第05讲 空间向量与立体几何（原卷版）

第05讲空间向量与立体几何1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4．空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0一．空间向量的线性运算例1．（1）四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（

）A． B．1 C． D．2（2）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（

）A．B．C．D．（3）在斜三棱柱中，的中点为，，则可用表示为_______________．（4）如图，已知空间四边形ABCD中，，，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量表示)【复习指导】：用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.二．共线定理的应用例2．（1）已知空间向量，，（其中x、），如果，则（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1（2）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件（3）（多选）若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（

）A．P∈直线AB B．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线【复习指导】：证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))（4）(多选)下列各组向量中，是平行向量的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)三．空间向量基本定理的应用例3．（1）若空间向量共面，则实数__________.（2）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________．（3）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(=1\*romani)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(=2\*romanii)判断点M是否在平面ABC内．【复习指导】：证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．（4）如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．判断向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．四．空间向量数量积及其应用例4．（1）（多选）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（

）A． B． C． D．（2）空间四边形中，，，则的值是（

）A． B． C． D．（3）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．（4）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）．A． B．97 C． D．61（54）已知，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．（6）（多选）已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（

）A． B．C． D．【复习指导】：(1)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．(2)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(3)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(4)可以通过|a|＝eq\r(a2)，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．五．向量法证明平行、垂直例5．（1）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(=1\*romani)证明：B1D⊥平面ABD；(=2\*romanii)证明：平面EGF∥平面ABD.（2）在三棱台ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O为AC的中点，P是C1C的中点．证明：平面A1BC⊥平面POB.（3）如图，在三棱锥P-ABC中，，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知．(=1\*romani)求证：AP⊥BC；(=2\*romanii)若点M是线段AP是一点，且．试证明平面AMC⊥平面BMC．【复习指导】：(1)利用向量证明平行问题①线线平行：方向向量平行．②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．③面面平行：两平面的法向量平行．(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直1．如图，在中，点分别是棱的中点，则化简的结果是（

）A． B． C． D．2．下列命题中正确的是（

）A．空间任意两个向量共面B．向量、、共面即它们所在直线共面C．若，，则与所在直线平行D．若，则存在唯一的实数，使3．已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面4．如图，在四棱锥中，平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，，，，，为等腰直角三角形，点F在棱上，若点P为DB的中点，且平面，则点F的坐标为（

）A． B． C． D．5．在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°6．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．7．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，，则x＋3y等于（

）A． B． C． D．8．下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量平行，则所在直线平行B．若向量所在直线是异面直线，则不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面9．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．10．如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（

）A． B． C． D．11．如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（

）A． B．1 C． D．12．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（

）A．1 B．0 C．-1 D．-213．在三棱锥中，，，，则（

）A． B． C．1 D．14．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（

）A．1 B． C． D．15．若，，则等于（

）A．5 B． C．7 D．16．已知，，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．17．如图，在平行六面体中，，，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．418．已知正四面体的棱长为1，且，则（

）A． B． C． D．19．四面体中，，则（

）A． B． C． D．20．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（

）A． B． C． D．21．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（

）A． B． C． D．22．已知为标准正交基底，，则在方向上的投影数量为（

）A．1B．－1C．D．－23．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（）A． B． C． D．24．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面25．（多选）已知向量与共线，则实数λ的值可能是（

）A．－3B．2C．D．026．（多选）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．27．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的是（

）A．若非零向量，，满足，，则有B．任意向量，，满足C．若，，是空间的一组基底，且，则四点共面D．已知向量，，若，则为锐角28．（多选）已知空间向量，则（

）A． B．是共面向量C． D．29．（多选）下列说法正确的是（

）A．设是两个空间向量，则一定共面B．设是三个空间向量，则一定不共面C．设是两个空间向量，则D．设是三个空间向量，则30．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．31．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________.32．已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)33．正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.34．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则______．35．在四面体中，棱，，两两垂直，且，，，为的重心，则______．36．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.37．如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______．38．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________．39．如图，在底面为菱形的平行六面