安徽省宣城市高三下学期4月第二次调研测试数学（理）试题

2021年安徽省宣城市高考数学第二次调研试卷（理科）一、选择题（共12小题）．1.若为纯虚数，且满足，则＝（）A.2B.1C.﹣1D.﹣22.已知集合，，则＝（）A.B.C.D.3.函数部分图象大致为（）A.B. C. D.4.设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（）A.是的充分条件B.是的必要条件 C.是的必要条件D.是的必要条件5.采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．如图为国家统计局所做的我国2019年12月及2020年1～12月份的采购经理指数（PMI）的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的（）A.2020年1至12月的PMI指数的最大值出现在2020年3月份 B.2020年1至12月的PMI指数的中位数为51.0% C.2020年1至3月的PMI指数的平均数为49.9% D.2020年1月至3月的月PMI指数相对10月至12月，波动性更大6.设，，则（）A.B. C.D.7.已知抛物线的焦点，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则＝（）A.4B.C.2D.8.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A.B.C.D.9.已知函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象．给出下列命题：①的一条对称轴为；②在上是单调递增函数；③的一个对称中心为；④的最大值为1.以上命题中，正确的个数为（）A.0B.1C.2D.310.已知随机变量服从二项分布，其期望，当满足约束条件时，目标函数的最小值为，的展开式中各项系数之和为（）A.B.C.D.11.设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.512.已知关于的方程有三个不同的根，分别为，则＝（）A.3B.5C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知三个单位向量满足，则＝．14.曲线在点处的切线与曲线相切，则＝．15.如图，在四边形中，．若是的角平分线，则的长为．16.已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在体积为的球面上，它的两条边的长度分别为和，则的伴随球的表面积的取值范围是．三、解答题本大题共5小题，满分60分．解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分．17.已知为数列的前项和，数列是等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18.如图，直三棱柱中，，，，，，，分别是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19.已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率为，其中．（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于的任意一点，过点且与椭圆相切的直线与，分别交于两点，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．20.某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的1000名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间，，，，，内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率．（1）求频率分布直方图中的值，规定评分不低于80分为非常满意，60～80分为基本满意，低于60分为不满意，记游客非常满意的概率为．市文旅委对部分游客进行了继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为，且这次调查得分恰为分的概率为，求；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组．若从该小组中抽取2人进行咨询．记2人中非常满意人数为，求的分布列和数学期望．21.已知函数，其中．（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设．若在上恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；（2）射线，和曲线分别交于两点，与直线分别交于两点，求四边形的面积．[选修4－5：不等式选讲]23.已知关于的不等式有解．（1）求实数的取值范围；（2）若均为正数，为的最大值，且．求证：．

参考答案一、选择题（每小题5分）．1.若为纯虚数，且满足，则＝（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2解：∵，∴，∵为纯虚数，∴，故选：C．2.已知集合，，则＝（）A.B.C.D.解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．3.函数部分图象大致为（）A.B. C. D.解：函数是奇函数，排除选项B，A，或，当时，，对应点在第一象限，排除C，故选：D．4.设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（）A.是的充分条件B.是的必要条件 C.是的必要条件D.是的必要条件解：∵，，∴，故是充分条件，故A正确，由，得或异面，故不是必要条件，故B错误，由推不出，也可能与平行，故不是必要条件，故C错误，由推不出，也可能平行，不是必要条件，故D错误，故选：A．5.采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．如图为国家统计局所做的我国2019年12月及2020年1～12月份的采购经理指数（PMI）的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的（）A.2020年1至12月的PMI指数的最大值出现在2020年3月份 B.2020年1至12月的PMI指数的中位数为51.0% C.2020年1至3月的PMI指数的平均数为49.9% D.2020年1月至3月的月PMI指数相对10月至12月，波动性更大解：根据折线图可得，2020年1～12月的PMI指数的最大值出现在2020年11月，故A错误；根据中位数的定义，将2020年1～12月的PMI指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第五和第六位的两个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为，故B错误；根据平均数的定义，可求得2020年1～3月的PMI指数的平均数为，故C错误；根据图中折线可得，2020年1月至3月的PMI指数相对10月至12月，波动性更大，故D正确．故选：D．6.设，，则（）A.B. C.D.解：∵，∴，∵，即，∴，故选：D．7.已知抛物线的焦点，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则＝（）A.4B.C.2D.解：由题意，可知：．直线．联立，整理，得．解得，或．当时，；当时，．∴点坐标为．∵准线．∴点坐标为．∴直线斜率．∴，∴点坐标为．∴．故选：B．8.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A.B.C.D.解：在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况：①甲前三局全胜，概率为；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜，概率为．∴在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为：．故选：A．9.已知函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象．给出下列命题：①的一条对称轴为；②在上是单调递增函数；③的一个对称中心为；④的最大值为1．以上命题中，正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3解：将的图象向左平移个单位得，对于①，因为，所以不是的对称轴，所以①错；对于②，因为，所以在上是单调递减函数，，由复合函数单调性知在上是单调递减函数，所以②错；对于③，因为，所以关于对称，所以③对；对于④，因为，所以④错．故选：B．10.已知随机变量服从二项分布，其期望，当满足约束条件时，目标函数的最小值为，的展开式中各项系数之和为（）A.B.C.D.解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，即．∵随机变量服从二项分布，其期望，∴，即．∴，取，可得的展开式中各项系数之和为．故选：A．11.设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.5解：不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为，与联立可得；与联立可得，∵，∴，整理得，，即，∵，∴．故选：C．12.已知关于的方程有三个不同的根，分别为，则＝（）A.3B.5C.D.解：令，如图示：令，即，要使有不同的零点，则有2个不同的根，则或，或，或，故当时，，当时，，故关于的方程的其中1个根必须为2或﹣2，此时直线或直线时刚好与函数相切，当时，不合题意，故得，若，则该方程无解，不合题意，由，得：，当，此时，不合题意，当，此时，解得：，由，当，解得：，当，整理得，故，故，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知三个单位向量满足，则＝．解：∵三个单位向量满足，∴，∴，即：，∴，∴，故答案为：．14.曲线在点处的切线与曲线相切，则＝．解：对求导，得，∴，则曲线在点处的切线方程为，即．设与相切于点，对求导，得，由，得，即切点为．又切点在切线上，∴，即．故答案为：．15.如图，在四边形中，．若是的角平分线，则的长为5．解：中，，由余弦定理得，所以，又，由正弦定理得，所以，又，中，，由正弦定理得，所以，即的长为5．故答案为：5．16.已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在体积为的球面上，它的两条边的长度分别为和，则的伴随球的表面积的取值范围是．解：由题意可知，球的半径为，分别取球的两条弦的中点，则，即弦分别是以为球心，半径为1和2的球的切线，且弦在以为球心，半径为1的球的外部，的最大距离为，最小距离为．当三点共线时，分别取最大值与最小值．故半径分别为，半径为时，的伴随球的体积为，当半径为时，的伴随球的体积为．∴的伴随球的体积的取值范围是．故答案为：．三、解答题本大题共5小题，满分60分．解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分．17.已知为数列的前项和，数列是等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由为数列的前项和，数列是等差数列，设首项为，公差为，因为．所以，解得，故，当时，，当时，，所以．（2）由（1）得，，所以设①，②，①﹣②得，整理得，故．18.如图，直三棱柱中，，，，，，，分别是棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得．∵，∴，∴平面平面；（2）解：由（1）可得，平面的一个法向量为得，，，设平面的一个法向量为，由，取，得．，∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．19.已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率为，其中．（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于的任意一点，过点且与椭圆相切的直线与，分别交于两点，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）由条件可得所以，又，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）设，，所以，①对椭圆求导得，，所以，所以切线方程为，将①代入上式，得切线方程，分别联立，得，所以以为直径的圆，圆心为，半径，所以，因为，所以，所以，所以圆的方程为，令，得，得时，，所以为直径的圆是否过定点．20.某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的1000名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间，，，，，内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率．（1）求频率分布直方图中的值，规定评分不低于80分为非常满意，60～80分为基本满意，低于60分为不满意，记游客非常满意的概率为．市文旅委对部分游客进行了继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为，且这次调查得分恰为分的概率为，求；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组．若从该小组中抽取2人进行咨询．记2人中非常满意人数为，求的分布列和数学期望．解：（1）由频率分布直方图可得，，解得，游客满意的概率，由题意可知调查的人数为2人或3人或4人，若调查的人数为2人，则，若调查的人数为3人，则，若调查的人数为4人，则．（2）由（1）可得非常满意有5×＝2人，故的所有可能取值为0，1，2，，所以的分布列为：012数学期望．21.已知函数，其中．（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设．若在上恒成