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第3课时函数的最大(小)值(2)知识点一利用导数求解函数的零点或方程的根的问题1.若a>2,则函数f(x)=eq\f(1,3)x3-ax2+1在区间(0,2)上恰好有()A.0个零点 B.1个零点C.2个零点 D.3个零点答案B解析∵f′(x)=x2-2ax,且a>2,∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,即f(x)在(0,2)上是减函数.又f(0)=1>0,f(2)=eq\f(11,3)-4a<0,∴f(x)在(0,2)上恰好有1个零点,故选B.2.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.答案(-∞,2ln2-2]解析由原函数有零点,可将问题转化为方程ex-2x+a=0有解问题,即方程a=2x-ex有解.令函数g(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,令g′(x)=0,得x=ln2,所以g(x)在(-∞,ln2)上是增函数,在(ln2,+∞)上是减函数,所以g(x)的最大值为g(ln2)=2ln2-2.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln2-2].3.已知函数f(x)=eq\f(1,x)+eq\f(ex,e)-3,F(x)=lnx+eq\f(ex,e)-3x+2.(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)判断函数F(x)在(0,+∞)上零点的个数.解(1)f′(x)=-eq\f(1,x2)+eq\f(ex,e)=eq\f(x2ex-e,ex2),令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)F′(x)=eq\f(1,x)+eq\f(ex,e)-3=f(x),由(1)得∃x1,x2满足0<x1<1<x2,使得f(x)在(0,x1)上大于0,在(x1,x2)上小于0,在(x2,+∞)上大于0,即F(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.而F(1)=0,x→0时,F(x)→-∞;x→+∞时,F(x)→+∞,画出函数F(x)的草图,如图所示.故F(x)在(0,+∞)上的零点有3个.知识点二导数在解决实际问题中的应用4.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,它们的面积和的最小值为()A.2 B.4C.6 D.8答案D解析设其中一段长为x,则另一段长为16-x,则两个正方形面积之和为S(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16-x,4)))2(0<x<16),则S′(x)=2·eq\f(x,4)·eq\f(1,4)+2·eq\f(16-x,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4)))=eq\f(1,4)(x-8).令S′(x)=0,得x=8.当0<x<8时,S′(x)<0;当8<x<16时,S′(x)>0.∴x=8是函数S(x)的极小值点,也是最小值点.∴当x=8时,S(x)取最小值,S(x)最小=S(8)=8,即两个正方形面积之和的最小值是8,故选D.5.圆柱形金属饮料罐的体积一定,要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省,它的高与底面半径之比为()A.2∶1 B.1∶2C.1∶4 D.4∶1答案A解析设其体积为V,高与底面半径分别为h,r,则V=πr2h,即h=eq\f(V,πr2).由题意,知当表面积S最小时所用材料最省.S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·eq\f(V,πr2)=2πr2+eq\f(2V,r).令S′=4πr-eq\f(2V,r2)=0,得r=eq\r(3,\f(V,2π)),当r=eq\r(3,\f(V,2π))时,h=eq\f(V,π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))))2)=eq\r(3,\f(4V,π)),则h∶r=2∶1时,所用材料最省.6.某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,当每件商品的定价为________元时,利润最大.答案115解析利润为S(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,S′(x)=-2x+230,由S′(x)=0,得x=115,这时利润达到最大.即每件商品的定价为115元时,利润最大.7.某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元,其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投资额为零时收益为零.(1)求a,b的值;(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润.参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1.解(1)由投资额为零时收益为零,可知f(0)=-a+2=0,g(0)=6lnb=0,解得a=2,b=1.(2)由(1)可得f(x)=2x,g(x)=6ln(x+1).设投入经销B商品的资金为x万元(0<x≤5),则投入经销A商品的资金为(5-x)万元,设所获得的收益为S(x)万元,则S(x)=2(5-x)+6ln(x+1)=6ln(x+1)-2x+10(0<x≤5).S′(x)=eq\f(6,x+1)-2,令S′(x)=0,得x=2.当0<x<2时,S′(x)>0,函数S(x)单调递增;当2<x≤5时,S′(x)<0,函数S(x)单调递减.所以当x=2时,函数S(x)取得最大值,S(x)max=S(2)=6ln3+6≈12.6万元.所以当投入经销A商品3万元,B商品2万元时,他可获得最大收益,收益的最大值约为12.6万元.一、选择题1.函数f(x)=eq\f(x,3)+sinx的图象大致是()答案C解析显然函数f(x)为奇函数,排除B.又f′(x)=eq\f(1,3)+cosx,可知f′(x)有无数个零点,因此函数f(x)有无数个极值点,排除A.又当x是一个比较小的正数时,f(x)=eq\f(x,3)+sinx>0,排除D.故选C.2.设函数f(x)=eq\f(1,3)x-lnx(x>0),则y=f(x)()A.在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1)),(1,e)内均有零点B.在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1)),(1,e)内均无零点C.在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1))内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1))内无零点,在区间(1,e)内有零点答案D解析f′(x)=eq\f(1,3)-eq\f(1,x)=eq\f(x-3,3x),令f′(x)=0,得x=3,当0<x<3时,f′(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数.又f(1)=eq\f(1,3)>0,f(e)=eq\f(e,3)-1<0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))=eq\f(1,3e)+1>0,所以y=f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1))内无零点,在区间(1,e)内有零点.3.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x-\f(1,2)x20≤x≤400,,80000x>400,))则总利润最大时,每年生产的产品数是()A.100 B.150C.200 D.300答案D解析设总成本为C,总利润为P,由题意,总成本为C=20000+100x,所以总利润为P=R-C=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x-\f(x2,2)-20000,0≤x≤400,,60000-100x,x>400,))P′=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300-x,0≤x≤400,,-100,x>400,))令P′=0,当0≤x≤400时,得x=300;当x>400时,P′<0恒成立,易知当x=300时,总利润最大.4.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边形折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,则四角截去的正方形的边长为()A.6cm B.8cmC.10cm D.12cm答案B解析设四角截去的小正方形边长为xcm,则V=(48-2x)2x=4x3-4×48x2+482x(0<x<24),V′=12x2-8×48x+482=12(x2-8×4x+48×4)=12(x-24)(x-8).当0<x<8时,V′>0;当8<x<24时,V′<0,∴V在x=8处取最大值,故选B.5.(多选)已知函数f(x)=sinx+x3-ax,则下列结论正确的是()A.f(x)是奇函数B.若f(x)是增函数,则a≤1C.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点答案ABD解析因为f(x)=sinx+x3-ax,则f(-x)=sin(-x)+(-x)3-a(-x)=-sinx-x3+ax=-f(x),A正确;若f(x)为增函数,则f′(x)=cosx+3x2-a≥0恒成立,故a≤cosx+3x2恒成立,令g(x)=cosx+3x2,则可得g(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,故当x=0时,g(x)取得最小值g(0)=1,所以a≤g(x)min=1,B正确;当a=-3时,f(x)=sinx+x3+3x为奇函数,且f(0)=0,当x>0时,f′(x)=cosx+3x2+3>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,根据奇函数的对称性可知函数在(-∞,0)上单调递增,故f(x)在R上单调递增,f(0)=0,即只有一个零点,C错误;当a=3时,f(x)=sinx+x3-3x为奇函数,故先考虑x>0时,函数极值的存在情况,f′(x)=cosx+3x2-3,令φ(x)=cosx+3x2-3,则φ′(x)=6x-sinx.再令H(x)=6x-sinx,则H′(x)=6-cosx.因为当x>0时,H′(x)>0,所以函数H(x)在(0,+∞)上单调递增,即H(x)>H(0)=0,即x>0时,φ′(x)>0,故当x>0时,φ(x)=cosx+3x2-3单调递增,即f′(x)单调递增,且f′(0)=-2<0,f′(1)=cos1>0,故存在x0∈(0,1),使得f′(x0)=0,因此,当0<x<x0时,f′(x)<0,函数单调递减,当x>x0时,f′(x)>0,函数单调递增,故x=x0为函数f(x)在x>0时的唯一的极小值,根据奇函数的对称性可知,当x<0时,存在极大值,故D正确.故选ABD.二、填空题6.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为10km/h时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,当行驶每千米的费用总和最小时,此轮船的航行速度为________.答案20km/h解析设轮船的速度为xkm/h时,燃料费用为Q元,则Q=kx3(k≠0).因为6=k×103,所以k=eq\f(3,500),所以Q=eq\f(3,500)x3.所以行驶每千米的费用总和为y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3+96))·eq\f(1,x)=eq\f(3,500)x2+eq\f(96,x)(x>0).所以y′=eq\f(3,250)x-eq\f(96,x2).令y′=0,解得x=20.因为当x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减;当x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增,所以当x=20时,y取得最小值,即此轮船以20km/h的速度行驶时,每千米的费用总和最小.7.已知函数f(x)=eq\f(ex,x)-a有两个零点,则实数a的取值范围是________.答案(e,+∞)解析由函数f(x)=eq\f(ex,x)-a有两个零点,f′(x)=eq\f(exx-1,x2),易得f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故x=1是函数的极小值点,也是最小值点,且f(1)=e-a<0,故a>e,所以a的取值范围是(e,+∞).8.若函数f(x)=2x2-8lnx-14x-m有唯一零点,则实数m的值为________.答案-16ln2-24解析已知函数f(x)=2x2-8lnx-14x-m有唯一零点,f′(x)=4x-eq\f(8,x)-14=eq\f(22x+1x-4,x),x>0,当x>4时,f′(x)>0,函数单调递增;当0<x<4时,f′(x)<0,函数单调递减,故当x=4时,函数取得极小值f(4)=-16ln2-24-m,若f(x)=2x2-8lnx-14x-m有唯一零点,则-16ln2-24-m=0,所以m=-16ln2-24.三、解答题9.已知f(x)=2ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)+b=0的区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.解(1)f′(x)=eq\f(2,x+a)-2x-1,当x=0时,f(x)取得极值,所以f′(0)=0,解得a=2,检验知a=2符合题意.(2)令g(x)=f(x)+b=2ln(x+2)-x2-x+b,则g′(x)=eq\f(2,x+2)-2x-1=-eq\f(2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(5,2))),x+2)(x>-2).g(x),g′(x)在(-2,+∞)上的变化状态如下表:x(-2,0)0(0,+∞)g′(x)+0-g(x)2ln2+b由上表可知函数在x=0处取得极大值,极大值为2ln2+b.要使f(x)+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g-1≤0,,g0>0,,g1≤0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b≤0,,2ln2+b>0,,2ln3-2+b≤0,))所以-2ln2<b≤2-2ln3.故实数b的取值范围是(-2ln2,2-2ln3].10.某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为:y=eq\f(1,128000
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