2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题 （文科）解析版

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)

【试卷点评】

2017年天津高考数学试卷考点变化不大，题型结构与2016年相同，从知识结构角度看，试卷考查

内容覆盖面广，与往年基本一致。与此同时，试卷命题中出现的综合与创新，体现了能力立意的命题思

路与稳中求变的命题特点。整卷难度分布合理，具有较好的区分度，整体难度与去年相比稍有降低。

纵观整篇试卷，命题严格按照《考试说明》与课程标准，双基内容占了相当大的比例，体现了命题

人回归教材、突出主干的思路，重视对考生基本数学素养的考查。对于此部分题目，只要考生熟练掌握

基本概念和定理，就可以轻松得分。试卷在知识点选择上与去年相比略有改变，考验学生基础知识掌握

的全面性。试卷命题风格稳定，试题布局合理，利于考生发挥自身真实水平，具有较好的信度和效度。

每年天津高考命题都会给予应用问题一定的关注，对中学数学教学重视数学应用有很好的导向作

用，第16题以大家熟悉的电视剧与广告以及收视人次为命题背景，选材合理，将线性规划与实际问题相

结合，考查学生的理解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值与人文特色。

知识难度不大，审清题后可较容易地得到答案，体现了新课标的教育理念。

【试题解析】

本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I

卷1至2页，第II卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答

卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

•如果事件A,8互斥，那么•如果事件A,8相互独立，那么

P(AUP(AB)=P(A)P(B).

•棱柱的体积公式V=Sh.圆锥的体积公式V^-Sh.

3

其中S表示棱柱的底面面积，其中S表示棱锥的底面面积，立表示棱锥的高.

h表示棱柱的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)设集合4={1,2,6},8={2,4},。={1,2,3,4},则(4.3)。=()

(A){2}(B){1,2,4}(C){1,2,4,6}(D){1,2,3,4,6}

【答案】B

【解析】

试题分析:由题意可得：NU3={L246},二(XU8)nc={L2,4}.本题选择B选项.

【考点】集合的运算

【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集

合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常

借助数轴或韦恩图进行处理.

(2)设xeR,则“2—xNO"是“|x-1区1”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：2-x20,Mi]x<2,|x-l|<1,则一1W尤一lW1,04xW2,1x|0<x<21<z|x|x<2|,

据此可知：“2-xNO”是“卜―1卜1”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项.

【考点】充分必要条件

【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若png,qH>p,那么p是g的充分不必要条

件，同时q是p的必要不充分条件，若poq，那互为充要条件，若p<H>g,那就是既不充分也不必

要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若若那么p是q

的充分必要条件，同时4是p的必要不充分条件，若A=6,互为充要条件，若没有包含关系，就是既

不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转

化为「夕是条件的判断.

(3)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜

色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()

4321

(A)-(B)-(C)-(D)-

5555

【答案】C

t解析】

试题分析：选取两支彩笔的方法有《种，含有红色彩笔的选法为C：种，由古典概型公式，满足题意的概

C142

率值为p=d=—=-.本题选择C选项.

【考点】古典概型

【名师点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题.解题时要准确理解题意，先

要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A包含的基本事件的个

数和试验中基本事件的总数代入公式p=44.

〃⑼

(4)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19,则输出N的值为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

【答案】C

【解析】

试题分析：闻读流程图可得，程序执行过程如下：

苜先初始化数值为'=19,

第一次循环：N=JV-1=18,不满足N<3}

第二次循环：A，=F=6,不满足AY3；

3

第三次循环：N=g=2,满足NS3；

此时跳出循环体，输出N=3.

本题选择C选项.

【考点】循环结构程序框图

【名师点睛】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构.根据各自的

特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值

发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每•个循

环，这样避免出错.

(5)已知双曲线0—[=1(。>0/>0)的左焦点为尸，点A在双曲线的渐近线上，△OA尸是边长为

ab~

2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()

2222x2

(A)二-匕=1(B)匚匕=1(C)——V2=1(D)*2-2_=1

41212433

【答案】D

【解析】

c=2

试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：/=]涉2=3,

—=tan60°=邓)

.a

双曲线方程为：Y-二=1,本题选择D选项.

3

【考点】双曲线方程

【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题.解题时要注

意a、b、c的关系,2=/+〃，否则很容易出现错误.解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，

再结合双曲线的一些几何性质，得到a,Z?,c的关系，联立方程，求得a,〃,c的值，

(6)已知奇函数/(%)在R上是增函数.若a=-/(log21),b=/(log?4.1),c=/(208),则a,0,c的大

小关系为()

(A)a<b<c(B)h<a<c(C)c<b<a(D)c<a<h

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意：a=/；Tog，；=f(log：5),且：log：5>logHl>21<2Q8<2,

a8

据此：log?5>log?4.1>208,结合函数的单调性有：/(log25)>/(log24.1)>/(2),

^a>b>c,c<b<a,本题选择C选项.

【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的

性质和对数运算法则，a=/(log25),再比较1。825/0824.1,208比较大小.

(7)设函数f(x)=2sin(d>x+^),xeR,其中①>0,|9|<兀.若/(—)=2,/(——)=0,且/(x)的最小

88

正周期大于2兀，则()

2兀211兀1117117兀

(A)CO(B)(y=(C)(0=二八冲二(D)(0=

~12'~~12--五-24

【答案】A

【解析】

试题分析：因为条件给出周期大于2-£“汪=9=%=5八号=3"=0=?再根据

-x-^+<p=—+2k^=^<p=—+2k7r,因为所以当k=0时，0=二成立，故选A.

3821212

【考点】三角函数的性质

【名师点睛】本题考查了y=Asin(0x+p)的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,

是一道考杳能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当x=4时，

8

257tTC7C、卅口n=r-A-.25TC1\7U7C-J—y.日k立.、小■rtrjuk、口157t11TCTC-j-

—x—+—=一,『两足题意，一x--------=——,不合题意，B选项错庆；一x--------二——,不

381223812238244

合题意，C选项错误；

1577%乃、.口如:土,311万42兀、-口111乃7"18万

—x——+——=—,满足题是、；当工=---时，一x----+—==719满足虺忌；一X---1----=----,

3824283812382424

不合题意，D选项错误.本题选择A选项.

|x|+2,x<1,

r

(8)已知函数/(%)=(2设QER，若关于x的不等式/(x)2|土+。|在R上恒成立，则。的

x+—,x>l.2

x

取值范围是()

(A)[-2,2](B)[-273,2](C)[—2,2百](D)[―26,26]

【答案】A

【解析】

试题分析：首先画出函数的图象，当。＞0时•，g(x)=]+”的零点是彳=-2。＜0,零点左边直

1V-

线的斜率时-]＞-1,不会和函数”力有交点，满足不等式恒成立，零点右边g(x)=1+a,函数的

1Y

斜率Z=；,根据图象分析，当x=0时，a＜2,即0＜。(2成立，同理，若。＜0,函数g(x)=+

的零点是x=—2a〉0,零点右边g(x)=5+a＜/(x)恒成立，零点左边g(x)=—a,根据图象分

析当％=0时，一。＜2=＞。2—2,即一2Wa＜0,当a=0时，/(尤)2g(x)恒成立，所以—2WaW2,

画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为尸(x)＞0的问题，转化讨论求函数的

最值求参数的取值范围.

本题中的函数f(x)和g(x)=]+a都是比较熟悉的函数，考场中比较快速的方法是就是代入端点，画

出函数的图象，快速准确，满足题意时/(x)的图象恒不在函数+a下方，

当a=2当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共12小题，共no分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知aeR,i为虚数单位，若二为实数，则。的值为

2+i

【答案】-2

t解析】

a—i_(a—z-X2-0(2a—1)—(a+2)i2a—1a+2.衣―蝌

试题分析:------T——-=--------i为头数

2+i(2+；X2-0

则二=0：a=-2.

【考点】复数的运算

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只

需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可，或者设色二=b^a-i=2b+bi,

2+i

根据两边复数相等，求解.

(10)已知aeR，设函数，(x)=ar-lnx的图象在点(1,f⑴)处的切线为/,则/在y轴上的截距为.

【答案】1

【解析】

试题分析：/⑴=a,切点为(l,a),r(x)="L则切线的斜率为/⑴=a—1,切线方程为：

x

>'-a=(a-l)(x-l).令x=0得出y=l,/在y轴的截距为1.

【考点】导数的几何意义

【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数f(x)在点飞处的导数/(与)的几何意

义是曲线y=〃x)在点P(%,为)处的切线的斜率・相应地，切线方程为八%=/(%0)(X70)，注

意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同，谨记，有切点直接带入切点，没切点

设切点，建立方程组求切点.

(11)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.

97r

【答案】—

2

【解析】

试题分析：设正方体边长为a，贝U6a'=18na：=3,

r-4.4279

外接球直径为2R=衣a=3.V=—nR:=—JTX—=—n.

3382

【考点】球与几何体的组合体

【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几

何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面匕再

找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接

圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关

系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外

接球，这样做题比较简单.

(12)设抛物线V=4x的焦点为巴准线为/.己知点C在/上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于

点A.若Z.FAC=120°,则圆的方程为.

【答案】(x+l)2+(y—百>=1

【解析】

试题分析：设圆心坐标为。(一1,加)，则A(0,m),焦点分(1,0),

AC=(—l,0),Ab=(l,-m),cos/C4L=1I尸「=一」,机=±&,由于圆。与y轴

".四Vl+m22

得正半轴相切，则取〃2=百，所求圆得圆心为(-1,6)，半径为1,所求圆的方程为

(x+l)2+(y-V3)2=l.

【考点】1.抛物线的方程；2.圆的方程.

【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆，抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本

题只有一个难点，就是NC4F=120°,会不会用向量的坐标表示cos/CAF,根据图象，可设圆心为

C(-l,m),那么方程就是(x+iy+(y—机)2=1,若能用向量的坐标表示角，即可求得用，问题也就迎

刃而解了.

(13)若a,/?eR,ab>Q,则"+4""的最小值为______________

ah

【答案】4

【解析】

4.4L4.14/7^2+】1|i--a=ZD

试题分析:-~~r一N—=4ai+—>2J4«ix—=4，两次等号成立的条件是1

abababyab4ab=——

.ab

就

2,或

解得：，«；当且仅当a=26=1时取等号.

啦,V2

b0=------

T2

【考点】基本不等式求最值

【名师点睛】本题使用了两次基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立，基本不等式的常

用形式包含/+6222"(。”€用，a+b>2y^h(a,beR+yab<^^,~^2~

等，基本不等式可以证明不等式，也可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，三相等”的条件，

是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立.

(14)在△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若8。=2OC,AE=AAC-AB(AeR),且AQ-AE=-4,

则2的值为.

3

【答案】—

11

【解析】

12

试题分析：AB-AC=3x2xcos60°=3,AO=—AB+—AC，则

33

1227123

ADAE=(-AB+-ACXAAC-AB)=-x3+——x4——x9——x3=-4^2=—.

33333311

【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.

【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选

好基底向量，如本题就要灵活使用向量AB,AC,要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题,

当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(15)(本小题满分13分)在△ABC中，内角所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsin8,

ac=>j5(a2-b1-c2Y

(I)求cosA的值；(ID求sin(2B-A)的值.

rAavtz.iV52"\/5

【答案】（I）--—；（II）----.

【解析】

qinAn

试题分析（I）首先根据正弦定理——=一代入得到a=2b,再根据余弦定理求得cosA；（II）根据

sinBb

（I）的结论和条件，根据cosA求sinA,和a=2b,以及正弦定理求得sinB,再求cosB,以及

sin28,cos25,最后代入求sin（23—A）的值.

试题解析：（I）解：由asin,4=4bsin3,及-"-=得a=26.

sinJsin5

L：2；3

由8=有（f一62-c?）,及余弦定理，得cosX=L^—

2bc5

（H）解：由（I）,可得sinA=毡，代入asinA=4bsin6,得sinB=^^=好.

54。5

3

cos2B=l-2sin2B=-,故

5

.on八•onA-X4V532逐2也

sin（2B-A）=sin2BcosA-cos23sinA=—x（---）——x----=-----.

【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.

【名而点睛】1考中经'常将三角变换与海三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二

次式，要考虑用余弦定理：如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边

角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数

名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三

角公式

（16）（本小题满分13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时.，需要播放广告.己知每次

播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）

甲70560

乙60525

（I）用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（H）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

【答案】（I）见解析（II）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

【解析】

试题分析：（I）设根据甲乙连续剧总的播放时间不多于600分钟，得到70x+60pW600,根据广告时间

不少于30分钟，得到5x+5jN30,和xW2j,同时注意次数，需满足xNO/20的条件，建立不等

式组，画区域；（H）求z=60x+25j的最值，同时注意是整数解

70x+60y<600,lx+6y<60,

5x+5y>30,y>6,

试题解析：(I)解：由己知，满足的数学关系式为■x<2y,即，x-2^<0,

x20,x>0,

J20，J20,

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

(H)解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y.

z

考虑z=60x+25y,将它变形为y=-£12x+■，这是斜率为-?12，随z变化的一族平行直线会z为直

线在y轴上的截距，当於取得最大值时，z的值最大.又因为工尸满足约束条件，所以由图2可知，当直线

z=60x+25y经过可行域上的点”时，截距［最大，即z最大.

解方程组c'得点〃的坐标为(6：3).

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将

目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，

理解目标函数的意义.常见的目标函数有：(1)截距型：形如z=ox+by.求这类目标函数的最值常将函

H77

数Z=OX+力转化为直线的斜截式：y=--x+-,通过求直线的截距W的最值间接求出Z的最值；(2)

'bbb

距离型：形如z=(x-a『+(y-b)2；⑶斜率型：形如z=2心，而本题属于截距形式，但要注意

x—a

实际问题中的最优解是整数.

(17)(本小题满分13分)如图，在四棱锥P—ABCO

中，4。_1平面尸。。，AD//BC,PDLPB,

AD=\,BC=3,CO=4,PD=2.

(I)求异面直线AP与3c所成角的余弦值；

(II)求证：平面P8C；

(Ill)求直线AB与平面P8C所成角的正弦值.

【答案】(1)V]5;(11)苧V5

【解析】

试题分析：(I)异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，,所以NEID即为所求，根

据余弦定理求得，但本题可证明,必_加，所以cosNX£D=dg；(II)要证明线面垂直，根据判断定

理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明，尸3；(IH)根据(H)

的结论，做。F/OL8,连结尸尸:NDF尸即为所求.

试题解析：(I)解：如图，由已知AD//BC,故/DAP或其补角即为异面直线A尸与BC所成的角.因为

AO_L平面POC,所以AO_LPD在RtaPD4中，由已知，得AP=〃£>?+尸痴=后,故

..„AD75

cosZ/DrAP==——.

AP5

所以，异面直线AP与8c所成角的余弦值为

(H)证明：因为4D_L平面尸DC,直线PCu平面PQC,所以AO_LPD又因为BCY/AO,所以PO_L8C,

又PO_LPB,所以PD1.平面PBC.

(III)解：过点。作AB的平行线交BC于点F,连结尸凡则CF与平面PBC所成的角等于AB与平面

PBC所成的角.

因为POL平面P8C,故PF为。尸在平面尸8c上的射影，所以NDFP为直线。尸和平面P8C所成的角.

由于AD〃5C,DF//AB,故由已知，得CF=BC-3尸=2.乂AD_LOC,故8C_LOC,在RtZ\OCF

中，可得DF7CD。+CF?=2石，在R2PF中,可得sin/CFP="=且.

DF5

所以，直线A8与平面P8C所成角的正弦值为

【考点】1.异面直线所成的角；2.线面角；3.线面垂直的判断.

(18)(本小题满分13分)已知｛4｝为等差数列，前”项和为S,(〃eN*),他“｝是首项为2的等比数歹ij,

且公比大于0,仇+&=12也=4一2弓,5H=1电.

(I)求｛4｝和也,｝的通项公式；(II)求数列｛生,也｝的前“项和(〃eN)

【答案】(1)。“=3〃-2也,=2".(11)7；=(3〃-4)2"2+16.

【解析】

试题分析：(I)设等差数列｛4｝的首项为q,公差为d,等比数列的公比为g,建立方程求解；(H)先

求｛。”｝的通项，再求生/“=(6”-2).2'：,再根据错位相减法求和.

试题解析：(I)解：设等差数列｛”“｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为q.由己知打+a=12,得

4①+/)=12,而白=2,所以42+4—6=0.乂因为g>0,解得g=2.所以，hn=T.

由4=%—2q,可得3d—q=8①.由品=11%,可得q+5d=16②,联立①②,解得q=l,d=3,

由此可得a”=3n-2.

所以，｛凡｝的通项公式为%=3〃-2,｛〃』的通项公式为"=2".

(H)解：设数列｛为AJ的前〃项和为工，由a'=6〃—2,有

7；=4x2+10x22+16x23+--+(6n-2)x2\

27；=4x2?+10x23+16x2,+…+(6”8)x2”+(6〃-2)x2f

上述两式相减，得-7；=4x2+6x22+6x23+…+6x2"—(6〃-2)x2*】

=12；(1;2")一4一(6”一2)x2、=—(3〃-4)2"：—16

得看=(3〃-4)2*2+16

所以，数列｛生也｝的前〃项和为(3〃-4)2=+16

【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.

【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法(1)分组转化法，

一般适用于等差数列加等比数列，(2)裂项相消法求和，cn=,

aa

,,„+i

c“=〃.〃!=~方等的形式，(3)错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等

+1+

比数列，(4)倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式

两式相加除以2得到数列求和，(5)或是具有某些规律求和.

(19)(本小题满分14分)设a,6eR,|a区1.已知函数/'(X)=A：3-6x2-3a(a-4)x+6,g(x)=e"(x).

(I)求f(x)的单调区间;

(ID已知函数、=8。)和丫=6"的图象在公共点(xo,泗)处有相同的切线，

(i)求证：f(x)在x=x<>处的导数等于0；

(ii)若关于尤的不等式g(x)4e*在区间K-1,%+1］上恒成立,求r的取值范围.

【答案】(I)递增区间为(—8,a),(4—a,+8),递减区间为(a,4—a).(2)(i)/(x)在x=x0处的

导数等于0.(ii)。的取值范围是［—7,1］.

【解析】

试题分析:(I)先求函数的导数/'(x)=3(x-a)［x-(4-a)］,再根据同41,求得两个极值点的大小

关系，a<4-af再分析两侧的单调性，求得函数的单调区间；(II)(i)根据g(x)与/有共同的切线,

根据导数的几何意义建立方程，求得了'(々)=0,得证：(III)将不等式转化为〃x)=l,再根据前两问可

知天是极大值点、毛=a,由(D知/(x)在(a-La)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，从而

=l在［a-La+l］上恒成立，得b=2a=6a：+1,-l<a<l,再根据导数求函数的取值范

围

试题解析：(I)由/(x)=/-61-3a(a-4)x+b,可得

f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-«)(%-(4-fl)),

令/'(x)=0,解得尤=a,或x=4-a.由得a<4-a.

当x变化时，f\x),/(x)的变化情况如下表：

X(一8,。)(a,4-a)(4-67,+00)

+—+

fM

1-1-1-

所以，/(x)的单调递增区间为(—8,。)，(4-a,+00),单调递减区间为(a,4-。).

/(%)e&=e*/'(x)=1

所以r°，解得：0°

H(/(x0)+/'(/))=e"l/U)=0

所以，/(x)在*处的导数等于0.

(ii)因为g(x)4e〔xe［x0-l,x0+1］,由e*>0,可得/(x)41.

又因为/(为)=1,尸(x0)=0,故/为f(x)的极大值点，由(I)知/=&.

另一方面，由于|。区1,故a+l<4—a,

由(I)知/(x)在(。一1,<7)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，

故当天=。时，/(x)4/(a)=l在［a—l,a+l］上恒成立，从而g(x)4e*在［%—上恒成

立.

由/'(a)=</—6a，—3a(a—4)a+b=1,得b=2a‘-67+1,-1<a<1

令《切=2/-6/+1,xe[-1,1],所以人力=6XL12X,

令«x)=0,解得x=2(舍去)，或x=0.

因为*-1)=-7,t(r)=-3,K0)=1,故()的值域为[-7』.

所以，6的取值范围是[一7」.

【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.

【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据

条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处

的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最

值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.

(20)(本小题满分14分)已知椭圆二+5=1(。>〃>0)的左焦点为F(—。,0),右顶点为A,点E的

a~b~

坐标为(0,c),△EE4的面积为生.

2

(I)求椭圆的离心率；

3

(II)设点。在线段AE上，[/Q[=]C,延长线段尸Q与椭圆交于点P,点M,N在光轴上，PM//QN,

且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形的面积为3c.

(i)求直线FP的斜率；

(ii)求椭圆的方程.

]R22

【答案】(I),(H)(i)-(ii)土+匕=1

241612

【解析】

1A2

试题分析：(I)根据图象分析出上(。+。)。=幺，再结合人2=/—求得离心率；([[)(i)首先

22

设直线灯》的方程是x=再写出直线AE的方程，方程联立得到点。的坐标，根据|R0|