新教材2023-2024学年高中数学第2章平面解析几何初步2.5圆的方程2.5.1圆的标准方程课件湘教版选择性必修第一册

第2章2.5.1圆的标准方程课标要求1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征;2.能根据所给条件求圆的标准方程;3.理解点与圆的位置关系.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点1圆的标准方程圆的图示圆的定义圆是平面内到一定点的距离等于

的所有的点组成的集合,这个定点即圆心,而定长就是半径

这些点构成了圆的圆周圆的标准方程

r>0圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程

,把它叫作圆的标准方程.

特别地,圆心在原点(0,0),半径为r的圆的方程为

定长

(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2名师点睛1.圆心在原点,半径为r=1的圆称为单位圆,其方程为x2+y2=1.2.同一个圆,由于建立的坐标系不同,圆的方程也不同.3.几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r≠0)过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2(r≠0)圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2(r≠0)条件方程形式圆心在x轴上且过原点(x-a)2+y2=a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2+(y-b)2=b2(b≠0)与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-a)2=a2(|a|≠0)过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆.(

)(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圆的半径一定是a.(

)(3)圆x2+y2=r2上的所有点都在两条平行线x=r,x=-r和两条平行线y=-r,y=r围成的正方形内.(

)××√2.确定圆的基本要素是什么?3.若M(x0,y0)在圆x2+y2=25上,则x0,y0的取值范围分别是什么?提示确定圆的基本要素有两个,即圆心(位置)与半径(大小).提示x0∈[-5,5],y0∈[-5,5].知识点2点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点在圆上d=r此时点的坐标可以代入圆的方程(x0-a)2+(y0-b)2=r2位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆内d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2知识点3点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上.(

)(2)点(a,b)一定在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)内.(

)(3)点P(1,3)在以A(2,-1)为圆心,5为半径的圆外.(

)2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(

)A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不确定×√×B解析

∵12+32<24,故点在圆内.重难探究·能力素养全提升探究点一圆的标准方程【例1】

求圆心C在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.分析

解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,还可以利用几何性质求出圆心和半径.解

(方法1)∵点C为圆心,且点C在直线x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)线段AB的中点坐标为(0,-4),直线AB的斜率kAB=,∴弦AB的垂直平分线的斜率为k=-2,∴弦AB的垂直平分线的方程为y+4=-2x,整理得2x+y+4=0.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法3)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),变式探究1将本例改为“过点A(2,-3),B(-2,-5)且以线段AB为直径”,求圆的标准方程.解

由于圆的直径为线段AB,因此圆的圆心即为线段AB的中点(0,-4).变式探究2将本例改为“过点A(2,-3),B(-2,-5)且圆心C在x轴上”,求圆的标准方程.解

(方法1)因为该圆过A(2,-3),B(-2,-5)两点,所以圆心一定在线段AB的中垂线上.由kAB=,则线段AB中垂线的斜率为k=-2.又线段AB的中点坐标为(0,-4),因此线段AB的中垂线的方程为y+4=-2x.(方法2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).故所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=5.规律方法

求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是确定圆心C(a,b)及半径r,其求解方法:首先考虑几何法,通过借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径(如方法1、方法2).一般地,在解决有关圆的问题时,利用圆的几何性质可以简化计算.其次是利用待定系数法,如方法3,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程,此法思路清晰,但是计算量较大.探究点二点与圆的位置关系【例2】

已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系.分析

根据题意求出圆的标准方程,然后判断点与圆心的距离与半径的大小关系.规律方法

点与圆的位置关系及其应用(1)位置关系的判断①几何法:判断点到圆心的距离与半径的大小关系;②代数法:将点的坐标代入圆的方程左边,判断与r2的大小关系.(2)位置关系的应用代入点的坐标,利用不等式求参数的取值范围.变式训练(1)点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的关系是(

)A.点M在圆C外B.点M在圆C上C.点M在圆C内D.不确定与a的取值有关A(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,则实数m的取值范围为

.

(0,5)解析

由于点P(-2,4)在圆的外部,所以有(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程(x+1)2+(y-2)2=m表示圆,所以m>0.因此实数m的取值范围是(0,5).本节要点归纳1.知识清单:(1)圆的标准方程;(2)点与圆的位置关系.2.方法归纳:利用圆的定义求圆的标准方程,几何性质法、待定系数法求圆的方程;几何法、代数法判断点与圆的位置关系.3.注意事项:求圆的标准方程时,依据题意恰当地运用圆的几何性质解题,可以化繁为简,提高解题效率,而使用待定系数法则运算较为复杂.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,圆心是(a,b),半径为r>0.学以致用·随堂检测全达标1234561.已知圆C

的圆心坐标为(2,3),且过原点,则圆C的标准方程为(

)A.(x-2)2+(y-3)2=9B.(x+2)2+(y+3)2=16C.(x+2)2+(y+3)2=13D.(x-2)2+(y-3)2=13D1234562.动点M到点(0,-2)的距离为5,则动点M的轨迹方程为(

)A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y+2)2=5C.(x+2)2+y2=25D.x2+(y+2)2=25D1234563.若点(3,)在圆x2+y2=16的内部,则a的取值范围是(

)A.[0,7)B.(-∞,7)C.{7}D.(7,+∞)A解析

由已知得a≥0,且(3-0)2+(-0)2<16,所以0≤a<7,故选A.123456A.π

B.2πC.4π

D.8πC1234565.若点P