苏科版八年级数学上册《3.3 勾股定理的简单应用》同步练习题(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页苏科版八年级数学上册《3.3勾股定理的简单应用》同步练习题(含答案)一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是(

)A.3尺

B.4尺

C.5尺

D.6尺2.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？(

)

A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.83.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(

)A.x2−6=(10−x)2 B.x2−4.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是(

)A.ℎ≤17cm B.ℎ≥8cm

C.15cm≤ℎ≤16cm D.7cm≤ℎ≤16cm5.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米(即DE=3米)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为(

)

A.1米 B.2米 C.2米 D.46.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于(

)A.4.1米

B.4.0米

C.3.9米

D.3.8米7.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的长方形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(

)

A.3m B.5m C.7m D.9m8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(

)A.9 B.6 C.4 D.39.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是(

)

A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸二、填空题10.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行

米.

11.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是

dm．

12.如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____ cm．

13.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_________尺．14.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则AD=_____米．

15.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°的弧到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN=______．

16.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC

的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了_____米.(假设绳子是直的)

三、解答题17.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/ℎ.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/ℎ)

18.如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE．

19.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．20.由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．

21.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米．

(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算加以说明；

(2)求原来的路线AC的长．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：设杆子折断处离地面x尺，则斜边为(9−x)尺，

根据勾股定理得：x2+32=(9−x)2

解得：x=4．

故选：B．

杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面2.【答案】D

【解析】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，

∴BC=AB2−AC2=2.4(米)，

∵梯子的顶部下滑0.4米，

∴BE=0.4米，

∴EC=BC−0.4=2米，

∴DC=DE2−EC2=1.5米．

∴梯子的底部向外滑出AD=1.5−0.7=0.8(米)．

故选：D．3.【答案】D

【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10−x，BC=6，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+624.【答案】D

【解析】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

∴ℎ=24−8=16cm；

当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB=AD2+BD2=17，

∴此时ℎ=24−17=7cm，

所以ℎ的取值范围是7cm≤ℎ≤16cm．

故选D．

如图，当筷子的底端在A5.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查的是勾股定理的应用的有关知识，作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．

【解答】

解：过点C作CF⊥AB于点F，

根据题意得：AB=AC=5米，CF=DE=3米，

由勾股定理可得AF2+CF2=AC2，

∴AF=AC2−CF2=56.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．

根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．

【解答】

解：∵车宽2.4米，

∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．

在Rt△OCD中，由勾股定理可得：

CD2=OC2−OD2=22−1.22=1.67.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查了勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．为了不让羊吃到菜，必须小于等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10.那么AE的长即可解答．

【解答】

解：连接OA，交半圆O于E点，

在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，

所以OA2=OB2+AB2=102；

又OE=OB=6，

所以AE=OA−OE=4．

因此选用的绳子应该小于4m，排除8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，本题属于基础题型．

由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形面积的和列出等式，即可求出小正方形的边长．

【解答】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，

∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，

∴4×12ab+(a−b)2=25，

∴(a−b)29.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．

构造直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】

解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：

由题意得：OA=OB=AD=BC，

设OA=OB=AD=BC=r，

则AB=2r，DE=10寸，OE=12CD=1寸，AE=(r−1)寸，

在Rt△ADE中，

AE2+DE2=AD2，即(r−1)2+10210.【答案】10

【解析】【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．

【解答】解：如图，过点B作BC⊥AC于C，

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC211.【答案】25

【解析】【分析】

本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．【解答】解：如图所示．

∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2+3)×3=15dm，

∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，

由勾股定理得：x2=202+故答案为：25．12.【答案】2

【解析】【分析】

此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．

根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD−AB即为橡皮筋拉长的距离．

【解答】

解：AD=BD，

Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm；

根据勾股定理，得：AD=AC2+CD2=5cm；13.【答案】3.2

【解析】【分析】

此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理解题即可．

【解答】

解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，

根据勾股定理得：x2+62=(10−x)2．

解得：x=3.2，

∴14.【答案】1.5

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．

过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．

【解答】

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，

则AE=AB−BE=2.5−1.6=0.9(米)．

在Rt△ADE中，由勾股定理得到：

AD=AE2+DE2=15.【答案】2米

【解析】解：作AE⊥OM，BF⊥OM，

∴∠OEA=∠BFO=90°

∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，

∴∠AOE=∠OBF，

在△AOE和△OBF中，

∠OEA=∠BFO∠AOE=∠OBFAO=OB,

∴△AOE≌△OBF(AAS)，

∴OE=BF，AE=OF，

∵CM=AE，MD=BF．

即OE+OF=AE+BF=CM+MD=CD=17米，

∴2EO+EF=17，

∵EM=AC=10米，FM=BD=3米．

∵EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7(米)，

∴2EO=10，

∴OE=5(米)，OF=7+5=12(米)，

∴OM=OF+FM=15(米)，

∵OE=5米，AE=OF=12米，∠OEA=90°，

∴根据勾股定理，OA=AE2+OE2    =13(米)，

又∵ON=OA=13米，

∴MN=OM−ON=15−13=2(米)．

答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．

故答案为：2米．

首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，进而得出16.【答案】9

【解析】【分析】

此题考查勾股定理的应用，解决的关键是熟练掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

【解答】

解：根据题意，

AC=8，BC=17，

根据勾股定理可得AC2+AB2=BC2即82+AB2=172，解得AB=15，

有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以117.【答案】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；

据勾股定理可得：

BC=AB2−AC2=502−302=40(m)【解析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．

本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．18.【答案】解：在Rt△ABC中，

AC=AB2−BC2

=1002−602

=80(m)【解析】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考考点之一．

根据已知条件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．19