动力系统的概念

动力系统的概念这一章是对于事实的调查，而且来源于应用于全书的动力系统理论。我们的主要目的是为后面的章节确定固定使用的常用符号和专业术语，并且回想一些常常在课本的前言中不被讨论的理论的一些方面。为了更容易的阅读，我们保持讨论时采用非专业术语，并尽可能地避免技术上的符号和观点。然而许多遗漏的细节可以从研究生使用的动力系统的课本的前言中找到，一些更加先进的课题仅仅在研究性的文章中涉及到。在某些情况下，我们将提供一些在更深的章节中关于这个主题的参考。另外，我们鼓励读者使用附录A和B作为基于不同的几何和函数分析的参考。流量，映射，动力系统对于任意的集合P,-个变换群Ft:PtP中的任意的一个参数t属于实数，如果Fo(x)=x对于所有的x属于集合P,并且Ft+s=Ft。Fs对于任意的t,s,属于实数都成立则被称为一个流。这两个属性表明Ft和它的逆Ft是不可以转化的。这一组合(pFt)叫做基于空间P的一个连续的动力系统。换句话说，一个连续的动力系统包括一个可能状态集合和唯一决定将来状态Ft(x)的当前的状态函数x的变化规则。通过x这一点的变化轨迹是集合丫(x)=UFt(x)。一个固定点的流是一个点X且Ft(x)二x对于任意的teR都成立。teR这个流的一个周期的轨迹就是通过这一点X对于那些存在的正数T,并且满足Ft(x)二x的这样的轨迹。如果用以上所说的映射族Ft定义只需t>0，且对于所有的t，s满足Fo(x)二x和Ft+s=Ft。Fs，则Ft叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。当有单独向映射f:PtP且存在(P,f)时，离散动力系统是确定的。这样的系统还有一些性质即通过f的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态f(x)f2(x)...。这时x的取值范围是确定的在集合丫6)二Ufn(x)中，其中neZn上面离散动力系统的定点x是点xwP且f(JC)=x的点。k点的周期是对于点xeP有fk(xLx且对于所有的j<k有fj(xLx。对于xeP, )的极限集合是确定的,w(x)=(eP|3nfg:fn(x)Tqli如果/是可逆的，则x的a极限集合可以定义x的关于/tw极限级。注：连续型动力系统的一一映射xIFi(x)定义与离散型动力系统在相同的拓扑空间中。一一映射不能得到基础流量的全部性质，但是能够继承很多相似的特征。另一个庞加莱映射提供了流的频闪图片，它的构造如下：假设P是忙上的一个开集合，工是在P中一个超曲面(即光滑的(m-1)维流行)。假设丫。)的任意轨道，xe工，横向的相交于一点是不同于x的。然后第一个返回时间工(x)是确定的对于xe工即t(x)=min{>0Ft(x)eE}。映射 P:工T工，xIFt(x)(x),叫做第一返回映射或庞加莱映射设联系在一起的流量Ft。超曲面通常被称作相应的庞加莱截面。一一映射和第一返回映射和基础流和庞加莱截面一样光滑。常微分方程和动力系统这本书大部分叙述的常微分方程形式x=f(x,t)这里xePuRn，f是一个充分光滑的向量场确定的PXR。集合P叫做方程的象空间，同时PxR叫做扩充相空间。常微分方程叫做独立存在的如果f没有明确的时间相依性，如下f6,t)三f6)。流量和自治的方程结合起来单参数变换群Ft:P—>Rn,X—xC,X),ooX0表示为解决xC）的初始状态，如下，x（0）=X0。根据常微分方程的基本理论，函数Ft的像（）的右边一样光滑，同时关于t也是光滑的。如果f依赖于Cr形状的参数，那么Ft也是Cr类的随着关于那些参数的变量。非自治的常微分方程不能产生流，因为解乙;to,xo）明确取决于初始时间10且x（to；to,Xo）=Xo。其结果是，我们可以得到X(+s；t,XX(s；t,x(t；t,X))oo ooo在一般情况下。然而，产生的映射Ft:PTP,toX X(t；t,X),o ooI_具有两个参数的集合存在，解的唯一性能保证和流类似的性能Ft。Fs二Ft,t0 t0因为乙+s；to,X°LX（s；to,乙;to,Xo））・注：在扩充的相空间P-R上扩充的常微分方程X=f(x,t),•=1,认为流F认为流FTt+T(X),t+T)t和常微分方程（）等价的公式是积分方程xC）二X+「f（X（T）,TIztoto作为未知函数X（t）。一些方程承认自治的线性项在它们的右边，当常微分方程能够写成X=Ax+g(x,t)，和相应的积分方程X(t)=eA(t-to)x+fteA(T-to)g(X(T),T)dT

ooto o

这个公式可以通过改进非齐次的，线性常微分方程x=Ax+gGQt）的通解获得。积分方程是在估计进展的解之间的距离或关于初始条件或参数的偏导数非常有用的。例如，一个有连续独立解的常微分方程的初始条件能够涉及到在积分方程（）中，写作|x（/;如，一个有连续独立解的常微分方程的初始条件能够涉及到在积分方程（）中，写作|x（/;x）—x（;xn」x00丿Wx-x„+fff(xG;x)ffL|x(r；x)-x(；xobt000当f特定领域，L>0是一个利普希茨常数然后，通过格朗瓦尔不等式，我们得到|x(t;|x(t;xWx这样证明要求的连续性。最后不等式的一个重要结果是如果x—x0<e-15和t—t」<匕,那么|x(/;x)-x\;x<5换句话说“在有限时间，O（5）接近的初始条件停留在O（5）接近”例如，在时间尺度上0（1）当5t0.这种论据是有用的很多时候在离散化动力学动力系统理论中。例如，它意味着时间T映射x Ft（x）的连续性对于任意在x和t处连续的流量Ft。目前，我们已经解决的只有实数上的常微分方程问题。微分方程的理论确定在一个流形中在局部坐标上是类似的。定义一个独立的常微分方程在一个流形上，需要一个利普希茨向量场在M上，例如，一个利普希茨映射f:MXRtTM,pt（p,v（p））然后和这个向量场相应常微分方程是系统p=v（p）liouville定理一个自治的常微分方程流的一个重要的特征是其在体积元素上的作用，例如，不管它是否压缩，扩大，或保存大量的集合的初始条件。如果VC）表示集合Ft（U）的体积的开集的初始条件UuRn，那么下面陈述liouville定理:

这个公式表示随意发散的向量场产生大量保持体积的流在Rn上。同样，有阻尼系统,divf>0,压缩拓扑空间的体积。同时，强迫系统divf<0扩展相空间的体积。这些观察结果对流具有重要的质的影响。例如，一个保持体积不变流的不动点不能够渐进稳定。至于在流形上的常微分方程，liouville定理能够叙述如下。让。作为一个在M上体积，和让v作为一个向量场在M上。通过公式，我们能够确定v关于Q的散度。=（divvQ这里的Qt）。表示在Ft处Q的拉回。如果vC）表示Q体积的Ft（U），那么我们可以得到—VQ (divvbdt t=0 u°在一个流形上积分形式的其中的含义,见附录。结构稳定性和分歧点假定两个向量场u和v是确定在一个有边界的流形M上的。这样的向量场叫做在M上的拓扑等效，如果那存在同胚映射h:MTM，把轨道上的u变换到轨道上的v保存它们的方向。拓扑等效向量场的例子在图显示出来。在紧流形M上，一个Cr类的向量场u是渐进稳定的，如果它是拓扑等价的对于在M上的任意其他向量场是在Ci的范围内充分接近于u。不严格的说，一个向量场是拓扑等价的，如果小的变形不能够改变它的在本质结构上。在二维空间中，贝秀多定理鉴定了渐进稳定性的向量场的特征。也就是，让M成为一个封闭的在平面上的磁盘。那么一个Cr类的向量场确定在M上是渐进稳定的，当且仅当每个平衡点和周期轨道都是双曲时,从章节意义上说,没有连接鞍点的轨线。此外,渐进稳定向量场的集合是开集，Cr的向量场是密集的在M上。此理论适用于开平面在二维空间的流形中，但是不适用于普通的二流形如二环面T2

当一个向量场u在一个Cr类的向量场中时可能是渐进不稳定，它相对于这个类的一个子集可能变成渐进稳定。例如，思考一个纯粹虚构的二维空间的哈密尔顿函数的向量场趋向于一个不动点，它的特征值不为零。这样一个向量场的所有轨道接近这个不动点的附近，在哈密尔顿函数承认限度的局部最大值或最小值。明显地，任意小的扰动都能改变这个不动点到槽中；因此，向量场在原点周围的任意封闭圆平面是渐进不稳定的。然而，对于哈密尔顿函数本身来说小的摄动可能仍然放弃附近的局部极限值，所以接近不动点的轨道可能会有点轻微的变形，但仍有坚持性。因此，最初的向量场在一个Cr类的哈密尔顿函数向量场中是渐进稳定的。在Cr类向量场的空间中的一个向量场U是确定的在M上，如果它不是渐进稳定的，被称为一个分叉点。作为一个分歧点，我们指的是通过一个分叉点作为交换参数在向量场中的一个用参数表示的族。一个不变的集合附近发生质的改变通常称作局部分歧点，然而质的改变涉及的扩展结构在相空间中叫做全局分歧。更多的了解分歧点的含义，请看ChowandHale[72],或着Gukenheimer,Holmes[145],Kuznetsov[221]。哈密尔顿系统古典的,精典哈密尔顿系统是众所周知的存在在物理学中。它们被不同形式的微分方程来描述其中G，PLRnXRn叫做典型变量，C2类作用H:RnXRnXRTR叫做系统的哈密尔顿量。整数n是指自由度的数量。哈密尔顿系统最常出现在用n自由度描述的机械系统的运动中。在此背景下，q是一个向量n的广义坐标，p是一个向量相应的广义动量。如果,机械系统是保守系统,例如,仅受和时间无关势能力,那么哈密尔顿函数仅仅是机械能量H=T+V，动能和势能的和。dt如果H没有显式依赖t，那么（）的解是守恒的，因为dHGQpC））三0.对于单

dt自由度系统，这是我们想象的轨道作为H水平面曲线的子集。除了体积保留，一个典型哈密尔顿系统的流有两个保持性能。首先，它保留了典型辛的特征从dqadp二工ndqadp的形式，例如，i=1i idpdp对于teR,(F丄表示Ft的拉回(见附录).因此，Ft是一个在流形(R2n,dqadp)上的辛映射(2n,dqadp)，于是也保存体积0 =(dqadp丄。(见附录+)。因为这种体积可能区别仅仅在在R2n上标准体积，dqadp我们断定就标准体积的拓扑空间R2n而言，典型哈密尔顿函数的流是体积保存不变的。换句话说，对于任意t，大量集合的初始条件U的体积是等于于大量的图像集合Ft(U)的体积。超出以上提及的保持性能，，写出动力系统的哈密尔顿形式，其优点在整个向量场X=Qq,Xp)=(DH，—DH)H p q能够被一个实函数H复制。此外，哈密尔顿函数本身告诉你很多哈密尔顿量流。例如，Ft的不动点仅仅是临界点H，例如，DH=0的点。不懂点的稳定性明显的取决于影响性能的H。如果H具有局部最小值或最大值在p点，那么p是一个稳定的不动点，因为这样运用H来决定作为一个李雅普诺夫函数。在Rn上，经典的哈密尔顿系统的概念能够推广的一个辛流形。观察的结果是对于任意u=(u)eTR2n，一个典型的哈密尔顿向量场XH满足q,p x=DH(x)•u,i(dqadp]=dqadp忙d)=：Xq,u—Xp,u::其中我们用过的公式()和附录A里的一些符号。因此，我们可以得到(dqadp丄=DH(x)•u,或相当于X(x)=(dqadp)DH(x)。)(附录)H这最后一个表达式提出在任意2n维空间辛流形(M,①)上推广的哈密尔顿系统。让我们考虑

类C2的函数H:MTR.哈密尔顿函数的向量场X:MTTM和H联系起来能够确定H向量场 X \dh］。H我们给出了几何的定义在图.相当于，X是具有哈密尔顿变量H的哈密尔顿函数如Hi①XHi①XH(x)[u]=x)[X/x),u二DU-u,对于所有的ugTM。最后，微分方程xX=X(x)H叫做哈密尔顿系统通过哈密尔顿变量H生成的在(M,o)水平面上的集合H，E()=4gM|H(x)=h[叫做能量面。由隐式函数定理，如果保持DH(x0对于所有xgE(),E(h)是一个流形。在那种情况下E(h)是一个M的余维数1一个子流形，叫做常规能源表面。如果包含L能源表面E(h)，M任意子集L叫做等能道。有时M的两个子集包含一样的能源表面也是提到的等能道广义的哈密尔顿系统，拥有经典哈密尔顿系统的所有保持性能。例如，过()的解哈密尔顿变量H被固定，因为—H(x(t))=DHCQXx(x(t))］dt H=o(x(t))X(x(t)),X(x(t))=0,HH我们经常在()用到的。这意味着()的轨道局限于H的能量面。对于辛保存的证明来自o通过()的流量，看亚伯拉罕和马斯登L］或者阿诺德bl］。体积Q的保存遵循附录。哈CO密尔顿系统的性能延续到它们的庞加莱映射。特别是，对于一个n维自由度的哈密尔顿系统,如果丫是一个(2n-2)维的庞加莱截面在一个固定的能量面内，那么限制辛的形式OE=o|Z是非退化的，相应的庞加莱映射P:StZ(如果定义)是辛映射。例如，P①二①*E X让我们考虑一个映射f:MTR。变化率f沿着一个哈密尔顿向量场X的轨迹能够H计算因为If(xQLDf(xQk(xQ)]dt H=DfC(t))&C(t))DHC(t))={f,H},L L 」」 x(t){J是泊松括号由辛形式®诱导而来(见附录)的哈密尔顿系统的首次积分是一个常数解的函数，以上公式表明f是不变的当且仅当{f，H}三0例如，当且仅当f是退化的随着H。一些向量场能够写成哈密尔顿形式在开集中，但是没有在整个的相空间上。例如，思考相空间M=RxS1和坐标(1,0)和辛的形式d®adI。微分方程I=-1&=0容许哈密尔顿函数H(1,0)=0在M的开子集上,但是这种函数不能扩展到一个全局性的确定的平稳的函数在M上,因为它在®中不是周期性的。一般来说，如果对于任意xeM有一个x的邻域U，X是一个受限于U的哈密尔顿变量，在辛流形(M,①)上的一个向量场X叫做局部哈密尔顿量,。注：X是一个局部哈密尔顿变量当且仅当单形®6Xx(x),•]是闭的对于所有x来说。Poincare-Cartan积分不变式目前为止我一直认为只有独立哈密尔顿函数向量场，但是在经典力学中也有人遇到过这样的微分方程形式q=DH(q,pp--p--DH(q,qP，t)这样一个系统源自一个依赖时间的哈密尔顿变量H通过典型的辛形式dqadp，正如它的自治系统。然而，一些独立哈密尔顿系统的保守型能无法对（）满足。例如，哈密尔顿函数通常不转换解的方向。一个重要的保守性能是适用于独立和不独立的情况是积分Jpdq-Hdt在扩展的相空间的渐进线上。这个积分叫做Poincare-Cartan积分不变式，制定精确地保守效果是下面的情况。让r作为初始条件t二t处的渐近线。表示曲线的像在流的作用下扩展相空间记00为Y二Ft©）。那么,t t00Jpdq-Hdt=Jpdq-Hdt% J简言之，Poincare-Cartan积分不变式在扩展的相空间（是沿着随着t=常数平面与“隧道”交叉的解保守的见图）。对于一个Poincare-Cartan积分不变式的几何证明，见，例如，Arnold[21]生成函数哈密尔顿函数方程（）证明是等价于极限化积分Jpdq-Hdt，例如，它们来源于条件5Jpdq-Hdt=0.因此，如果我们改变变量（p,q） （P,Q）保持规范的辛结构，那么我们必须有九(pdq-Hdt)=PdQ一Kdt+a九是一些标量乘数，K（P,Q,t）是被转化的哈密尔顿变量a是一个封闭的单形。为了简单,我们让九=1和寻求那就可以保证（）条件，因为闭型是确定在简单的欧氏空间连接的地区，我们可以改写（）如pdq-Hdt=PdQ-Kdt+dS对于一些实值函数§。d(pq)=qdp+pdq无解，我们进一步改写这个方程如—qdp—Hdt—PdQ+Kdt=-dS,其中S=pq—S。这个最终公式结果表明，任何函数S(p,Q,t),一种依赖时间变化的变量变换(p,q)I(P,Q)满足q=DS,P=DSpQ将会导致一个典型的,时间相依的哈密尔顿系统通过哈密尔顿变量由此而论，函数S叫做生成函数，对于变量的变换(p,q)I(P,Q)利用生成函数的优点是不用必须完成转化为整个哈密尔顿系统的向量场；一种简单的计算哈密尔顿函数的方法来自(),源自新的向量场就通过规范的辛dQadP来自K。注：对于时间相依转型的哈密尔顿变量K仅仅是以新坐标表达初始哈密尔顿量H。对于更多的资料关于生成函数，见AbrahamandMarsden[4] Arnold[21]。无限维的哈密尔顿系统在这本书的第5章我们将会遇到哈密尔顿系统在函数空间上是确定的。因为大部分的分析将会限制在无限维流形，这里我们只说最简单的无限维哈密顿系统。作为一般参考书目，我们推荐ChernoffandMarsden^6]或者Abrahametal.[5]。把(M,o)一个不牢固的辛流形模式化在空间E上，让H:MTR作为一个C2类的函数(见附录B的定义)。一个哈密尔顿函数向量场是和H联系起来的向量场是X:MTTM满足Ho(xXx(x)u]=DH(x)・u,H

对于所有的uGTM.因为o假定为弱的非退化，在映射®b:TMTT*M上不是必须的，xxx因此X可能不存在对于一个固定的函数H。此外，尽管H是光滑的，X通常是确定的HH仅仅在M的子集上。然而，因为ob是单射，所以X是唯一的当它是确定的。如果o被H假定为强的非退化的，则哈密尔顿系统的一般形式在（M,o）是xt=X（x）=o[DH]H此外，XO—般不是处处确定的在M上。假如流是存在的，在无限维的情况下，能量的H性能和通过哈密尔顿系统的流的体积保守也拥有。或许无限维的哈密尔顿系统最著名的例子是线性波动方程u—u—0,ttxx和函数u（x,t）:RnXRtR.为了简单，我们限制n=1，假定u在x上是周期性的且周期L随着表达式v二u，方程能够改写成如tu=v,v=uxx考虑现在的流形m=h—b,l!xlHl]和能量函数perperH(u,v)=-JL(v2+u2>dx.2Lo xol^taol^ta,a)(P,P)]=丄JLaPdx-—JLPadx,uvuvL0uvL0uvuv%，o）来源于-个辛流形。我们现在计算哈密尔顿向量场XH ，XV）和H联系起来存在的M上。运用公式（）和从附录中L2-梯度的定义，我们可以写出丄JLXupdx-丄JLPXvdx=丄JLVHpdx+丄JLVHpdx.L0HvL0vHL0uuL0vv因为P和P是任意的，我们几乎处处可以得到Xu二、H=v和Xv H=u。uv Hv H u xx注：X是唯一一个在M上的向量场，如果我们限制致密的子集HD二H2b,l!xHibjuM。perper因此，系统()是哈密尔顿系统和能够写成如下U=VH(u,v)vv=-VH(u,v)u几乎处处在D上。事实上哈密尔顿系统存在半群理论的流(见Yosida1383］)。我们最后注解Xh是定义在M上意义上的全局分布。辛约化在经典的力学里，一个古老的技术就是通过研究哈密尔顿系统的周期对称性来减小它的维数。一个广义的哈密尔顿系统和普通的连续的对称性思想的延伸由辛约化理论给出。下面我们会详细描述，为了更详细的知道细节和结果，我们请读者参阅参考文献［4］AbrahamandMarsden和［21］Arnold(M,O)是一个辛流形并且G是一个李群(附录)。一个群里的映射0:GXMTM，如果对任意的geG，0是一个辛映射，也就是，°*3=®,则0称为偶对的。任何G的ggd子群g'将会引起在M上的流F'(x)=0,(X)并且符合的向量场X(x)=〒［0,(x)］是局g' dtg' t=0部汉密尔顿量。这由下面的公式给出，因为diO=LO-idO=0，X X X因为0(x)是偶对的并且o变化微小。我们对这种情况感兴趣，在这种情况下，X是g'全局哈密尔顿量并且子群g'上的函数可以被认为是哈密尔顿系统作用在(M,o)上的流。相应的哈密尔顿函数将会被认为是群函数里的动量映射，这是由于在经典的力学里，循环对称

的存在性，与角动量相似的角色激发产生的。为了让这些想法更加精确，设*是一个与辛流型（M,3）相关的辛函数，让J是一个从M到李代数映射的对偶空间g*。我们称J是一个动量映射，如果函数*满足：3(p)[g(p),山=dJ(p), 山,或者更细微地说，i；3=d{J(p),g：'。这里g是极小数，和函数并且：；•，」指的是对偶空间g*和g中的元素的序列对相关。为了避免介绍更多的注释，我们把我们的注意力限制在交换群中，也是阿贝尔群，在这个群中，群的乘法是可以交换的。我们在这本书遇到的对称性都是由阿贝尔对称群产生的为了在非阿贝尔群中的函数下的辛减约化，读者请参阅我们上面所标注的资源。在阿贝尔李群中，例如S1或者是R,我们可以根据下面的实行辛约化。假设我们已经确定了J是李群G中的函数的动量映射。回想：动量映射可以被想成是群函数的哈密尔顿函数。辛约化的思想包括建立一个新的级别J，然后关于群的函数采取商空间的水平。对任意固定的卩丘g*，被作用的空间P=Jt（p）/G被称做是约化相空间。图显示，约化的相空间是一个流形，如果卩是一个常量并且作用在J-1（卩）上G的函数是适当的和自由的。让兀：J-1 P作为商的投射，映射任意点pGJ-1C）到类[p]上对应的群的轨道Y（p）（见图）•派生的d兀（p）能够用来确定向量的等价类在任何切空间TJ-1C）也就是p说，一个拥有d兀（p）：u\u],在ugTJ-1C）中通过d兀（p）的映射b]'仅是向量的等p价类。它能够显示双形3是定义为pi是非退化的在P上，假如是一个正则值对于J和G的作用是适当的和任意的在M上。在那种情况下，（P,3）是一个辛流形，能够作为全部的哈密尔顿流的“模型”。这意味着如果Ft表示哈密尔顿流生成的简化的哈密尔顿函数H（x）=H兀-i（x）xgP,卩卩卩在辛流形（,①）上，那么在P上约化的流与在M上的全部哈密尔顿流量Ft交换，例如，兀。Ft=Ft。兀。研究在P上约化的流使得理解在拓相空间M上的动力学更容易。可积性系统正如我们所看到的那样，一个合适对称群的存在及其相应的守恒量有效地减少了哈密尔顿系统的一个自由度。如果在一个问题中能找到足够多的自由积分，那么连续减少最终将会形成单自由度汉密尔顿系统，而它又是可以根据面积来积分的，例如，用绝对值法求单积分的值。通过对称群及在减少过程中用到的相应积分而最终形成的一维自由度问题的解决方法可以重新构造全相空间结构。在绝大多数情况下，大部分的可积相空间中，n维自由度问题可归结为不变n维圆环面。Liouville-Arnold-Jost定理给出了上述论述的一个准确表达式，也就是下面我们将要描述的。（证明见Arnold[21],更多关于可积系统的知识见Arnoldetal.[22]）。设（M,w）是一个有限维辛流型，x=wt[DH]是定义在M上的哈密尔顿系统，含有平光滑汉密尔顿量H。假设对于（）存在n个积分F三H,F, ,F,它们彼此对合，例如，{FF}三0对所有的i和j成立。考虑联合式TOC\o"1-5"\h\z1 2 n i,j\o"CurrentDocument"M={xgMIF（x）=f,i=1, ,n}f i i并假设n个函数F.不依赖于M，那么M显然是哈密尔顿系统（）的一个不变流型。此匕外，i f f如果M是简洁的和关联的，那么Liouville-Arnold-Jost定理保•证了M微分同胚于n维ff圆环面Tn。在这种情况下，存在一个接近M的作用角度变量（I，e）GUxTn,其中UUn是个开集，这样对偶形就可以写成 底w=deadI=£deadI,ii

并且方程（）变为e=dh（i）,i=0.注意，在这些新坐标中，哈密尔顿H只依赖于I。此外，流是完全可积的，因为解决方案可写为e（t）=e（o）+dh（i）t, i（t）三i.100如果频率向量DH（i）的元素理性地独立于给定的n维圆环面i=i,那么结果是准周期100的，并且每一个都形成了圆环面的稠密子集。但是，如果频率是理性依赖的，那么所有的j解是周期性的，例如闭轨道形成了圆环面。这样的一个圆环面被称为谐振的。在一般的可积系统中，谐振圆环面在相空间中形成了一个零测度的稠密集，与此同时，不是谐振的圆环面通常会形成满测度的稠密集。在大多数情况下可积性的得出比不可积更难建立。对于n维自由度哈密尔顿系统，有一些准则能自动指出n个独立积分的不存在性。想要查阅这些准则，我们建议读者查看Kozlov[211],那同时给出了汉密尔顿动态系统几个方面的详细介绍。KAM定理和KAM定理和Whiskered环面可积汉密尔顿系统在它们的相空间中有很多要求。因为很多经典力学问题与一些可积系统类似，因此很自然地想到研究圆环面在小幅度扰动下的积分极限情况。在天体力学中，试图在近可积系统中建立持久不变圆环面始于Lindstedt和Deprit。但是，Ponicare注意到，他们对于持久不变圆环面的扰动系列大体上是发散的。发散的原因是小分母的出现，这又归因于谐振圆环面。KAM定理是在对形如h（i,e；w）=h（/）+£h（i,e；w）01的近可积汉密尔顿系统中的n维持久不变圆环面的研究结果中得出的。在定理的早期发展过程中，汉密尔顿H被假定为解析的，然后需要的条件被减弱到2n+1阶导数连续（见Poschel[312]或Arnoldetal.[22]）。KAM定理的主要结果是在相空间的有限开集U上非

退化条件D2H(I)丰0能否被满足，那么U中大量未被扰动的n维圆环面需要足够小的8>0.持久圆环面是连续的，接近于未被扰动圆环面，并且形成了测度是O(託)的开集，当ST0时，。接近U的测度。此外，如果等能的非退化条件(1.14)D2H DH(1.14)10 10主0DH 010成立，若要相同表述仍然正确就需要限制每个能面H=常量.上述基本结果的不同版本已经在近平衡椭圆圆环面，可移动退化圆环面，低维圆环面和对偶映射圆环面中得到证明。(更多最新记录见Arnoldetal.[22]或Broeretal.[49])。在这本书里我们将需要一个能够适用于持久whiskered圆环面，例如低维椭圆双曲稳定类型圆环面的定理。经过变量的合适改变后结果与Moser[285]—致。对于whiskered圆环面结果的调查，我们建议读者参考Delshams和