中考数学 配方法 解题方法

PAGE中考数学专项讲解配方法知识梳理把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．典型例题一、配方法在解一元二次方程中的应用【例1】用配方法解方程x2+6x+3=0．【解】移项，得x2+6x=－3配方，得即(x+3)2=6，从而所以，．二、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用一般地，这种题型方程系数含有字母，可通过配方法把b2－4c变形为±(m±h)2+k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2－4c≥0或b2－4c≤0，从而判定一元二次方程根的情况．【例2】已知关于x的方程x2－mx+m－2=0．求证：方程有两个不相等的实数根．【证明】因为△=(m－2)2+4>0所以方程x2－mx+m－2=0有两个不相等的实根；变式；已知二次函数y=x2－mx+m－2，求证：不论m为何值，抛物线y=x2－mx+m－2总与x有两个不同的交点．三、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成y=(x－h)2+k的形式，则得到顶点坐标(h，k)；若>0，函数值y有最小值k；若<0时，函数值y有最大值为k．【例3】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1)y=x2－2x－4；(2)【解】(1)=1>0，开口向上．对称轴方程是x=1，顶点坐标是(1，－5)．(2)=－<0，开口向下．对称轴方程是x=－，顶点坐标是(1，－2)．【例4】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?【解】设利润为y元，售价为x元，则每天可销售100－10(x－10)件，依题意得：y=(x－8)[100－10(x－10)]化简得：y=－10x2－280x－1600配方得：y=－10(x－14)2+360当(x－14)2=0时，即x=14时，y有最大值是360．答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元．四、配方法在不等式、比较大小中的应用【例5】已知，b∈R，则不等式①2+3>2，②2+b2≥2(－b－1)，③2+b2>b中一定成立的有__________．【分析】2+3－2=(－1)2+2>0，①式成立．2+b2－2(－b－1)=2+b2－2+2b+2=(－1)2+(b+1)2≥0，②式成立．(当且仅当=b=0时取得等号)，③式不一定成立．故填①②．【解】①②综合训练1．方程x2+6x－5=0的左边配成完全平方后所得方程为()A．(x+3)2=14B．(x－3)2=14C．D．以上答案都不对2．已知二次函数y=x2－mx+m－5与x轴交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．无数个3．用配方法解方程：(1)x2－4x－5=0(2)2x2－4x－1=04．(1)二次函数y=x2－6x+2通过配方化为顶点式为y=________，其对称轴是________，顶点坐标为_________．(2)通过配方求二次函数y=3x2－6x+1的最小值． 5．关于x的一元二次方程x2+(k+1)x－k－3=0(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．6．(06南通)已知A=+2，B=2－2+5，C=2+5－19，其中>0．(1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由．7．已知二次函数y=x2+k+c：(1)当=1，b=－2，c=1时，请在下面的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；(2)用配方法求该二次函数图象的顶点坐标．8．(1)已知．则的值为__________．(2)把代数式2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．9．如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m．(1)求边AD的长；(2)设PA=x(m)，求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，四边形PMBN的面积最大?10．(08镇江)如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T(m，n)表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十字路口)，OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计)．(1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围)；(2)当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)；(3)设t=m－n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)．参考答案1．A2．C3．(1)x1=5，x2=－1(2)4．(1)(x－3)2－7x=3(3，－7)(2)y=3(x－1)2－2，y最小值=－2．5．(1)△=(k+3)2+4>0，所以方程有两个不相等的实根；(2)另一根的值是0．6．(1)，B>A．(2)C－A=(2+5－19)－(+2)=2+4－21=(+7)(－3)>0，+7>0；当－3>0，即>3时C－A>0，此时C>A；当－3=0，即=3时C－A=0，此时C=A；当－3<0，即0<<3时C－A<0，即C<A．7．(1)图略(2)(1，0)8．(1)7(2)，±89．(1)过点D作DE⊥AB于E则DE∥BC且DE=BC，CD=BE，DE∥PMRt△ADE中，DE=80mAE=AB－BE=100－40=60m(2)DE∥PM，△APM∽△ADE，即．，即MB=AB－AM=100－x由PM=x≥36，得x≥45，自变量x的取值范围为45≤x≤100(3)当x为50时，四边形PMBN的面积最大，最大面积1200．10．(1)设反比例函数为(k>0)．则k=xy=mn=S矩形OATB=10000，．(2)设鲜花方阵的长为m米，则宽为(250－m)米，由题意得：m(250－m)=10000