高考数学大一轮复习 第九章 概率 课时达标50 随机事件的概率试题

课时达标第50讲随机事件的概率[解密考纲]考查随机事件、频率、概率等概念，考查概率的概念、性质和加法公式，常以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是eq\f(1,4)，我每题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”这句话(B)A．正确 B．错误C．不一定 D．无法解释解析解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的．经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是eq\f(1,4).做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题、4题或12道题都选择正确．故选B.2．设事件A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，则A，B之间的关系为(A)A．两个任意事件 B．互斥事件C．非互斥事件 D．对立事件解析虽然P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，但A与B可能有交集，所以A，B不一定是互斥事件，所以A，B之间的关系无法确定．故选A.3．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D)A.eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝eq\f(24－1－1,24)＝eq\f(14,16)＝eq\f(7,8).故选D.4．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(D)A．0.45 B．0.67C．0.64 D．0.32解析摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙胜的概率为eq\f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为(C)A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)，eq\f(1,2)解析“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或设“甲不输”为事件A，可看做是“乙胜”的对立事件，所以PA＝1－\f(1,3)＝\f(2,3))).6．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是(C)A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生解析“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选C.二、填空题7．一个盒子中有10个大小相同的球，分别标有1,2,3，…，10，从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是__eq\f(1,2)__.解析取2号、4号、6号、8号、10号球是互斥事件，因概率均为eq\f(1,10)，故所求概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,2).8．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是__eq\f(3,5)__，他至多参加2个小组的概率为__eq\f(13,15)__.解析随机选一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝eq\f(11,60)＋eq\f(7,60)＋eq\f(10,60)＝eq\f(7,15)，恰好参加3个小组的概率P(B)＝eq\f(8,60)＝eq\f(2,15)，则他至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝eq\f(7,15)＋eq\f(2,15)＝eq\f(3,5)，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).9．2018年平昌冬奥会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为eq\f(1,2)，通晓中文和日语的概率为eq\f(3,10).若通晓中文和韩语的人数不超过3人，则这组志愿者的人数为__10__.解析设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，z∈N*，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y＋z)＝\f(1,2)，,\f(y,x＋y＋z)＝\f(3,10)，,0<z≤3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3，,z＝2，))所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.三、解答题10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解析方法一记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法二(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).11．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A，B，C能答对题目的概率分别为P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5)，诸葛亮D能答对题目的概率为P(D)＝eq\f(2,3)，如果将三个臭皮匠A，B，C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解析①如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目彼此互斥(即他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＝eq\f(47,60)，又P(D)＝eq\f(2,3)，∴P(A＋B＋C)>P(D)．∴三个臭皮匠为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮．②如果三个臭皮匠A，B，C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．12．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下表所示.所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的人数的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径？解析(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率如下表所示.所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.