状病毒肺炎是

由它们复合而成的，表现为/（尸）.则下列结论正确的是（）

A.若,+{/（0）_尸（r）=）（4+a）（q>0）,则/（4）为周期函数

B.对于,吗幺的最小值为2

I2」〃7t

C.若/（/^=公^^一^^+历夕在区间①⑴上是增函数,则

D.若/（6）=sin（仍+°）-2cos（仍+夕），0<（p<7v,满足〃4+1）=/（1-6），则sin2夕=一1

【答案】ABD

【详解】

⑼-nom，则〃尸）一/2（0=;一〃4+同+尸（尸+同，

〃/?+“）二产（尸+“）=；—〃p+2a）+./（夕+2a）,

代换整理得到："（4+2。）+/（夕）—1]]*4+2。）—〃万）]=0,

若/（夕+2。）=/（6），则/（分）为周期函数；

若〃尸+2a）+/（0—1=0,则/伪+4a）+/（⑶-1=0,“4+4。）=/（6+2。），则，（⑶为周

期函数，A正确；

设g（P）=号2，故g'（m=£c°sq[sm>,设从尸）=4cos4一sin/,

故"（/7）=—，sin/7<0,Pe（0，m，故〃（尸）单调递减，

旦〃（0）=4>0,/?（3=一1<0,故存在凡使〃（用）=0.

8

g(⑶在(0,月)上单调递增，在/30,~上单调递减，

g闺=2,当尸-0时，g(6)-1,故g(1)min=g(，)=2‘B正确;

V27TC\Zy7t

/(4)=。加(1一月)+1114在区间(0,1)上增函数，则/(0=-acos(l—m+]之0,

即黑外。5；1_/)恒成立,

设MD=/?cos(l-#),则4'(力)=cos(l-尸)+4sin(l—/?)>0,

故M4)在(0,1)上单调递增，故P(夕)=)cos；-夕)在(°，1)上单调递减，〃(1)=L

故aWl,。错误；

D.若/'(4)=sin(仍+°)_2cos(仍+同，0<0<%，满足/(1+1)=/(1-4)，则sin2o=_|'

/(/7)=sin(仍+0)-2cos(S+o)=石sin(仍+夕一。),其中tana-2,ae(。,、)

/(4+1)=/(1—4)，即函数关于分=，对称，故行+夕一a=]+攵乃,左eZ,

即2(p=—7t+2a+2k/r,keZ,

4

sin2^=sin+2a+2k7t)=-sin2a=-2sinacosa=--,故£)正确；

故选：ABD.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，其中第16题分值分配为前3分、后2分，满分共2()分)

13.在数列｛斯｝中，已知a,/=3%+|-2%，4=1,%=3,则数列｛为｝的通项公式如=.

【答案】2"-1

【详解】

解：将4+2=3a“+i-2a“两边同时减去a,l+l得，

%+2-4m=2(勺+|一%),生—4=2,

4+2-4+1=2

aa

„+l~n

9

即是等比数列，其首项为2,公比为2,

所以%+i—%=(%—q)2"一|=2n,

从而当，仑时,一一

2an=(4a,—)+(a,”4-2)■1----F(4-4)+a1

,1x(1—2")

=2"-'+2"-2+.--+2+1=―------2=2n-l

1-2

又q=1=2—1,故为=2"-1

14.在四棱锥P—ABCD中，PA±^ABCD,PA^AB=AD=\，BC=CO=60=百，则四棱

锥的外接球的表面积为.

【答案】5乃

【详解】

•.•A3=AP=1，BD=<3，由余弦定理得cos/4BO=——------------------=—.ZABD=30°，

2ABBD2

•;BC=CD=BD=6.•.NCB0=6O。，则/ABC=90同理可知NAOC=90°，

AC,

ABIBC,A。，8,二四边形ABC。的外接圆半径为r=-----=1,

2

FW4-

;/%_1平面ABC。，所以，该四棱锥的外接球半径为7?=1

因此，四棱锥的外接球的表面积为4%/?2=5%.

故答案为：5n.

B

2

is.如图，A，4分别是双曲线c：_?一二=1（“>0）的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐

10

近线于点M，直线交另一条渐近线于点N,若M〃而,则。=，若尸2为双曲线右

焦点，则△MF2。的周长为.

【答案】33+77

【详解】

由已知，。4=1,渐近线方程为y=土疝，则tanNAQN=6,cosN&ON=-T=1=,

Zyj\+a

,所以ON=04cosNAON=-J—，又〃雨,。为中点，所以M4]=2NO=

y/l+a'

21

I--------,又NMQ4=NNQ4,所以cos/MO4=;——,在口加。4中，由余弦定理

>/1+。<1+«

41

可得M4：=M。2+4。2-2知。TOCOSNMQA,B|J-1+1-2x,解得

a=3,所以cosNMQ4,=；,6(2,0),*0=2,在口”。鸟中，由余弦定理可得

22

MF2=yjMO+Fp-2MO-OF2COSZMOA,=Jl+4-2x2cos(%-NMQ4,)=

5+4x1=77,所以△MF2。的周长为l+2+J7=3+J7.

X"XWQ

16.设函数/(X)=〈3'一•

x,x>a

(1)若a=0,则f(x)的最小值为；

⑵若mbeR,使方程/(x)=。有3个不相等的实根，则实数a的取值范围是

11

【答案】0（0,1）

【详解】

“、x2,x＜0

（1）若a=0，则/（幻=｛：，

x',x＞0

当x=0时，/（无）的最小值为"0）=0；

（2）当时，/（X）的图象与直线y=b最多只有2个交点，如图（1）；

当0＜。＜1时，由于“3＜。2,故存在人€（/,〃），

使得/（x）的图象与直线y=b有3个交点，如图（2）：

当“N1时，/（%）的图象与直线y=8最多也只有2个交点，如图（3）.

综上可知，所求实数。的取值范围是（0,1）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

JT

17.在①AA5C面积50叱=2,②/AOC=-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC.

6

3万

如图，在平面四边形A8CD中，ZABC=—，ABAC=ADAC,，CD=2AB=4,求AC.

4

【答案】见解析

12

【详解】

解：选择①：

I[。

S^=--AB-BC-sinZABC=--2-BC-sin—=2

AABRCr224

所以BC=2jL

由余弦定理可得

AC1=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC

=4+8-2X2X2A/2X=20

2

所以AC=05=2后

选择②

4TT

设N84C=NCW=e，则0<e<上，ZBCA^--0,

4"4

AC2

ArAB

在机。中一^即.3万

sinsin--0

sinZABCsinZBCA414

V2

所以“0

sinR-^

AC4

ACCD

在澳。。中,，即〃sin。

sinZADCsinZCADsin一

6

所以AC=—J

sin。

2V2

所以而万=.（兀八）解得2sin6=cos。，

sin——0

（4）

又0<e<£,所以Sin8=且，

45

所以AC=，一=2右.

sin。

13

18.己知等比数列｛凡｝满足q,a2,%-4成等差数列，且44=%；等差数列也,｝的前〃项和

S“二^^求

⑴%，%；

(2)数列｛。也,｝的前项和，.

【详解】

(1)设｛%｝的公比为0

因为％,a2,成等差数列，

所以2%=4+(%—%)，即2a2=a3.

因为a,NO,所以4=5=2.

a2

因为卬q=。4，所以

因此%=2〃.

由题意，s.=(〃+D陲1妇”

"22

所以4=S]=1,4+&=§2=3,从而b2=2.

所以｛〃,｝的公差d==2-1=1.

所以2=4+—l)d=1+(〃-1)、=〃.

(2)令%=。也,则c.=n-2".

因此筌=G+。2+…+c”=1x21+2x2?+3x23+...+(〃-l>2"T+n-2"

X27；=lx22+2x23+3x24+...+(n-l)-2n+n-2n+1

两式相减得一=2+2?+23+…+2"-〃？e4n+'

=2,,+l-2-n-2,,+l=(l-n)-2,,+1-2.

14

所以7；=(〃-lX2向+2.

19.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关.

现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

平均温度x/℃21232527293235

平均产卵数％个711212466115325

力一)2

XyZ)

/=!i=l

27.42981.2863.61240.182147.714

_17

表中4=Iny,z=/£zj

7j=i

产卵4tA

350­

300­

250­

200-

ISO•

100-,

50-..,

0Le-JhiJ___L-»-II>_■I-I---------►

202224262830323436口修

（1）根据散点图判断，y=a+反与y=ce"（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平

均产卵数V关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求

出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况

均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p（O</?<l）.

（i）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为了（〃），求./•（〃）的最大值，并求出相应的概率

Po-

15

(ii)当/(.)取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.

附：对于一组数据(士,4),(马,Z2…七,z7)，其回归直线z^a+bx的斜率和截距的最小二乘法估计分

7

_可(Z1—可

别为：b=~~~-,a=z-bx-

£(苦—可2

1=1

【详解】

(1)根据散点图可以判断y=c*更适宜作为平均产卵数y关于平均温度X的回归方程类型.

对丁=。6”两边取自然对数得111)，=山。+於，令z=lny,a=Inc,b=d,^z=a+bx.

7

因为$=上、.....-_40.182八””“一

~=147.714"0'72°，所以。=三一标=3.612-0.272x27.429»—3.849'

£(西-耳

i=l

所以z关于x的线性回归方程为2=0.272X-3.849,所以V关于x的回归方程为y=e0272^3-849

(2)(i)由/(p)=C；p3(l_p『，得/'(p)=《p2(l_p)(3_50,因为0<”1,

,、33

令/"(〃)>。得3-5，>0,解得0cpe《：令/'(〃)<()得3-5/?<0,解得w<P<l，

所以/(p)在(0,13』)上单调递减，所以/(〃)有唯一极大值也为最大值.

上单调递增，在

所以当p=W时，/(°),皿=头，此时响应的概率

3O2JJ

3(3、

(ii)由(i)知，当/(p)取最大值时，p三，所以工口。5,-1,

5

所以E(X)=5x：=3,£>(X)=5x|x|=1

20.如图，在四棱锥P—ABC£)中，底面ABCD为梯形，AB//CD,AB1AD,AB=AD=2CD=2,AADP

为等边三角形.

16

p

R

AB

⑴当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由；

(2)若二面角尸―AD—6大小为150°,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

【详解】

解：(1)当P3=2夜时，平面•平面ABC。，

证明如下：在AEAB中，因为43=24=2,28=2收，所以43LP4，

又43LA3，ADr>PA=A,所以45J_平面PAO，

又AB1平面ABC£>，所以平面尸ADJ_平面ABC。；

(2)分别取线段AD,BC的中点O,E,连接PO,OE,因为AM)尸为等边三角形，。为AD的中点，

所以POJ.AO，O,E为AD,BC的中点，所以OE//AB.

又所以OELA。，故NPOE为二面角「一45一6的平面角，所以NPOE=150°，

如图，分别以C43E的方向以及垂直于平面A5CD向上的方向作为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐

因为。尸=石，NPQE=150。，所以P(0,—',?)，A(l,0,0),8(1,2,0),C(-l,l,0).

可得通=(0,2,0),=(1,1,-^-),PC=，

2222

设力=(x,y,z)为平面PBC的一个法向量，则有而不=0,而不=0,

17

7

x+—y-回z=0

22

即<令x=l,

5GA

—x+—y-——z=0

22

可得3=(1,-2,-4百),

设AB与平面PBC所成角为6,则有sin3=

\AB\\n\

---4-------2-

2#+(—2)2+1扬2-屈

所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为撞3.

53

21.己知函数/(x)=xlnx-'|■x2-X+”.

(1)若f(x)在其定义域内不是单调函数，求实数。的取值范围；

(2)若函数/(X)存在两个极值点玉，%，且玉</，设4>0,不等式为・芯>/”恒成立，求实数X的

取值范围.

【详解】

(1)函数f(x)的定义域为(O,+8)，f'(x)=\nx-ax,

考虑函数y=lnx的图象与直线丁=口的位置关系：

当时，直线丁=办与函数y=lnx的图象有唯一交点，设为

则.f(x)在(0,〃)上单调递减，在(〃,TS)上单调递增，符合题意.

当a>0时，设过原点且与函数y=ln尤的图象相切的直线的斜率为k,

设切点为A(m,\nm),则Z=/lx=„,=—,

m

「.Inm1Inm1

乂Z=----,即r1rl—=----,解得m=e,所以左二一.

mmme

当时，/'(x)<0恒成立，

e

18

/(x)在(0,+8)上单调递减，不合题意，所以0＜。＜:,

综上所述，实数”的取值范围为

(2)由X]•尤；＞,得In玉+2In々＞4+L

由(1)可知再，9是方程lnx-af=0的两根，

即InXy-ax},lnx2-ax2,

所以原不等式等价于＞1+2.