陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（含解析）

第第页陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题（含解析）府谷中学高二年级第一次月考

数学试卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，黑水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答亲标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章第二章第2节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在棱柱中，（）

A.B.C.D.

2.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（）

A.B.C.D.

3.已知是坐标原点，空间向业，，，若线段的中点为，则（）

A.9B.8C.3D.

4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（）

A.B.C.D.

5.已知直线：与：，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（）

A.B.

C.D.

7.如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（）

A.B.C.3D.5

8.在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（）

A.B.C.D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（）

A.点关于原点对称的点是

B.点关于轴对称的点是

C.点关于平面对称的点是

D.点关于点对称的点是

10.已知，，是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）

A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数，，，使得

B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

C.若，，则

D.若，，所在直线两两共面，则，，共面

11.已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（）

A.3B.5C.7D.9

12.如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（）

A.，，，四点共面

B.与所成角的大小为

C.在线段上存在点，使得平面

D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为______.

14.若直线与直线垂直，则实数______.

15.试写出一个点的坐标：，使之与点，三点共线（与，不重合）.

16.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知点，直线过点且斜率为.

（1）求直线的方程；

（2）若直线过点，且倾斜角是直线的一半，求直线的方程.

18.（本小题满分12分）

已知，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

19.（本小题满分12分）

已知的三个顶点分别为，，.

（1）求边上的高所在直线的方程；

（2）求边上的中线所在直线的方程.

20.（本小题满分12分）

如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.

（1）用，，表示，；

（2）求异面直线，所成角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本小题满分12分）

如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值的最小值.

府谷中学高二年级第一次月考·数学试卷

参考答案、提示及评分细则

1.B.故选B.

2.B设直线，，，的斜率分别为，，，，由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，所以，，所以，所以斜率最小的直线是.故选B.

3.C由题意得，所以，所以.故选C.

4.A不妨设，由题意可知，所以，所以

，解得，所以点的坐标为.故选A.

5.C当时，直线的方程为，直线的方程为，即，所以与平行，故充分性成立；若，则解得，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选C.

6.D易求直线和直线的斜率分别为-4和，当的斜率不存在时，直线与线段相交，故的斜率的取值范围为.故选D.

7.A

，所以，

所以.故选A.

8.D如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，则，，设是平面的一个法向量，则令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D.

9.AC点关于原点对称的点是，A正确；点关于轴对称的点是，B错误；点关于平面对称的点是，C正确；点关于点对称的点是，D错误.故选AC.

10.ACD由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面时，，，才能作为基底，才能得到，故A错误；若是空间的一个基底，则，，不共面，，，也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；若，，则，不一定平行，故C错误；若，，所在直线两两共面，则，，不一定共面，故D错误.故选ACD.

11.CD由题意知直线在，轴上的截距存在且大于0，可设的方程为（，），由直线过点，得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即，所以.故选CD.

12.AD以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，

则，所以解得

故，即，，，四点共面，故A正确；因为，，

所以，所以与所成角的大小为，故B错误；

假设在线段上存在点，符合题意.设（），则，若平面，则，.因为，，所以，此方程组无解，

所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确.故选AD.

13.直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，

因为，所以.

14.因为直线与直线垂直，

所以，解得.

15.（满足（）即可）设，由，，三点共线，得，即，故，，，即，，，不妨令，则，，，故此时点的坐标为.

16.将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2，所以，，，，，，，所以，，

则，.

设直线与直线所成角为，

则，

即，解得或（舍）.

17.解：（1）因为直线过点且斜率为，所以由点斜式知直线的方程为，

即.………………4分

（2）设直线，的倾斜角分别是，，，，所以.

因为直线的斜率为，所以，解得，，所以.………………7分

又直线经过点，所以由点斜式知直线的方程为，即.………………10分

18.解：（1），，………………3分

若，则，即，，，解得，.………………6分

（2），，………………9分

若，则，即，

化简可得，解得或.………………12分

19.解：（1）直线的斜率.………………2分

因为，所以直线的斜率.………………4分

因为直线过点，由点斜式方程可得边上的高所在直线的方程为，

即.………………6分

（2）因为，，所以的中点的坐标为.………………8分

因为，由两点式方程可得边上的中线所在直线的方程为，即.………………12分

20.解：（1）因为点，分别在棱，上，且，，

所以，

所以，………………2分

.………………4分

（2）因为，，，，

所以，，……6分

所以，………………7分

，………………8分

，………………10分

所以，

即异面直线，所成角的余弦值为.………………12分

21.（1）证明：取的中点，连接，，

因为，分别为，的中点，所以，，………………1分

又为的中点，，，所以，，

所以四边形是平行四边形，所以.………………3分

又平面，平面，所以平面.………………5分

（2）解：在直三棱柱中，平面，

又，平面，所以，，

又，故以为原点，

，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，

所以，，.………………7分

设平面的法向量为，则令，得，，

所以平面的一个法向量为，………………9分

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为.………………12分

22.（1）证明：因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，………………1分

又平面，平面，所以，………………2分

又，，平面，所以平面，………………3分

又平面，所以平面平面.………………4分

（2）解：在平面中，过点作，所以，，又平面，平面，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直