【解析】四川省阆中中学高三适应性考试（二）数学（理）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（理）一．选择题（每题5分，共60分）1.已知集合,则中所含元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】列举法得出集合，共含个元素．故答案选2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】则．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知向量，且，则m=()A.−8 B.−6C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．【详解】双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．5.我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A.24里 B.36里 C.48里 D.60里【答案】B【解析】【分析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得．【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A.12种 B.18种 C.24种 D.36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D.7.已知满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式得到原式可化为，代入余弦值求解即可．【详解】根据两角和差的余弦公式得到，因为，得到sin=或代入得到结果为．故答案为：【点睛】本题考查利用两角和差的余弦公式，属基础题.8.已知，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】，，，故，所以．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．9.函数在的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．10.如图所示，直三棱柱高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．【详解】如图，设三棱柱为，且，高．所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选：A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．11.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点（0,2），则的方程为（）A.或B.或C.或D.或【答案】C【解析】【详解】∵抛物线方程为,∴焦点，设,由抛物线性质,可得，因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为或.故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.12.若对于任意的，，有恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由原不等式恒成立可转化为恒成立，构造函数，根据函数在上单调递减求参数a的取值范围即可求解.【详解】由题意，不妨设，则可变为，即整理得：所以函数在上为减函数，，令，得设，则因为，所以在上为减函数，即所以，即的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.二．填空题（每题5分，共20分）13.若x，y满足，则的最小值为____【答案】2【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由可得．平移直线，由图形得，当直线经过可行域内点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由解得，所以点A的坐标为．所以．故答案为2．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．14.的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.15.已知函数，，则_______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得，结合是偶函数，即可求得结果.【详解】因为，又因为，故可得；又因为是奇函数，故为偶函数.又也是偶函数，故可得.故.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，以及导数的计算，属综合基础题.16.在中，若，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，将转化为，再利用基本不等式即可求得结果.【详解】由，结合，可得：，当且仅当时，取得最小值为.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.三、解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.根据，.再由，求和，求的通项公式（2）由（1）得，转化为，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.，即，.，，..，，.（2）.【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式和裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望.【答案】(1)065；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得利润函数结合题意求解不等式有即.则食堂利润不少于760元的概率是.(2)由题意可知，，，.据此得出分布列，然后计算数学期望有.试题解析：（1）一斤米粉的售价是元.当时，.当时，.故设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.解得，即.由直方图可知，当时，.（2）当时，；当时，；当时，；当时，.所以可能的取值为460，660，860，960.，，，.故的分布列为.19.如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解.【详解】（1）设与交点为，连接，.由题可知四边形为正方形，所以，且为中点.又因，，所以，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以.（2）取的中点，连接，，在平面过点内作的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系.设，则，，，.所以，.设平面的一个法向量为，则，令，则.由（1）可知平面的一个法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.【点睛】此题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过空间向量求解二面角的大小，关键在于根据定理准确推导，计算求解.20.己知圆，圆．（1）证明：圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程；（2）已知点，过点且斜率为的直线与（1）中轨迹相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；；（2）存在实数使得．【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，即可得出公共点的轨迹的方程；（2）设过点且斜率为的直线方程为，将其代入椭圆方程，利用韦达定理得出的值，再结合两点的斜率公式求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以因为圆的半径为，圆的半径为又因为，所以，即所以圆与圆有公共点设公共点为，因此，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以即轨迹的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设由消去得到则①因为所以将①式代入整理得因为所以当时，即时，即存在实数使得【点睛】本题主要考查了求椭圆的轨迹方程以及椭圆中的定值问题，涉及了圆与圆位置关系的应用，属于中档题.21.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点，使得又在上单调递减为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.请考生在第22，23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题得分．作答时请写清题号22.在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标