北师大版九年级数学上册 （相似三角形判定定理的证明）图形的相似 教学课件

4.5相似三角形判定定理的证明

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.会证明相似三角形判定定理；2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.学习目标1.判定两个三角形全等的方法有哪些？2.判定两个三角形相似的方法有哪些？新课引入(1)

SSS；(2)

SAS；(3)

AAS；(4)

ASA；(5)

HL(1)

两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似.

如何对三角形相似的三条定理进行证明？新知学习命题1

两角分别相等的两个三角形相似.命题2

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.命题3

三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.命题1

两角分别相等的两个三角形相似.C′ABCA′B′DE证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).过点D

作AC

的平行线，交BC

于点F，则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).∴.∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF.∴.ABCDEC′A′B′F∴.而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.ABCDEC′A′B′F命题2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A=∠A′，.求证：△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE证明：在△ABC

的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过D

作BC

的平行线，交AC

于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴.∵，AD=A′B′，∴∴∴AE=A′C′.而∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.C′ABCA′B′DE命题3三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC

和△A′B′C′中，.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC

的边AB，AC

(或它们的延长线)上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.∵，AD=A′B′，AE=A′C′，∴C′ABCA′B′DE而∠BAC=∠DAE，∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴.又，AD=A′B′，∴∴∴DE=B′C′.ABCA′B′DEC′∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.1.判断题：(1)所有的等边三角形都相似.()(2)所有的直角三角形都相似.()(3)所有的等腰三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()针对训练√××√2.如图，AD⊥BC

于点D，CE⊥AB

于点E

，且交AD

于点F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDFBCAEDFBCEDFBAEDFBCAEDFDCFEA3.已知：如图，在四边形ABCD

中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD

的长.解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=.∴.

又∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，∴.∴AD=.ABCD课堂小结相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理的运用定理证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.实践与拓展材料阅读：如图，圆O上有四个点A，B，C，D，同一条弧所对的圆周角相等；例如：圆上短弧AD所对的圆周角∠C=圆周角∠B.解决问题：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P.求证：PA·PB=PC·PD.证明：∵∠CAP