黎卡提方程的初等解法

论文第9页共10页黎卡提方程的初等解法摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。

关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程引言常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。意大利数学家黎卡提于1724年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。达朗贝尔在1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程不同于线性微分方程之处是还多含一项，但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展。但要彻底解决黎卡提方程的求解问题，仍需要进一步探讨和研究。我们知道，黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解，但在一些特殊情况下却有初等解法，那么，在哪些情况下有呢？本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，最后举出它的应用举例。1.预备知识考虑(1.1)其中函数和是连续函数，而且不恒为零。方程(1.1)通常叫作黎卡提方程，这是形式上最简单的非线性方程。为了方便说明，我们首先给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法，并给出其通解表示。1.1类型1变量分离方程形如（1.2）的方程称为变量分离方程，其中,分别为的连续函数。其求解方法为：对于变量分离方程当，分离变量得两边再同时积分得（其中C为任意常数）特别地，当时，方程的通解为（1.3）注意：在变量分离的过程的过程中，必须保证，但如果有根为，则不难验证也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。例题解方程并求满足初始条件：当x=0时，y=1的特解。解将变量分离，得到两边积分得因而，通解为（c为任意常数）此外，方程还有解y=0.为了确定所求的特解，以x=0，y=1代入通解中决定任意常数c，得到c=-1因而，所求解为1.2类型2一阶线性方程一阶线性方程形如（1.4）其中函数P（x）和q（x）在区间I上连续。当时，方程（1.4）成为（1.5）方程（1.4）()叫作非齐次线性方程，而(1.5)叫作与(1.4)相应的齐次线性方程。关于齐次线性方程（1.5）的解，即为（1.3），由于（1.5）是方程（1.4）的特殊情形，因此可以设想方程（1.4）的通解应当是（1.3）的某种考虑到的推广；而这种推广（1.3）的一个比较简单的办法就是把任意常数变易为的待定函数，使得它满足方程（1.4），亦即求方程（1.4）如下形式的解(1.6)显然这也可以看成是对（1.4）进行未知函数的变量替换，即将求未知函数y(x)换成求未知函数C(x)。将（1.6）代入方程（1.4）得亦即两边对x积分推得(1.7)其中为任意常数。将（1.7）代入（1.3）即得方程(1.4)的通解例题求解方程解由通解公式得或有时方程关于y,不是线性的，但如果视x为y的函数；方程关于x，是线性的，于是仍可以根据上面的方法求解之。1.3类型3伯努利方程形如的方程称为伯努利方程，其中为常数，而且和，是在某个区间内的已知函数，对于这类方程，只要借助变量代换就可以化为线性方程。即伯努利方程可转化为两边同时乘以得然后令，就有于是伯努利方程就转化为这是关于未知函数的一阶线性方程，它的通解可由常数变易法求得，最后代回原变量，就得到伯努利方程的解，显然也伯努利方程的解。例题求解方程解做变换，则方程可化为这是n=2的伯努利方程，令在，代入上式，化简得线性齐次方程的通解为设，代入线性非齐次方程，得因此，线性非齐次方程的通解为代入原变量，得原方程通解即结构示意图黎卡提方程变量分离方程一阶线性方程伯努利方程2.黎卡提方程可积的充分条件在这一部分中，将给出黎卡提方程可积的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解。定理2.1[3]如果已知方程(1.1)的一个特解，则方程(1.1)可用初等积分法求得通解。证设方程(1.1)的一个特解为，对方程(1.1)作变换，代入方程(1.1)得到(2.1)由于是方程(1.1)的解，则在(2.1)中消去与之相关的项以后，可得这是一个伯努利方程，由前面的讨论知此方程可以用积分法求出其通解。定理2.2当都是常数时，方程有初等解法（显然方程可化为变量分离方程，于是有初等解法）。定理2.3当时，方程有初等解法。（此时方程为伯努利方程，于是有初等解法）定理2.4若，方程有初等解法。证由已知条件，黎卡提方程(1.1)可化为，则令，则于是有即为伯努利方程，于是可积。定理2.5设黎卡提方程形如(2.2)其中都是常数，且设，又设和，则当时方程可通过适当的变换化为变量分离的方程，即此方程能用初等积分法求解。证不妨设（否则作自变量变换即可），因此代入方程(2.2)，考虑方程(2.3)当时，(2.3)是一个变量分离的方程，当时，作变换，其中是新的未知函数，然后代入(2.3)得到这也是一个变量分离的方程;当时，作变换其中和分别为新的自变量和未知函数，则(2.3)变为(2.4)其中，再作变换其中和分别为新的自变量和未知函数，则(2.4)变为(2.5)其中方程（2.5）与(2.3)在形式上一样，只是右端自变量的指数从变为l，比较m与l对k的依赖关系不难看出，只要将上述变换的过程重复k次，就能把方程(2.3)化为的情形；当时，(2.2)就是(2.4)的类型，因此可以把它化为微分方程(2.5)的形式，从而化归到m=0的情形。定理2.6若黎卡提方程形如，则方程可积。证令z=xy，则，代入原方程得整理得即易见此方程可用变量分离法求解，然后根据求解。3.一些具体的黎卡提方程的求解例1求解方程解将方程改写为这是黎卡提方程，观察出是它的一个解，于是作变换代入方程，得这是一个伯努利方程，它有解当时，再作变换代入方程即得解线性方程，得整理得代回原变量，得原方程得解为例2解方程解易知满足定理1.4的条件，于是方程可化为令则为伯努利方程，再令则即于是可得通解为例3求解微分方程解这是黎卡提方程，由观察法不难看出y=1是方程的一个特解，则可用定理1.1的方法令y=1+u是方程的一个特解，代入方程得此方程是伯努利方程，令则代入方程可得所以从而原方程通解为例4求解方程解这是利卡提方程，观察出是它的一个解，于是坐变换代入原方程，得到这是一个伯努利方程，在做变换代入上述方程，即得解线性方程，得到整理得代回原变量，得原方程解为4.应用实例在动力学中的应用例：一质量为m的物体，在在粘性液体中由静止自由下落，假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律。解：（一）模型建立：取物体下落的那条铅直线为ox轴，且设当t=0时，x=0，v==0.由于物体下落时，受到重力与阻力的作用，已知重力大小为mg，方向与运动方向一致，为正；阻力大小为kv（k为比例常数），方向与运动方向相反，为负。故运动所受净力为F=mg-kv根据牛顿第二定律，列出微分方程及初始条件是模型求解将上述方程变量分离，得积分得即解出v，得这就是落体运动速度v与时间t的函数关系式。由此看出，当t时，，这个速度称为落体运动的极限速度。这表明，在经过适当长时间后，落体运动接近于等速运动。又因为，得注意到，当=0时，x=0，故积分得既这就是落体运动中，位移x与时间t的函数关系。5.结论虽然黎卡提方程在大多数情况下不能初等积分法求解，但在比如本文给出的一些充分条件下，黎卡提方程可以用初等解法求解。参考文献[1]陈向华白晓东.常微分方程.内蒙古大学出版社.2002[2]E．卡姆克．常微分方程手册.北京：科学出版社，1980．[3]GMMurphy．OrdinaryDifferentialEquationsandTheirSolutions．Ne