二次根式导学案

【学习课题】第6课时:二次根式的概念【学习目标】1、理解二次根式的意义，能求出二次根式中被开方数中字母的取值范围。2、会运用公式（）＝()解决有关计算问题。【学习重点】二次根式的意义,公式（）＝()的理解。【学习过程】一、学习准备：平方根：如果x=，那么x叫做的平方根。若,则的平方根记为。2、算术平方根：正数的正的平方根，叫做的算术平方根。若,则的算术平方根记为_____。填空：=1\*GB3①表示100的_______，结果为_______。=2\*GB3②表示的_______，结果为_____。=3\*GB3③0.81的算术平方根记为___________，结果为_________。=4\*GB3④计算：＋＝__________，－＝__________，二、阅读理解4、二次根式的概念：对于形如，这样的式子，我们将符号“”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。二次根式：式子（）叫做二次根式。一般地，（）：此公式正用可去根号，将式子化简。如：此公式也可逆用，将一个非负数改写成完全平方的形式，如：15＝（）2，＝（）２判断下列各式是否为二次根式？为什么？（1） （2） （3）（4） （5） 解（1）三：挖掘教材6：例2：下列各式中，实数为何值时,代数式在实数范围内有意义？（1） （2） （3）解（1）由得，∴当有意义例3：计算（1） （2） （3） （4）7、式子中，当时，；当时，，所以（）是一个非负数。二次根式的非负性有两层意义：=1\*GB2⑴被开方数是非负数=2\*GB2⑵的结果也是非负数。例4、已知解：∴得∴得【达标测评】1、取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1） （2） （3）（4） （5） 2、计算:（1） （2） （3）3、判断下列各式是否成立？（1） （2）（3） （4）4、解下列各题（1）已知的值（2）已知的值【学习课题】第7课时:二次根式的乘法和除法【学习目标】1、探索二次根式的乘法和除法法则2、会进行简单的二次根式的乘法和除法运算【学习重点】二次根式的乘法和除法法则的应用【侯课朗读】式子（）叫做二次根式【学习过程】一、学习准备：1、下列各式中,求出的取值范围① ② ③ 二、阅读理解2、积的算术平方根计算=.×=，所以=一般地,积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。（注意：公式中必须都是非负数。）想一想：成立吗？为什么？应该等于多少？例1、化简:（1） （2）（3） （4）解（1）即时练习：计算（1） （2） （3） （4）4、二次根式的乘法把公式，反过来得．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。例2、计算（1） （2） 即时练习：计算（1） （2） （3）5、商的算术平方根计算：，。一般地，有商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，其中，公式中字母的取值范围是。（想一想，公式中为什么字母的范围不是？）例3、化简（1） （2） （3） （4）即时练习：化简（1） （2） （3） 6、二次根式的除法把公式反过来得到．即：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除．运用这个公式可以进行简单的二次根式的除法运算。例4：化简（1） （2） （3）（要求：分母中不能有根号，根号内不能含有分母）7、易错的运算:【达标测评】1、计算:（1）（2） （3）（4） 2、设直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c.（1）如果；（2）如果；（3）如果3、计算：（1） （2） （3）（4）4、化简（1） （2） （3） （4）5、计算（1）（2）（3）【学习课题】第8课时：最简二次根式及分母有理化【学习目标】1、能把所给的二次根式化为最简二次根式2、能进行分母有理化【学习重点】化简二次根式，分母有理化的的方法。【侯课朗读】1：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积..2：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根【学习过程】一：阅读理解1：情景引入在RtABC中，C=90°，a=2，b=4，求c。因为c2=20，所以c=,说明不是最简的二次根式。2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例1：把下列各式化为最简二次根式（1） （2）（3）（4）（5） 解(1)即时练习：把下列各式化为最简二次根式（1） （2）（3）（4） 例2：把下列各式化为最简二次根式（1）（2）（3） （4）即时练习：把下列和各式化为最简二次根式（1）（2） （3） （4）注意:（1）化简二次根式时，往往需要先把被开方数分解因数。（2）当二次根式的被开方数含有分母时，化简后要保证根号内没有分母。3、分母有理化：二次根式进行除法运算时，当被开方数不能恰好整除时，常采用分母有理化的方法进行化简。如这种把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化。分母有理化的依据是分数的基本性质和公式例2、把下列各式分母有理化（1）（2）（3） （4） 例3、把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4） （5）注意：（1）一般地，互为有理化因式．（2）在分母有理化时，有时也可以利用分解因式的方法，先约分，如第（3）小题．即时练习：把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）（5） 【达标测评】1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由（1）（2） （3） （4） （5） 2、把下列各式化为最简二次根式（1） （2） （3） （4）（5） （6） 3、把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【学习课题】第9课时:二次根式的化简【学习目标】：1、掌握二次根式的性质公式。2、会利用二次根式的性质进行二次根式的化简【学习重点】公式的应用【侯课朗读】最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。【学习过程】一、学习准备：1、计算：，。二、阅读理解2、二次根式的意义二次根式的实质是的算术平方根。由于它的被开方数是一个完全平方数，所以，因此中的可以是任意数或式。如等，都有意义。与的区别：运算顺序取值范围先平方，后开方中的可以是任意数先开方，后平方中的必须是非负数，即3、的性质对于，当时，=，如当时，如。所以时，。综合上面的情况，有典型例题例1：求下列各式的值（1） （2） （3） （4）解（1）原式=例2： 解：例3：已知解：已知则1-2a≥0原式=例4：已知在数轴上的位置如图所示ba0化简：解：由图可知，原式＝=。例4：设是△ABC的三边，化简解：∵为△ABC的三边∴∴原式==。【反思小结】应用公式进行化简时，去掉根号后，要加上括号。即“去帽子加杠子”【达标测评】化简（1） （2）2、计算3、已知4、已知，求的取值范围。5、已知，化简【学习课题】第10课时:二次根式的加减法【学习目标】1、理解同类二次根式的概念2、会进行二次根式的加减法运算【学习重点】二次根式的加减法运算【侯课朗读】应用公式进行化简时，去掉根号后，要加上括号【学习过程】一、学习准备：1、计算=2、计算:由于和都不是最简二次根式，可以考虑先将两式分别化简∵∴二、阅读理解3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。下列各式中，哪些是同类二次根式？解：，是同类二次根式；是同类二次根式4、二次根式的加减法二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并同类二次根式与合并同类项类似。二次根式加减法运算的一般步骤是：先将每一个二次根式化为最简二次根式找出其中的同类二次根式合并同类二次根式计算（1）（2）（3）解：（1）原式=（注意，1：根号前面的系数不能是带分数，只能写成假分数．2：不是同类二次根式的二次根式不能合并，如）即时练习：计算：（1）（2）例3：若最简二次根式是同类二次根式，求x值解：由题意得：【反思小结】同类二次根式的概念：如何判断几个二次根式是同类二次根式二次根式的加减法的步骤：【达标测评】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？下列计算是否正确？为什么？（1） （） （2） （）（3）（）3、计算（1） （2） （3）（4） （5） （6） 4、计算（1） （2）【学习课题】第11课时:二次根式的混合运算【学习目标】1、会进行二次根式的混合运算2、能运用二次根式知识解决一些综合问题【学习重点】二次根式的混合运算【侯课朗读】1：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并同类二次根式与合并同类项类似。【学习过程】一、学习准备：观察下列式子是否正确？为什么？（1） ( ) （2）()（3）() （4）()2、计算下列各题（1）（２）二、阅读理解3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方后乘除，最后加减，有括号先算括号里的。例1：计算：（1） （2）（3） （4）4：二次根式的混合运算中，仍可使用乘法分配律，单项式乘多项式法则，多项式乘以多项式法则，以及平方差公式和完全平方公式。例2：计算：（1） （2）（3） （4）即时练习：计算（1）（2）（3）（4）例3：已知解：∵，=∴∴=。（）即时练习：计算下列各式（1） （2）（3） （4）（5） （6）【达标测评】1、的有理化因式是。2、。3、计算：（1） （2）（3）（4）4、已知＋,求x,y的值。5、设直角三角形的两条直角边为（1）已知（2）已知6、已知7、已知8、若9、已知与互为相反数，求的值。10、已知，求下列各式的值（1）（2）【课后作业】预习本章第14课时，并分组准备相关材料。【学习课题】第12课时比较大小【学习目标】1.掌握估算的方法，能估算一个无理数的大致范围比较两个数的大小。2.尝试掌握各种不同的方法来比较两个无理数的大小。【候课朗读】≈1.414≈1.732≈2.236【学习过程】一．估算法1.估算求值：=？解：(误差小于1)(误差小于0.1)

通过本例你学到了什么？2、利用估算法比较下列各数的大小例1：（1）与（2）与3.5（3）与解：∵≈2.236-1=1.236﹥1∴﹥1二.平方法：一般地，如果例2:(1) （2）解扩展：还可寻找其根指数的最小公倍数，将两边同时n次方。例3：（1）与（2）、与解：∵，又∵3375﹥625∴﹥三．把根号外的非负数移到根号内例4：（1）（2）解（1）四．倒数法：应用公式例5：（1） （2）解：∵∴同理【达标检测】比较下列各组数的大小（说明比较方法）（1）、与（2）、与（3）（4） （5）与（6）【资源链接】利用数轴比较大小：例：比较的大小（1）先在数轴上找到表示和表示的点，用图形表示所找过程.（2）把找的点的过程图向右移动2个单位，此时的对应点为B，那么点B表示的数就是；同理，把找的点的过程图向左移动2个单位得到的对应点为A，所以A表示的数就是.（3）在数轴上点B在点A的左边，所以﹥.【学习课题】第13课时:实数复习【学习目标】1、构建实数的知识系统2、理解实数的相关概念【学习重点】理解实数的相关概念【课题类型】单元复习【学习过程】一．学习准备——知识结构梳理无理数的引入算数平方根无理数的表示平方根立方根 实数概念实数 实数分类 实数的运算实数的大小二．理解记忆——基本知识点1．平方根和算术平方根的概念性质（1）概念：若x2=a，则x是a的___________，记作___________；其中正的一个根是a的___________，记作___________.（2）性质：①存在性：一个正数有___________个平方根，它们___________；0只有___________个平方根，它是___________，负数___________平方根。②双重非负性：对于有：≥0,a≥0③一个数的平方的算术平方根：一个数的算术平方根的平方：（）＝()2．立方根的概念性质（1）概念：若x3=a,则x叫做a的___________，记作___________.（2）性质：①唯一性：正数有___________个立方根，它是___________；负数有___________个立方根，它是___________；0的立方根是___________。②一个数的立方的立方根：___________.一个数的立方根的立方：=___________，=___________.3.实数的概念及分类（1）概念：___________和___________统称为实数。（2）实数的分类，请用括号图进行分类①按概念分类：②按符号分类：（3）实数与数轴的关系：数轴上的点与___________一一对应。（4）实数的相反数、绝对值、倒数的定义与有理数的相反数、绝对值、倒数的定义一