2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题

20202021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由反比例函数的性质可知，从而推出所求函数的值域.【详解】解：由反比例函数的性质可知：，则，故值域为.故选：C.2．若，则下列各式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知，且，于是可以推出得到最大数和最小数,而为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的,逐一验证.【详解】且.当时,,则,与已知条件矛盾,所以必有,同理可得.A项,当,,时,,故A项错误;B项,，即，故B项错误;C项,时,,故C项错误;D项,，即，故D项正确.故选：D3．已知函数，若，则是（）A．奇函数，在上为严格减函数B．奇函数，在上为严格增函数C．偶函数，在上严格减，在上严格增D．偶函数，在上严格增，在上严格减【答案】B【分析】由可知为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设的奇偶性,从而得到答案.【详解】为奇函数,又是奇函数,可排除C,D.又在上单调递增.故选：B4．设，则取得最小值时，的值为（）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集，则_________.【答案】【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：，则.故答案为：.6．设实数满足，则_________.【答案】【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：167．已知幂函数的图像不经过原点，则实数_________.【答案】【分析】先由幂函数的定义求出，再检验得解.【详解】依题意得，解得．此时，其图像不经过原点，符合题意，因此实数m的值为2．故答案为:8．函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数在区间为严格减函数，所以二次函数对称轴，故答案为：9．函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】，，解得所以函数的定义域为，故答案为：10．设函数f（x），若f（α）＝9，则α＝_____．【答案】﹣9或3【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数在上的最大值为，则其最小值为_________.【答案】【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数在单调递增，所以，解得，当，，故答案为：12．在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是______.【答案】【分析】根据函数的对称性求出的解析式，代入求解即可.【详解】解：因为函数的图像与的图像关于直线对称，则，又函数的图像与的图像关于轴对称，则，，则.故答案为：【点睛】知识点点睛：（1）与图像关于直线对称，则；（2）与关于轴对称，则；（3）与关于轴对称，则；13．如果关于的方程有解，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】根据绝对值的几何意义求得最小值为8，即可求出实数的取值范围．【详解】因为表示数轴上的x对应点到3和5对应点的距离之和，其最小值为8，故当时，关于的方程有解，

故实数的取值范围为，

故答案为：．14．若定义在上的奇函数在上是严格增函数，且，则使得成立的的取值范围是_________.【答案】【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出和的解集，再分别讨论当和时的解集即可求出结果.【详解】解：因为为奇函数，且有，则在上是也严格递增，且，所以的解集为：；的解集为：，则当时，的解为，当时，的解为故成立的的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：类似求或求的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出或的解，再结合的范围进行求解.15．函数的值域是，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】函数的值域为，即能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设，由的值域为R，知可以取所有的正值，又，当且仅当时等号成立，故的值域为，所以只需满足即可，即故答案为：【点睛】关键点点睛：求出的值域，由题意知能取遍一切正实数，转化为的值域包含是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有个.【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2"/ex（x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数.（1）若实数，请写出函数的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数在区间上的最大值为，求实数的值.【答案】（1）增区间是，减区间是；（2）或.【分析】（1）求出的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论，，不同范围下的最值，解出.【详解】解：（1）时，，在上单调递减，在上单调递增；则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），对称轴为，当时，在处取得最大值，，解得：当时，不成立；当时，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为，，解得：综上所述：或.【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）的最高次项系数为，不一定为二次函数，需讨论与0的关系；18．设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）求证：中至少有一个不小于.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a＝1时，|2x－1|≤x＋2，化简可得或解得或综上，不等式的解集为).(2)证明：假设都小于，则，前两式相加得－<a<与第三式<a<矛盾.因此假设不成立，故中至少有一个不小于.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.20．已知(､)是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，的值域是，求实数与的值.【答案】（1）；（2）时在上严格减；时.在上严格增；（3）.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）＝0，建立关于m的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．【详解】（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0即，所以，即解得，当时，无意义，舍去.故.（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.21．若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数.(1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.【答案】(1)是，不是，理由见解析；(2)；(3).【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得；(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f(x)的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.【详解】(1)g(x)定义域R，，g(x)是，取x=1，，h(x)不是，函数是区间上的增长函数，函数不是；(2)依题意，，而n>0，关于x的一次函数是增函数，x=4时，所以n28n>0得n>8，从而正整数n的最小值为9；(3)依题意，，而，f(x)在区间[a2,a2]上是递减的，则x，x+4不能同在区间[a2,a2]上，4>a2(a2)=2a2，又x∈[2a2，0]时，f(x)≥0，x∈[0，2a2]时，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，当x=2a2时，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即1<a<1.因为：当4a2<4时，①x+4≤a2，f(x+4)>f(x