第十五届中环杯小学数学三年级决赛详解

第15届中环杯决赛试题解析（三年级）一、填空题A（本大题共8小题，每题6分，共48分）：1.计算：5132137________.2【【答案】2015解答】25132151375131051321513105133120152.在一场上海队与北京队的篮球比赛中，姚明得到了分，带领上海队以10分的优势战胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的5倍少10分，那么上海队获得______分【答案】分【解答】根据题意，上海队与北京队的总得分为5分，而上海队减去北京队的得分为10分，根据和差问题，我们有：上海队得了14010275分3.一个数只包含两种数字：3或者4，而且3或者4都至少出现一个。这个数既是3的倍数，又是4的倍数。这样的数最小为______.【答案】【解答】为了使得它是4的倍数，最后两位只能是。如果只有两个数字4，这个数无法成为3的倍数，所以很容易得到其最小值为4.我们有个111的小立方体，将其拼成一个333的大立方体，其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如下图所示。那么，六个面都是白色的小立方体最多有________个【【答案】15解答】我们可以数一下，发现含有灰色面的小立方体有12个，而一共有个小立方体，所以六个面都是白色的小立方体最多有个5.如图，一个大三角形被三条线段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三部分是四边形。三个四边形的周长之和为厘米，四个三角形的周长之和为厘米，三角形的周长为19厘米。那么______厘米AFEBDC【【答案】13解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加，那么中间的线段都被加了两次。比如下图中的，它既是四边形的一条边、又是的一条边。而AB,BC,CA都只出现一次，比如。所以我们要求的线段之和为252019213厘米AFGEIHBDC6.下图是上海的地铁运营图，其中的点代表不同的地铁站台，直线代表了不同的线路。小明是一个学生，他希望找到一种路线，使得他可以经过所有的站台。他可以从任意的站台出发，然后到任意的站台结束（只要经过所有的站台即可）。假设他必须重复经过n个站台，则n的最小值为________.【【答案】3解答】如下图，对所有的点进行标记，小明可以从，这样他必须重ABCDEDFGHIHGJKL复经过个站台，接下来我们证明是最小值。33显然，D,G这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从A开始或者从A结束，那么B肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了；如果小明不是从L开始或者从L结束，那么K肯定会被重复经过，这样就至少重复经过3个站台了；如果小明从A开始从L结束，那么H肯定会被重复经过。所以，n3【说明】此题要做出答案并不难，关键在于后面的证明，考虑到填空题，所以将其放在第6题BCDAEFLGHKJI7.如果653整除ab2347，则ab______.答案】11【【解答】由于653|ab2347653|ab2347653，考虑到ab2347653ab3000，所以653|3。由于653是素数，并且653无法整除1000，所以|3，从而推出a6，所以abb58.学校组织一次野餐会，有若干人员参加。学校准备了很多空盘子，每个到场的人员都会将空盘子数一下，然后拿走一个空盘子去装食物（每个人只能拿走一个空盘子，不能多拿）。第一个到会的人员会将所有的空盘子数一下，第二个到会的人员数到的空盘子数量比第一个到会的人员少一个，，依次类推，最后一个到会的人员发现还有4个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为，则总共有______人参加了这次野餐会。【【答案】解答】设有x个人参加了野餐会，空盘子总共有x个第1个参会人员数到有第2个参会人员数到有个空盘子；个空盘子；2x2x第n个参会人员数到有xn个空盘子；第x个参会人员数到有xx2x个空盘子；从而得到方程2x4x二、填空题B（本大题共4小题，每题8分，共32分）：9.D四人有一些数量互不相同的纸牌。A说：“我比C多16张纸牌。”B说：“D比C多6张纸牌。”C说：“A比D多9张纸牌。”D说：“如果A再给我2张纸牌，我纸牌的数量就是C的3倍。”已知这四个人中，拥有纸牌数量最少的那个人说错了，其余都说对了。那么D有________张纸牌【【答案】10解答】首先对每个人所说的话进行翻译：A的意思是：AC；B的意思是：DC6；的意思是：AD9；CD的意思是：D2C。由于说错话的只有一个人，而A和C都说A不是最少的，因此，A说的是真话。通过B和D的话可以推断D的纸牌数也不是最少的。因此，说错话的只可能是B或。CAC16AD9如果C说的是正确的，则DC7，结合推出D2C，没有整数解，矛盾。所以B说的是正确的，C说的是错误C7C29CDC6C4D2CD10的。利用B的结论，我们有。所以答案为10。10.七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求：（1）至少涂其中的两个正方形；（2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方形）。那么，有________种不同的涂色方法。【【（答案】10解答】直接分类讨论：1）如果我们涂最上面的那个正方形，那么它下面的两个正方形不能被涂色，得到下图。如果我们再涂一个正方形，显然有4种涂法；如果我们再涂两个正方形，要简单分析一下：显然不能被涂色（否则一旦被涂色了，那么a,c,d都不能被涂bb色了），而且c,d不能同时被涂色，所以只有2种涂法（a,c或者a,d）。综上所述，如果我们涂最上面的那个正方形，一共有种涂法264dabc（2）如果我们不涂最上面的那个正方形，得到下左图。显然，我们不能涂,b，否则只能涂一个正方形了，得到下右图。容易知道，a,f以及c,d都不能同时被涂色，所以此时能且只能涂两个正方形，一共有224种涂法。fedabcfdca综上所述，一共有64种涂法11.在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字。在算式的方格中填入适当的数字，使得算式成立。那么中环杯所代表的三位数是________.6中环杯中环杯【【答案】124abc是三位数解答】由于，所以d,e都是7~9中的数字。根据abcd,abc都是四位数“abc是三位数”我们很容易推出a1。由于“中环杯中环杯中环杯1001”，所以7|1001|de。考虑到只是一个三位数，所以不可能同时满足11|，所以13|7中至少有一个数整除d6e。接下来分类讨论：（1）若7|de，结合d,e都是中的数字，我们很容易推出只有满足条件。由7~9于此时都不能整除，所以整除bc，所以bc1113143，此时143，满足我们的要求。（2）若11|de，结合d,e都是中的数字，所以，我们很de6de7~9容易推出只有或满足要求。考虑到7,13都不能整除这两个数，所以7,13整除所以bc7132182，而6不是三位数，矛盾。，bc（3）若13|de，结合d,e都是中的数字，我们很容易推出只有满足条件。7~9考虑到都不能整除这两个数，所以整除，所以bc7112154。bc此时，但是题目说了“中环杯”的三个数字互不相同，所以也不符合要求。综上所述，最后的答案只有一个，就是“中环杯124abcd6e中环杯中环杯12.正四面体的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有10个数。这10个数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的两个顶点上的数之和。棱PQ上的数为9，则棱上的数为________.S?RP9Q【答案】5解答】设六条棱上的数之和为S、四个顶点上的数之和为S，容易发现S3S顶【棱顶棱（每个顶点被三条棱连接，所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了三次）。考虑到SS1234567891156，从而推出S14，可能棱顶顶的情况有：1238、1247、1256、1346，接下来开始排除：（（1）由于PQ9，所以1256排除了（没有两个数之和为9）2）对于1238来说，由于123，所以一条棱上的数应该为3，但是某个顶点上的数也是3，矛盾。同样可以将1346排除最后，剩下的只有一组选择：1247，从而得到下图，所以答案为51?4297三、动手动脑题（本大题共2小题，每题10分，共20分）：13.5个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为厘米。求：单个长方形的面积。【答案】解答】假设长方形的长为x、宽为y，则3x24x82x2y24y4【，所以长方形的面积为32cm214.D老师将写有1、2、、13这13个数字的牌按从小到大的顺序顺时针放在一个圆周上，开始的时候所有牌都是牌面朝上，每次翻动可以将一张牌翻成牌面朝下（一旦变成牌面朝下，这张牌就不能翻动了）。D老师翻牌的规则为：若一张牌面朝上的牌上数字为A，并且与这张牌相隔2张的牌也是牌面朝上的，那么D老师就可以翻动写有数字A的这张牌。比如：只要写有数字9或者2的牌是牌面朝上，那么D老师就可以翻动写有数字12的牌（当然，前提是写有数字12的牌还是牌面朝上的）。最后，只要D老师将12张牌翻成牌面朝下，那么就算D老师成功了。为了获得成功，D老师有多少种不同的翻牌顺序？【答案】26624【解答】首先，我们将所有含数字的牌调整一下顺序，得到下图，从而将题目转化为：若相邻的牌中有牌面朝上的，那么D老师就可以翻动当前的牌11148751013212396接下来我们会发现，若两次选牌的过程中发生跳跃，那么最后