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2.7利用等价无穷小量代换求极限1、问题的提出无穷小的和、差、积仍为无穷小.无穷小的商是什么？引例:趋向于零的“快慢”程度不同.结论:x10.50.10.010.001…→02x210.20.020.002…→0x210.250.010.00010.000001…→02、两个无穷小的关系:定义：例1解：证注意：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．等价无穷小因子替换法替换方法：要么替换整个分子（分母），要么替换分子（分母）中的因子．证:常用的几个等价无穷小:注意：等价无穷小中，可以对相应的变量进行置换如：一般地，有：如果又如：例1解:例2解:例3解：例4解:此题用倒代换也可例5解：例6解：此题用倒代换也可例7解:例8解:由题意知注意：不能滥用等价无穷小代换.无穷小代换原则：乘除可以替换，加减不能单项替换，只能总体代换!!反例：解错解常用的等阶无穷小列举如下：

当

x

0时.

0

,

,

,

>ÎaNnm其中记住2.8函数的连续性一、函数改变量（或称函数增量）1、问题的提出

冰水吸收热量与温度的函数关系：我们知道，当冰加热到一定程度时，就会溶化成水.但我们是否知道，冰在溶化过程中，它所吸收的热量Q与温度t之间有何种关系呢？下面我们来研究这个问题.结论：函数的图像在点处是间断的（不连续）⑴放到冰箱中热饮料的温度C或一天的气温C是随时间T连续地变化着.⑵生长植物的高度H或动物的体重G随时间T连续地变化着.⑶神舟六号飞天时或骏马奔走时的空间位置随时间T连续地变化着.以上这些现象在数学上都体现函数的连续性.T(时间)O

C温度414242、变量的改变量⑴定义⑵几何意义定义：即：函数的改变量=函数的终值–函数的初值3、函数的改变量（或函数增量）

函数的改变量可以写成自变量改变量的函数例1求函数

改变量

解：解：例2(1)正方形边长由x增加到x+

x，则面积S的改变量

S为多少？(2)边长由2米改变到2.05米(3)边长由2米改变到1.95米观察下述图形：函数

所表示的曲线在点

处连续，当时，二、连续函数的概念观察下述图形：函数

所表示的曲线在点

处不连续，当

时，

1、函数在点x0连续的定义记于是，上述定义可以转化为确切地，有以下定义：例3证可见,函数f(x)在点x0连续必须具备下列条件:1、函数在点x0连续的定义（续）(1)f(x)在点x0有定义，即f(x0)存在;(2)极限(3)存在;用极限的“”语言来描述：例4证由定义知2、单侧连续的定义(1)左连续:(2)右连续:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.

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