人教版五年级数学上册【课本】5年级第03讲-质数与合数

第三讲质数与合数什么是质数？每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：，，……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数．而像2，3，7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数．如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数．严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．注意，1既不是质数也不是合数．我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数．_____________________________________________（填写在横线上）相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松．质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数．请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数：同学们还可以这样做：从大到小写出100以内的质数．如果你能一个不少地写出来，说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了^_^．当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角．在100以上还有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数：101，103，107，109．下面是主试委员会为第六届下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．

将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．例题1【分析】1~56以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出来了．

练练习1自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？（（1）如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出．

（2）如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出．

（3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出．例题2【分析】对于第1问，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数．那么后两问中的质数可以都是奇数吗？

练练习2如果三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？

通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解．下面我们来学习这一讲中最重要的内容：分解质因数．分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，，．同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的．分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性．22303155能整除30的质数相除后得到的商100在分解质因数时也可以写成：；280在分解质因数时也可以写成．这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如：指数指数指数这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略．如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个就能判断．例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了！因为比197大．类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为比2011大．有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了．请把下面的数分解质因数：请把下面的数分解质因数：

（1）360；（2）539；（3）999；（4）10101．例题3「分析」将一个数分解质因数，可以从最小的质数开始，一个一个去试商，写成短除的形式．练练习3请把下面的数分解质因数：（1）373；（2）12660．在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数．解决这类问题的方法同样是质因数分解．下面我们来看一个例题．算式算式计算结果的末尾有多少个连续的0？例题4【分析】乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾就有多少个连续的0．注意到，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了．

练练习4算式的计算结果的末尾有多少个连续的0？

分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练的将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养．下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题．

三个连续自然数的乘积等于三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少？例题5「分析」39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数．由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时候也必须尽量接近．

360360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？例题6【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数．而，它不是一个平方数．它最小再乘上多少，结果就是平方数了？

通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处．它就像手术刀一样，把整数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚．很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单．

质数有无穷个吗？质数有无穷个吗？在正整数里走得越远，我们就发现质数变得越来越稀少．有人可能会问：质数出现频率越来越小，它们会不会在某处终止呢？会不会从某个数开始之后就没有质数了呢？早在公元前300年左右，欧几里得就第一次证明了质数有无穷多个．他用的是如下的反证法：设n代表最后一个质数，那么从2到n的所有质数的积是．将这个积加1称为k，因为2，3，5，7，11，…，n都不能整除k，所以k必然含有一个更大的质因数！这与n代表最后一个质数相矛盾！课堂内外

作业（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多