2023-2024学年广东省广州重点中学高三（上）第二次联考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州重点中学高三（上）第二次联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.集合A={x∈Z|log2x<1}，B={x|x2A.(0,1) B.{1) C.(−1,0,1} D.{−1,0,1,2}2.已知sin(α+π)=12，则cosA.12 B.−12 C.3.“x>1且y>1”是“xy>1且x+y>2”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，A、B两点在河的同侧，且A、B两点均不可到达.现需测A、B两点间的距离，测量者在河对岸选定两点C、D，测得CD=32km，同时在C、D两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A、B两点间的距离为A.32 B.34 C.5.已知α，β∈(0,π2)，cosα=17，cosA.π3 B.π6 C.5π126.已知函数f(x)=4cos(ωx+π6)sinωx+cos(π−2ωx)，其中ω>0.若函数f(x)在[−πA.310 B.12 C.327.若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex−b(e为自然对数的底数)，其中a，b为正实数，则1ea+A.[2,e) B.(e,4] C.[2,+∞) D.[e,+∞)8.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(3x−2)为偶函数，f(2x−1)为奇函数，则下列说法正确的是(

)A.2是函数f(x)的一个周期 B.函数f(x)的图象关于直线x=−1对称

C.函数f(x)的图象关于点(−1,0)中心对称 D.f(2023)=1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知△ABC中角A，B的对边分别为a，b，则可作为“a>b”的充要条件的是(

)A.sinA>sinB B.cosA<cosB C.tanA>tanB D.sin2A>sin2B10.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移π4个单位，得到函数g(x)的图象，则(

)A.函数f(x)+g(x)的图象的一个对称中心为(π8,0)

B.函数f(x)⋅g(x)是奇函数

C.函数f(x)+g(x)在(0,π)上的单调递减区间是[π11.已知f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论，其中正确的是(

)A.若k=0，则f(x)有两个零点 B.∃k<0，使得f(x)有一个零点

C.∃k<0，使得f(x)有三个零点 D.∃k>0，使得f(x)有三个零点12.已知函数f(x)=ex+x−2的零点为x1，函数g(x)=lnx+x−2的零点为xA.x1+x2=2 B.2x三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)定义域为[−1,1]，值域为[0,1]，且f(−x)−f(x)=0，写出一个满足条件的f(x)的解析式是______．14.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数15.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为______小时，角α的正弦值为______．

16.若存在两个正实数x，y使等式2x+m(y−2ex)(lny−lnx)=0成立，(其中e=2.71828…)则实数m的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cacosB+bacosC=3cosC．

(1)求sinC的值；

(2)若a=b+218.(本小题12.0分)

如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，现对这块地进行改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF(∠EDF=60°E,F分别在边AB，AC上)，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上花草进行绿化改造，设∠BDE=α．

(1)当α=60°时，求花草绿化区域AEDF的面积；

(2)求花草绿化区域AEDF的面积S(α)的取值范围．19.(本小题12.0分)

已知△ABC中，函数f(x)=cos(3π2+x)⋅sin(A−x)的最大值为14．

(Ⅰ)求∠A的大小；

(Ⅱ)若g(x)=2(f(x)+20.(本小题12.0分)

设函数f(x)=e2x−alnx．

(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

(Ⅱ)证明：当a>0时，f(x)≥2a+aln21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=exln(1+x)．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)设g(x)=f′(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；

(Ⅲ)证明：对任意的s，t∈(0,+∞)，有22.(本小题12.0分)

已知f(x)=xeax．

(1)试求f(x)在[0,2]上的最大值；

(2)已知f(x)在x=1处的切线与x轴平行，若存在x1，x2∈R，x1<x答案和解析1.【答案】B

【解析】解：集合A={x∈Z|log2x<1}={x∈Z|0<x<2}={1}，

B={x|x2−x−2≤0}={x|−1<x<2}，

则A∩B={1}．

故选：B．

解不等式化简集合A、2.【答案】A

【解析】解：因为sin(α+π)=12，即−sinα=12，所以sinα=−12，

所以cos(α+π3.【答案】A

【解析】解：当x>1且y>1时，可得到xy>1且x+y>2，

反之，若xy>1且x+y>2，则可能x=12,y=52，不能推出x>1且y>1．

因此，“x>1且y>1”是“xy>1且x+y>2”的充分不必要条件．

故选：A4.【答案】D

【解析】解：∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，

则△ACD为等边三角形，CD=AC=32，

故BD⊥AC，

∠ACB=45°，

则∠DBC=45°，

由正弦定理可知，BC=CDsin∠DBC⋅sin∠CDB=64，

在△ABC中，由余弦定理可知，AB2=A5.【答案】A

【解析】解：∵α，β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,π)，

∵cosα=17，∴sinα=1−cos2α=437，

∵cos(α+β)=−1114，

∴sin(α+β)=1−cos2(α+β)=56.【答案】A

【解析】解：f(x)=4cos(ωx+π6)sinωx+cos(x−2ωx)=4(cosωx⋅32−sinωx⋅12)sinωx−cos2ωx

=23cosωxsinωx−2sin2ωx−cos2ωx+sin2ωx=3sin2ωx−1，

函数f(x)的周期T=2π2ω=πω，

因为函数f(x)在[−π7.【答案】C

【解析】解：∵y=ln(x+a)，∴y′=1x+a，

设切点为(x0,y0)，则ln(x0+a)=ex0−b1x0+a=e，∴ea+b=2．

则1ea+1b=18.【答案】C

【解析】解：∵f(3x−2)为偶函数，∴f(−3x−2)=f(3x−2)，∴f(−x−2)=f(x−2)，故f[−(−x−2)−2]=f(−x−2−2)，即f(x)=f(−x−4)，

∴函数f(x)的图象关于直线x=−2对称．

∵f(2x−1)为奇函数，∴f(−2x−1)=−f(2x−1)，∴f(x−1)=−f(−x−1)，所以函数的图象关于点(−1,0)对称，故B错误，C正确；

由f(x)=f(−x−4)及f(x−1)=−f(−x−1)知，f(x)=f(−x−4)=−f(−x−2)，f(x−4)=−f(x−2)，

∴f(x+4−4)=−f(x+4−2)，即f(x)=−f(x+2)，

∴f(x+2)=−f(x+4)，故f(x)=f(x+4)，

∴函数f(x)的周期为4，A错误；

f(2023)=f(506×4−1)=f(−1)=0，故D错误．

故选：C．

根据f(3x−2)为偶函数推导出f(x)=f(−x−4)，根据f(2x−1)为奇函数，得到f(x−1)=−f(−x−1)，得到函数的图象关于点(−1,0)对称，故B错误，C正确；由f(x)=f(−x−4)及f(x−1)=−f(−x−1)推导出f(x)=f(x+4)，故周期为4，A错误；根据函数的周期性求出f(2023)=f(−1)=0，D错误．

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AB

【解析】解：a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，A正确；

由余弦函数的性质，三角形内角都在(0,π)上，由于a>b，

则A>B，则cosA<cosB，故B是充要条件；

A=120°，B=30°，满足a>b，但不满足tanA>tanB，所以C不是充要条件；

A=75°，B=15°，满足a>b，但2A=150°，2B=30°，sin2A=sin2B，D不是充要条件．

故选：AB．

由已知结合正弦定理及三角形大边对大角即可判断．

本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角，属于基础题．10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查运算能力，属于中档题．

可知g(x)=cos2x，可得f(x)+g(x)=2sin【解答】

解：g(x)=sin2(x+π4)=cos2x，

选项A，f(x)+g(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，

令2x+π4=kπ，k∈Z，则x=kπ2−π8，k∈Z，

∴函数f(x)+g(x)的对称中心为(kπ2−π8,0)，k∈Z，不包含点(π8,0)，即选项A错误；

选项B，f(x)⋅g(x)=sin2x⋅cos2x=12sin4x，为奇函数，即选项B正确；

选项C，令2x+π4∈[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k∈Z，则x∈[π8+kπ,11.【答案】ABD

【解析】解：作出函数y=|lgx|和y=kx+2的大致图象如图所示，

对于A，当k=0时，显然直线y=2与y=|lgx|的图象有两个交点，即函数f(x)=|lgx|−kx−2有两个零点，

所以A正确；

对于B，由图可知，∃k0<0使得直线y=k0x+2与y=|lgx|的图象相切，

即当k=k0时，函数f(x)=|lgx|−kx−2有一个零点，所以B正确；

对于C，由图可知，当k<0时，直线y=kx+2与y=|lgx|的图象不可能有三个交点，

即函数f(x)=|lgx|−kx−2不可能有三个零点，所以C不正确；

对于D，由图可知，∃k1>0，使得直线y=k1x+2与y=|lgx|的图象相切，

所以当0<k<k1时，直线y=kx+2与y=|lgx|的图象有三个交点，

即函数f(x)=|lgx|−kx−2有三个零点，所以D正确．

故选：ABD12.【答案】ACD

【解析】解：由f(x)=ex+x−2=0得ex=2−x，由g(x)=lnx+x−2=0得lnx=2−x，

作出函数y=ex，y=lnx，y=2−x的图象如图：

由y=ex的反函数y=lnx关于直线y=x对称，

y=ex与直线y=2−x的交点为(x1,2−x1)，

y=lnx与直线y=2−x的交点为(x2,2−x2)，

可得x1=2−x2，即x1+x2=2，故A正确；

∵f(x)=ex+x−2，g(x)=lnx+x−2均为增函数，

∴f(0)=−1<0，f(12)=e−32>0，g(32)=ln32−12<0，g(2)=ln2>0，

∴0<x1<12，32<x2<2，

∴2x1<x13.【答案】f(x)=|x|，x∈[−1,1]

【解析】解：根据题意，要求函数f(x)同时满足以下条件：

①定义域为[−1,1]；②值域为[0,1]；③f(−x)−f(x)=0，

可以考虑y=|x|，x∈[−1,1]，(答案不唯一)，

故答案为：f(x)=|x|，x∈[−1,1]，(答案不唯一)．

已知条件中，函数是偶函数，所以图象必须关于y轴对称，再结合函数的定义域及值域即可得到符合条件的函数．

本题主要考查函数的解析式的求法，以及函数的定义域和值域的问题，属于中档题．14.【答案】f(x)=2sin(2x+π【解析】【分析】

本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于基础题．

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图像过点(π6,2)求出φ的值，可得函数的解析式．

【解答】

解：由f(x)=Asin(ωx+φ)及A>0可得A=2，

14⋅2πω=5π12−π6，∴ω=2．

由函数图像过点(π15.【答案】2

5【解析】解：设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝色小艇，

则AC=14x，BC=10x，∠ABC=120°，

由题意可知，AB=12，

由余弦定理可知，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC，即(14x)2=122+(10x)2−2×12×10x⋅16.【答案】(−∞,0)∪[2e，【解析】解：∵2x+m(y−2ex)(lny−lnx)=0，

∴1m=(2ex−y)(lny−lnx)2x=(e−12yx)lnyx，

设t=yx>0，设g(t)=(e−t2)lnt，

那么g′(t)=−12lnt+et−12，g″(t)=−t+2e2t2<0恒成立，

所以g′(t)是单调递减函数，

当t=e时，g′(e)=0，当t∈(0,e)时，g′(t)>0，函数单调递增，

当t∈(e,+∞)，g′(t)<0，函数单调递减，

所以17.【答案】解：(1)ccosB+bcosC=3acosC．

由正弦定理asinA=bsinB=csinC得sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosC，

所以sin(B+C)=3sinAcosC，

由于A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，则sinA=3sinAcosC．

因为0<A<π，所以sinA≠0，cosC=13．

因为0<C<π，所以sinC=1−cos2C=223，

(2)由余弦定理c2【解析】(1)先利用正弦定理求出关系式，再解出结果．(2)利用余弦定理求出ab的值，再代入面积公式求得结果．

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，属于中档题．18.【答案】解：(1)当α=60°时，DE/​/AC，DF/​/AB，

∴四边形AEDF为平行四边形，则△BDE和△CDF均为边长为1km的等边三角形，

又S△ABC=12×2×2×sin603=3(km2)，S△BED=S△CDF=12×1×1×sin60=54(mm2)，

∴绿化面积为：3−2×34=32(km2)．

(2)由题意知：30°<α<90°，BD=CD=1，

∴S(α)=S△ABC−S△CDF−S△BDE=3−12(BE+CF)sin60=3−【解析】(1)根据角度可确定四边形AEDF为平行四边形，则△BDE和ACDF均为边长为1km的等边三角形，利用S△ABC−S△BDE−S△CDF即可求得结果；

(2)利用正弦定理，用α表示出BE和CF，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE+CF化简为1+32sin(2α−19.【答案】解：(I)f(x)=sinx(sinAcosx−cosAsinx)=12sinAsin2x−cosA(12−12cos2x)=12sinAsin2x+12cosAcos2x−12cosA=12cos(2x−A)−12cosA，

∵f(x)的最大值为14，

∴12−12cosA=14，

∴cosA=12，

∵A为△ABC内角，

∴A=π3；

(Ⅱ)g(x)=sin(2x+π6)g(x)=cos(2x−π【解析】(I)化简可得f(x)=12cos(2x−A)−12cosA，则依题意12−12cosA=14，由此求得A；

(Ⅱ)问题等价于20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=e2x−alnx的定义域为(0,+∞)，

∴f′(x)=2e2x−ax．

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故f′(x)没有零点，

当a>0时，∵y=e2x为单调递增，y=−ax单调递增，

∴f′(x)在(0,+∞)单调递增，

又f′(a)>0，

假设存在b满足0<b<lna2时，且b<14，f′(b)<0，

故当a>0时，导函数f′(x)存在唯一的零点，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，可设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0，

当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，

当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，

故f(x)在(0,x0【解析】(Ⅰ)先求导，在分类讨论，当a≤0时，当a>0时，根据零点存在定理，即可求出；

(Ⅱ)设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0，根据函数f(x)的单调性得到函数的最小值f(x0)，只要最小值大于21.【答案】解：(Ⅰ)对函数求导可得：f′(x)=ex[ln(x+1)+1x+1]，

将x=0代入原函数可得f(0)=0，将x=0代入导函数可得：f′(0)=1，

故在x=0处切线斜率为1，故y−0=1(x−0)，化简得：y=x；

(Ⅱ)由(Ⅰ)有：g(x)=f′(x)=ex[ln(x+1)+1x+1]，

g′(x)=ex[ln(x+1)+2x+1−1(x+1)2]，

令ℎ(x)=ln(x+1)+2x+1−1(x+1)2，令x+1=k(k≥1)，

设m(k)=lnk+2k−1k2，m′(k)=(k−1)2+1k3>0恒成立，

故ℎ(x)在[0,+∞)