河南省豫南豫北名校2023年招生全国统一考试考试（模拟卷）数学试题

河南省豫南豫北名校2023年招生全国统一考试考试（模拟卷）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．2．“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（）．A． B．C．或 D．或5．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（）A． B． C． D．6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体平均水平优于甲7．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为()A． B． C． D．8．已知实数，满足，则的最大值等于()A．2 B． C．4 D．89．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A． B． C． D．11．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米12．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是__________．14．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则.15．展开式中的系数的和大于8而小于32，则______．16．已知函数则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）当，且时，求的面积.18．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点．（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知函数（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：21．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．22．（10分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【详解】，，又，∴，即，∴．故选：D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．2、B【解析】

先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．3、D【解析】

先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.4、D【解析】

先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数，则由题可知，所以在时为增函数；由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；又，即即又为开口向上的偶函数所以，解得或故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.5、B【解析】

连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；【详解】解：连接、，，是半圆弧的两个三等分点，，且，所以四边形为棱形，．故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.6、D【解析】

根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.7、B【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为，由于，所以，故可得.故选：B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.8、D【解析】

画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以，所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.10、C【解析】

根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.综上所述，共有种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．11、B【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，故导线长度约为63(厘米).故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.12、B【解析】

通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】∵，∴，∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，，作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，，结合图象可知，<b<2，故答案为.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14、.【解析】试题分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比数列，∴.考点：等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.15、4【解析】

由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.【详解】观察式子可知，，故答案为：4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.16、【解析】

先由解析式求得（2），再求（2）．【详解】（2），，所以（2），故答案为：【点睛】本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隐含条件.（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根据三角形的面积公式即可计算得出.【详解】（1）由已知可得，所以，因为在锐角中，，所以（2）因为，所以，因为是锐角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【点睛】此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.18、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）取的中点，连接，通过证明，即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解.【详解】（1）证明：取的中点，连接．是的中点，，又，四边形是平行四边形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平面．连接，设，则，建立空间直角坐标系．设平面的法向量为，则，则，取．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.19、（1）或；（2）或.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围.试题解析：（1）等价于或或，解得：或.故不等式的解集为或.（2）因为：所以，由题意得：，解得或.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．20、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；（2）结合（1）