专题10 圆锥曲线（选填题6种考法）（解析版）

专题10圆锥曲线（选填题6种考法）考法一直线与圆【例1-1】（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．【例1-2】（2023·江西上饶·统考一模）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】C【解析】由直线得，令，得，故直线恒过点，又，即点在圆内，故直线与圆的位置关系为相交.故选：C.【例1-3】（2021·北京·统考高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.【例1-4】（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.【例1-5】（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.考法二椭圆【例2-1】（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【例2-2】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：由题意知，，设..因为，所以，所以，所以．解法二：由题意知，．设，取线段AF的中点N，则，连接MN..因为，所以，所以，所以．故选：D．【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.【例2-4】．（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN，则，所以当M，N，P三点共线时的值最大，此时，，所以，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以，故选：D【例2-5】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距，当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，此时的面积为，设内切圆半径为r,则,即；(三角形内切圆半径公式的推导：)当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，此时,此时，由为等腰三角形，可知,则，的面积为，则,即，综合可得的内切圆半径为或，故选：D考法三双曲线【例3-1】（2023·广东肇庆·统考二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，所以，且，所以，的周长为，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则周长的最小值为．故选：B．【例3-2】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，若是面积为的正三角形，则的值为（

）A．2 B．6 C． D．【答案】C【解析】是面积为的正三角形，即，所以，所以的边长为，高为，所以，所以.又，所以，故选：C.【例3-3】（2023·广东惠州·统考模拟预测）“”是“方程表示双曲线”的（

）条件A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或.即.因为是的真子集，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B．【例3-4】（2023·云南曲靖·统考一模）（多选）已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（

）A．C的方程为B．C的离心率为C．曲线经过C的一个焦点D．C的焦点到渐近线的距离为1【答案】CD【解析】因为双曲线C的渐近线方程为，则设双曲线C：，又点在双曲线C上，有，即双曲线C的方程为，A错误；双曲线C的实半轴长，虚半轴长，半焦距，双曲线C的离心率，B错误；双曲线C的焦点坐标为，其中满足，C正确；双曲线C的焦点到渐近线的距离，D正确．故选：CD【例3-5】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.考法四抛物线【例4-1】（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B【例4-2】．（2023·湖南湘潭·统考二模）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【解析】】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消得，，当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．故选：B.【例4-3】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线交抛物线C于A，B两点，且点A在第一象限，若为等腰直角三角形，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：法一

由抛物线的对称性知∠AFB为直角，且.易知焦点，所以直线AF的方程为.联立方程，得，且，得，所以，由抛物线的定义得，法二

由抛物线的对称性知∠AFB为直角，且.设直线与x轴交于点M，则，.将代入抛物线方程，可得，所以，得，所以，故选：A.【例4-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为F，点在C上，P为C上的一个动点，则（

）A．C的准线方程为 B．若，则的最小值为C．若，则的周长的最小值为11 D．在x轴上存在点E，使得为钝角【答案】BC【解析】A选项：因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线C的方程为，所以C的准线方程为，故A错误；B选项：设点，，则，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故B正确；C选项：过点P作垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，则，易知，，所以，所以的周长为，当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，所以的周长的最小值为11，故C正确；D选项：设，则，，所以，因为点在C上，所以，即，所以，所以，故不可能为钝角，故D错误.故选：BC.考法五点差法【例5-1】（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.【例5-2】（2022·湖南邵阳）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】设直线与椭圆交于，则.因为AB中点,则.又，相减得：.所以所以所以，所以，即离心率.故答案为：.【例5-3】（2022·全国·专题练习）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】设，则，将两点坐标代入双曲线方程得：；将上述两式相减可得：即，也即所以，即故答案为：【例5-4】（2022·四川内江）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】依题意，双曲线上两点，，，，若点A、B关于直线对称，则设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：，则，且，解得，且又，设的中点是，，所以，．因为的中点在直线上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，实数的取值范围为：故答案为：.【例5-5】（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．【答案】【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即[方法三]：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：【例5-6】（2023·四川凉山·统考一模）如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率__________．【答案】【解析】由题可知，，设切线，，由，可得，所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又两切线斜率之积等于，所以，即，所以，又，所以.故答案为：.考法六离心率【例6-1】（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【例6-2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图连接，令，则，，．因为，所以，即，得，又，所以，将代入，得．故选：A【例6-3】（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.【例6-4】（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【例6-5】（2023·陕西西安·统考一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】设的焦距为，则，由题意过的直线与圆相切于点Q，连接,则,连接,设M为的中点，则,则,因为O为的中点，故Q为的中点，即,在中，，故，则，由于M为的中点，所以,即,在双曲线中，P在右支上，有，所以，又，所以在中，,即，化简得，故双曲线的离心率为，故选：A【例6-6】（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，由双曲线的定义得，解得，则，设，，，联立，消去x得，由韦达定理得：，由，得，解得，所以，，解得，则，故选：D1．（2021·全国·统考高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.2．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B3．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.4．（2021·全国·统考高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】设点，因为，，所以，而，所以当时，的最大值为．故选：A．5．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点为，，点为椭圆内一点，点在双曲线：上，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】点在双曲线：上，所以.所以椭圆左焦点坐标为.因为，所以,所以.因为，所以.点为椭圆内一点，所以，所以或.综上：.故选：A6．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知直线：与圆C：，则“”是“直线l与圆C一定相交”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于直线l：

，变形和可得：，令解得，即直线l过定点，圆C的标准方程为：，若A在圆内或圆周上，则，所以如果，则l与C必定相交，如果l与C相交，不一定能得到也可能是，所以“”是“直线l与圆C一定相交”的充分不必要条件；故选：A.7．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以，在中，由余弦定理得：，解得，所以=，解得，故选：D8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，椭圆C的半焦距为c，则，，所以，因为，所以，所以，即，则，所以.故选：A.9．（2023·贵州贵阳·统考一模）以双曲线的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（

）A．或2 B．2或 C． D．【答案】B【解析】依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形为矩形，如图，不放设点位于第一象限，则，因为双曲线的渐近线方程为，则，以双曲线的实轴为直径的圆的方程为，则，将代入，得，则，即，所以，则，故，又，所以，则，则，所以，则，即，所以，即，解得或，因为，所以或.故选：B.10．（2023·全国·模拟预测）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆C的标准方程为，所以圆心到直线的距离为，到直线的距离分别为，所以直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长为，由题意可得，解得，满足，所以圆C的半径为，面积为.故选：B．11．（2023·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（

）A．的方程为B．当三点不共线时，则C．在C上存在点M，使得D．若，则的最小值为【答案】C【解析】设，由，得，化简得，故A正确；当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错误；因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.故选：C.12．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，由椭圆的定义得：，解得，因为，所以，两边同除以a得，解得，因为，所以，所以该离心率的取值范围是故选：D.13．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，，则，在中，，所以，所以，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.故选：C14．（2023·湖南永州·统考二模）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取中点，连接，，，，则，恒成立，，又，，设，由得：，根据双曲线定义可知：，，，即，，，，又，，，则离心率.故选：D.15．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．【答案】BCD【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD16．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.17．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.18．（2023·山东菏泽·统考一模）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（

）A．当点为线段的中点时，直线的斜率为B．若，则C．D．若直线的斜率为，且，则【答案】BCD【解析】选项A：设，代入双曲线得，，两式相减得，，∵点为线段的中点，∴，，即，，∴，，故A错误；选项B：设，，，，，又，，故B正确；选项C：设，其中，则，即，，，，，，，故C正确；选项D：，，，，，∵直线的斜率为即，且过点，∴直线的方程为：，又∵，，，即，又∵点到直线的距离：，点到直线的距离：，即，∴点与点关于直线对称，，，故D正确；故选：BCD．19．（2023·山东临沂·统考一模）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A．B．延长交直线于点，则，，三点共线C．D．若平分，则【答案】AB【解析】由题意知，点，，如图：将代入，得，所以，则直线的斜率，则直线的方程为，即，联立，得，解得，，又时，，则所以，所以A选项正确；又，所以C选项错误；又知直线轴，且，则直线的方程为，又，所以直线的方程为，令，解得，即，在直线上，所以，，三点共线，所以B选项正确；设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，若平分，即，即，所以，则，且，解得，又，解得：，所以D选项错误；故选：AB.20（2023·山东临沂·统考一模）（多选）已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（

）A．线段长的最大值为6 B．当直线与圆相切时，C．以线段为直径的圆不可能过原点 D．的最大值为20【答案】ABD【解析】根据题意可知的圆心，半径，如下图所示：易知，当且仅当三点共线（且点在中间）时，等号成立，即A正确；当直线与圆相切时，由勾股定理可得，所以B正确；若以线段为直径的圆过原点，由直径所对圆周角为直角可得，易知当在轴上时，满足题意；所以以线段为直径的圆可能过原点，即C错误；设点，易知，则所以，即的最大值为20，即D正确；故选：ABD21（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（

）A．若直线l经过焦点F，且，则B．若，则直线l的倾斜角为C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【解析】A选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，则，所以，解得：，A错误；B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，代入中，得到，即，因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，B正确；C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，则，由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，C正确；D选项，当直线l不经过焦点时，设，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC22．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点P与焦点所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（

）A．椭圆方程为B．直线与椭圆C无公共点C．若A，B为椭圆C上的动点，且，过作，为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足D．若过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则【答案】AC【解析】设椭圆的焦距为，由得，设，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，依题意可得，所以，，，，所以椭圆的方程为：，故A正确；联立，消去并整理得，，所以直线与椭圆C有公共点，故B不正确；因为，且，所以，，设，，若的斜率存在且不为0，设为，则的斜率为，则，，联立，得，，则，同理可得，所以，若的斜率不存在或者为0，则为椭圆的顶点（一个为长轴的顶点，一个为短轴的顶点），则，终上所述：，即.设，则，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足，故C正确.设，，由，得，得，得，所以切线的斜率为，切线的方程为，即，即，因为在切线上，，同理可得，由可知，在直线上，由可知，在直线上，所以直线的方程为，则.故D不正确.故选：AC23．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）（多选）设，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上第一象限内任意一点，，表示直线，的斜率，则下列说法正确的是（

）A．存在点P，使得成立 B．存在点P，使得成立C．存在点P，使得成立 D．存在点P，使得成立【答案】ABD【解析】由椭圆方程可得：，，对于A，由椭圆的性质可得：，又因为点P在第一象限内，所以，所以存在点P，使得成立，故选项A正确；对于B，设点，因为，所以，，则，因为，所以，所以，所以存在点P，使得，则成立，故选项B正确；对于C，因为，，若，则，因为点在第一象限内，所以，则可化为：，解得：不成立，所以不存在点P，使得成立，故选项C错误；对于D，由选项的分析可知：，所以存在点P，使得成立，故选项D正确，故选：ABD.24．（2023·全国·模拟预测）（多选）设直线l：，圆C：，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（

）A．r的取值范围是B．若r的值固定不变，则当时∠ACB最小C．若r的值固定不变，则的面积的最大值为D．若，则当的面积最大时直线l的斜率为1或【答案】BD【解析】A选项：因为直线l：，即，令，解得，所以直线l过定点，因为直线l与圆C恒有两个公共点，所以，故A错误；B选项：因为直线l过定点，所以当时，∠ACB最小，因为，所以此时直线l的斜率为，即，即，故B正确；C选项：设圆心C到直线l的距离为d，则的面积，因为，所以，①，即，则当时，的面积最大，且；②若，即，则函数S随着d的增大而增大，所以，综上的面积的最大值为或，故C错误；D选项：由C选项知，当时的面积最大，因为，所以，整理得，所以或，因为，所以直线l的斜率，所以或，故D正确．故选：BD．25．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）（多选）为抛物线的焦点，点在上且，则直线的方程可能为（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】抛物线的焦点坐标为，准线为，设，因为，所以，解得，所以，解得，所以或，则或，所以直线的方程为或，即或；故选：BD26（2023·辽宁·校联考模拟预测）（多选）已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（

）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32【答案】ACD【解析】因为点在抛物线上，所以，故，，抛物线的焦点的坐标为，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最大值为2，故A正确.由，得，即，当且仅当时，等号成立，所以四边形周长的最大值为，故B不正确.设直线的方程为，联立消x得，方程的判别式，设，，则，则，同理得，，C正确.，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确.故选：ACD.27．（2023·云南·统考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，则（

）A．E的方程为 B．E的离心率为C．E的渐近线与圆相切 D．过点作曲线E的切线仅有2条【答案】ACD【解析】设点，由已知得，整理得，所以点P的轨迹方程为，故A正确；又曲线E的离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线E的渐近线的距离为，又圆的半径为1，故C正确；如图：曲线E的渐近线，则过点作曲线E的切线仅有2条故D正确.故选：ACD28．（2023·山东菏泽·统考一模）（多选）已知圆，下列说法正确有（

）A．对于，直线与圆都有两个公共点B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4D．圆上存在三点到直线距离均为1【答案】BC【解析】对于选项A，因为，即：，所以，所以直线恒过定点，又因为，所以定点在圆O外，所以直线与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误；对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径，所以，即：，解得：.故选项B正确；对于选项C，，又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：，所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确；对于选项D，因为圆O的圆心，半径，则圆心O到直线的距离为，所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.故选项D错误.故选：BC.29．（2023·全国·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，，点是圆上的动点，则（

）A．当的面积最大时，点的坐标为B．C．若点不在轴上，则平分D．当直线与圆相切时，【答案】CD【解析】对于A选项：由的面积，所以，要使得的面积最大，只需最大，由点为圆上的动点可得，所以的面积最大时，点的坐标为，所以A不正确；对于B选项：设，则，即，因为，所以，所以，所以B不正确；对于C选项：因为，所以，所以，延长到，使，连接，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即平分，所以C正确；对于D选项：设直线的方程为，由直线与圆相切得所以，整理得，解得，所以，联立方程，所以消去得，解得，所以，点的坐标为或，显然有，所以D正确．故选：CD30．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，，点到双曲线C的渐近线的距离为，直线l与双曲线C交于，两点，则（

）A．双曲线C的标准方程为B．若直线l过点，且A，B两点都在双曲线C的右支上，则C．若直线l过原点，为双曲线C上的一点，则直线PA，PB的斜率之积为D．若点，直线l的斜率存在且过点，则【答案】ABD【解析】A选项：由题意得，得，所以，①.不妨取双曲线C的一条渐近线，即，则由点到渐近线的距离为，得②.由①②得，，故双曲线C的标准方程为，所以A正确.B选项：易知直线l过，易知当直线l垂直于x轴时，取得最小值，将代入双曲线C的方程，得，所以，所以B正确.C选项：由题意知A，B关于原点对称，则.由，，两式作差得，即，则，所以C错误.D选项：由题意设直线l的方程为，代入双曲线方程并化简，得，所以，，所以，故，所以D正确.故选：ABD31．（2023·全国·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点，（在第一象限），，P为轴上一点，，面积的最大值为1，且直线与椭圆的另一个交点为，则当的面积最大时，下列结论正确的是（

）A． B．点为椭圆的右焦点C． D．的面积为【答案】AD【解析】如图，取椭圆的右焦点为，连接由对称性可得，所以，则椭圆C的方程为，又由题可知，将代入椭圆方程，得，得点M的坐标为，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为面积的最大值为1，所以，得，则，当的面积最大时，，则，，，故直线NP的方程为，代入椭圆方程，得，则，因为，所以与MQ不垂直；又，点Q到直线的距离为，故的面积为综上可知A，D正确，B，C错误；故选：AD．32．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与C交于A,B两点,若,,则（

）A．B．椭圆C的离心率为C．若椭圆C的短轴长为2,则椭圆C的方程为D．直线的斜率的绝对值为【答案】AC【解析】解:由题知,,不妨设,则,即,由椭圆的定义可知:,所以,因为,即,解得,所以,显然,所以是以为直角的直角三角形,所以,故选项A正确;因为且,所以在中,由勾股定理知:,解得,故离心率,故选项B错误;由于,因为,可得,故椭圆方程为:,故选项C正确;根据对顶角相等可知等于直线的倾斜角,由于,,所以,在中,所以由余弦定理可得:,所以,所以选项D错误.故选:AC33．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）（多选）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（

）A． B． C． D．2【答案】BCD【解析】由题意可知，，若这两个顶点为长轴的两个端点时，；若这两个顶点为短轴的两个端点时，；若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，；故选：BCD34．（2023·福建漳州·统考二模）（多选）已知是双曲线的左、右焦点，且到的一条渐近线的距离为，为坐标原点，点，为右支上的一点，则（

）A． B．过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点C． D．当四点共圆时，【答案】ACD【解析】设双曲线的半焦距为，一条渐近线为：因为到的一条渐近线的距离为，即，所以，又，所以，故A正确，对于B，双曲线的渐近线的斜率为1，所以过点M且斜率为1的直线为，联立，消去得：，只有一个交点，故B错误，对于C，由双曲线的定义知，，所以，因为为的中点，为右支上的一点，所以，所以，在中，由余弦定理得：，则有即，故C正确；对于D，当四点共圆时，所在的圆方程为，联立得，因为，所以，当点的坐标为时，，又，所以，当点的坐标为时，，又，所以，故D正确，故选：ACD.35．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．【答案】【解析】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.36．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.37．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．【答案】【解析】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．38．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【答案】【解析】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．39．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：40．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【解析】，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）41．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】【解析】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为：42．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或．【解析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．43．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．【答案】【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：44．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或【解析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.45．（2021·全国·统考高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】【解析】由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.46．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【解析】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.47．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：48（2021·全国·统考高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．【答案】4【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.49．（2021·全国·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.故答案为：.50．（2023·陕西西安·统考一模）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线C的渐近线方程______.【答案】【解析】如图所示：线段PQ的垂直平分线交于，连接，，，，是中点，故是中点，，又是中点，故，，中：，整理得到，故渐近线方程为：.故答案为：52．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为2c，，则该双曲线的离心率是______．【答案】【解析】设，则，由双曲线的定义知，∴，，当，即时，，不符合题意；当，即时，在上单调递增，所以当时取得最小值，故，化简得，即，解得（舍）或，满足.综上所述，该双曲线的离心率是.故答案为:.53．（2023·四川成都·成都七中校考二模）点M是双曲线渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2+y2-4x+3=0相切，则圆M的半径的最小值等于________.【答案】【解析】不妨设点M是渐近线2x-y=0上一点.∵圆C：x2+y2-4x+3=0的标准方程为，∴圆心C（2，0），半径R=1.若圆M的半径最小，则圆M与圆C外切，且直线MC与直线2x-y=0垂直.因此圆M的半径的最小值rmin=|MC|min-R.由于，故.故答案为：54．（2023·四川·校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是E上一点，直线与E的另一个交点为B，则的周长为______．【答案】10【解析】由题意，点在双曲线的右支上，点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，，，从而，又，，，，故，所以的周长，故答案为：10．55．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线（）的两条渐近线所成角为60°，则______.【答案】2或6【解析】双曲线的渐近线方程为，为其两条渐近线，点分别为轴上的点，当时，有双曲线的对称性可知，则，所以，则；当时，有双曲线的对称性可知，所以，则；故答案为：2或6.56．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是__________．【答案】【解析】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得．因为，所以．故答案为：.57．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】设与轴交点，连接，由对称性可知，，如图所示，又∵，∴，∴．又∵，∴，在中，，∴，∴，由，且三角形的内角和为，，即，则综上，．故答案为：．58．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）经过三点中的两点且圆心在直线上的圆的标准方程为_____．（写出一个即可）【答案】（或或，写出一个即可）【解析】若选，则圆心在直线上，又在直线上，故圆心坐标为，半径为，故所求圆的标准方程为；若选，则以这两点为端点的线段的中点为，所以其垂直平分线的方程为，即，由，得，